Apuntes y Resumen de Análisis de Datos | ADE UPF

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APUNTES ANÁLISIS DE DATOS Grado en Administración y Dirección de Empresas Universidad Pompeu Fabra AprenAI 2026-2027 Resumen completo de Análisis de Datos de ADE (UPF): estadística descriptiva, regresión lineal, series temporales, concentración y números índices. APREN.AI Índice 1 Conceptos fundamentales y diseño muestral 1. Áreas de la estadística y etapas del proceso de análisis 2. Individuos y tipología de variables 3. Distribución y tablas de frecuencias 4. Población, muestra y sesgos de selección 5.

Muestreo aleatorio simple (MAS) e inferencia estadística 2 Descripción gráfica de variables cualitativas y cuantitativas Representaciones gráficas para variables cualitativas Histogramas para variables cuantitativas continuas Interpretación de histogramas y asimetría de la distribución Diagrama de tallo y hojas 3 Medidas de posición, dispersión y forma Medidas de posición central y robustez Medidas de posición no centrales y resumen de cinco números Medidas de dispersión Medidas de forma: asimetría Medidas de forma: curtosis 4 Datos agrupados y transformaciones lineales Tratamiento de variables cuantitativas agrupadas en clases e intervalos Aproximación de la media y la desviación típica Cálculo aproximado e interpolación lineal de la mediana y cuartiles Transformaciones lineales: cambio de origen y cambio de escala Efecto de las transformaciones sobre medidas estadísticas Transformaciones no lineales para corregir asimetría 5 Distribución normal y estandarización De los histogramas a las curvas de densidad La distribución normal y la regla empírica 68-95-99,7 Estandarización y la distribución normal estándar N(0, 1) Cálculo de probabilidades directas e inversas Valoración de la normalidad empírica 6 Relación entre dos variables numéricas: correlación y regresión Variables respuesta y explicativa Diagrama de dispersión y exploración gráfica Coeficiente de correlación lineal de Pearson Recta de regresión por mínimos cuadrados ordinarios (MCO) Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 1 Predicciones y coeficiente de determinación R² 7 Diagnóstico de la regresión, atípicos y modelos no lineales Análisis y diagnóstico de los residuos Observaciones atípicas y puntos influyentes Riesgos de extrapolación y agregación de datos Variables latentes y correlación espuria Modelos no lineales transformables y elasticidad 8 Asociación con variables categóricas y tablas de contingencia Relación entre una variable numérica y una categórica Estructura de una tabla de contingencia Distribuciones marginales y condicionales La paradoja de Simpson y variables latentes 9 Series temporales: componentes y descomposición de largo plazo Naturaleza y representación gráfica de las series temporales Los cuatro componentes clásicos de una serie temporal Estructuras de agregación: modelos aditivo, multiplicativo y mixto Estimación de la tendencia mediante funciones matemáticas Alisado por medias móviles y cálculo de medias centradas 10 Estacionalidad y predicción en series temporales Naturaleza de la estacionalidad en el análisis de corto plazo Aislamiento y cálculo del índice estacional Desestacionalización de una serie Predicción combinando tendencia lineal y estacionalidad 11 Medición de la desigualdad: curva de Lorenz e índice de Gini Distribución tabular de rentas: frecuencias y masas acumuladas La relación entre proporciones y los escenarios extremos El índice de Gini: formulación, normalización y cálculo Ejemplo de cálculo paso a paso con datos agrupados Representación gráfica: la curva de Lorenz El índice de diferencias Propiedad de invariancia de escala 12 Medidas de concentración industrial Objetivo del análisis de concentración y cuota de mercado Índice de concentración Índice de Herfindahl ( ) Propiedades formales del índice de Herfindahl 13 Números índices simples y complejos Índices simples C k H Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 2 Índices complejos ponderados Índice de Laspeyres Índice de Paasche Comparativa, ventajas y limitaciones 14 IPC, análisis de inflación y magnitudes reales El Índice de Precios al Consumo (IPC) y su metodología Medición de la inflación: tasas mensual, interanual y acumulada Magnitudes nominales frente a magnitudes reales y deflactación Indexación de rentas e ilusión monetaria 15 Formulario Estadística univariante y transformaciones Distribución normal y estandarización Regresión lineal simple y correlación Series temporales Medidas de desigualdad y concentración Números índices, inflación y magnitudes reales Errores típicos de cálculo Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 3 1 Conceptos fundamentales y diseño muestral AL ACABAR SABRÁS Diferenciar los objetivos de la estadística descriptiva frente a la inferencial. Clasificar variables en cualitativas o cuantitativas discretas y continuas. Calcular frecuencias absolutas y relativas a partir de una distribución de datos. Identificar fuentes de sesgo muestral y explicar el procedimiento del muestreo aleatorio simple.

PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Por qué entrevistar a mil personas que opinan voluntariamente en una red social puede dar peor información que consultar a cien personas elegidas por sorteo estricto? La estadística se encarga de recopilar, ordenar y clasificar datos a partir de observaciones para realizar comparaciones e inferir conclusiones válidas sobre la realidad. ESQUEMA Estructura del análisis de datos 1. Áreas de la estadística y etapas del proceso de análisis El trabajo con datos comprende dos ramas fundamentales complementarias: Estadística descriptiva: describe, organiza y resume la información observada mediante tablas, indicadores numéricos y gráficos.

Estadística inferencial: formula modelos y predicciones sobre una población amplia a partir de observaciones parciales, asumiendo la aleatoriedad de los datos. Un dato representa un valor numérico insertado en un contexto concreto.

Para extraer conocimiento sistemático de los datos, la investigación sigue una serie de fases estructuradas: Estadística Descriptiva Describe y resume datos observados Variables cualitativas Pertenencia a grupos o categorías Variables cuantitativas Valores numéricos discretos o continuos Estadística Inferencial Generaliza conclusiones a la población Diseño muestral Selección aleatoria sin sesgos Estimación poblacional Inferencia con error probabilístico Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 4 COMPRUEBA 2 ¿En qué etapa del proceso se introduce la información informática y se examinan las variables de manera individual? 2.

Individuos y tipología de variables DEFINICIÓN Un individuo es la unidad elemental de observación en un estudio estadístico. Una variable es cualquier propiedad o característica que describe a los individuos y que toma diferentes valores en cada uno de ellos. Las variables se clasifican en función de la naturaleza de los valores que pueden adoptar: Tipo de variable Definición Subtipos y características Ejemplos Cualitativa o categórica Asigna al individuo a un grupo, estado o categoría específica sin significado aritmético directo. Categorías cualitativas no numéricas. Sexo (hombre o mujer), país de origen, tramo etario (menor o mayor de edad).

Cuantitativa o numérica Toma valores numéricos con los que tiene pleno sentido realizar operaciones aritméticas. Discreta: no admite valores intermedios; no presenta decimales. Continua: admite valores intermedios en una escala continua y presenta decimales. Edad en años cumplidos (discreta); salario bruto anual en unidades monetarias (continua). PARA RECORDARLO Una misma característica puede definirse de forma cuantitativa o cualitativa según las necesidades del estudio: registrar la edad en años genera una variable cuantitativa, pero clasificar a los individuos en «menor de edad» o «mayor de edad» la transforma en una variable cualitativa.

Paso previo (planteamiento y recolección): definir el problema que se desea investigar y recopilar los datos pertinentes. 1 Fase 1 (procesamiento inicial): introducir la información en el ordenador y explorar cada variable por separado. 2 Fase 2 (examen descriptivo): seleccionar los resultados relevantes mediante gráficos y resúmenes cuantitativos para describir el fenómeno y detectar relaciones entre variables. 3 Fase 3 (generalización): extender las conclusiones obtenidas y redactar un informe final con los hallazgos. 4 Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 5 3.

Distribución y tablas de frecuencias La distribución de una variable indica qué valores concretos adopta dicha variable y con qué periodicidad o frecuencia aparece cada uno de ellos. Para resumir bases de datos extensas se emplean las tablas de frecuencias, las cuales distinguen dos conceptos clave: Frecuencia absoluta: número total de ocasiones en que se observa un valor exacto o el recuento de casos que caen dentro de un intervalo determinado. Frecuencia relativa: proporción o porcentaje de observaciones que corresponden a ese valor o intervalo respecto al total poblacional o muestral, calculada dividiendo la frecuencia absoluta por el total de casos observados.

EJEMPLO En un colectivo de 12 individuos observados por su edad, la distribución de frecuencias absolutas es la siguiente: 18 años (1), 19 años (0), 20 años (1), 21 años (2), 22 años (2), 23 años (1) y 24 años (5). La suma de todas las frecuencias absolutas reproduce el tamaño total del grupo ( ). Si en un conjunto de 170 participantes se registran 69 hombres y 101 mujeres: Frecuencia relativa de hombres: . Frecuencia relativa de mujeres: . COMPRUEBA 3 ¿Cómo se obtiene la frecuencia relativa de una categoría a partir de su frecuencia absoluta? 4. Población, muestra y sesgos de selección La población representa el universo íntegro de individuos sobre los que se desea obtener información.

Dado que con frecuencia resulta inviable acceder a todos los miembros de la población, se selecciona una muestra, que es el subconjunto de individuos efectivamente observado para generalizar conclusiones hacia la población global. El diseño del muestreo debe recopilar datos sin alterar a la población objetivo. Si el método de selección favorece sistemáticamente a ciertos perfiles, la muestra carece de representatividad y genera estimaciones incorrectas. ERROR FRECUENTE Confundir una muestra accesible con una muestra válida.

Utilizar voluntarios o individuos de fácil acceso introduce sesgos graves que invalidan la inferencia estadística sobre la población general: Muestra de voluntarios: los sujetos deciden participar por sí mismos respondiendo a una convocatoria abierta (autoselección). Muestreo de conveniencia: el investigador escoge únicamente a las personas a las que tiene acceso inmediato y sencillo. 1 + 0 + 1 + 2 + 2 + 1 + 5 = 12 = 170 69 40,5 % = 170 101 59,4 % Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 6 5. Muestreo aleatorio simple (MAS) e inferencia estadística Para suprimir el sesgo de selección del encuestador y la autoselección de los participantes se recurre al muestreo aleatorio simple (MAS).

En este diseño, el azar determina la elección, garantizando que todos los individuos de la población tengan idéntica probabilidad de resultar seleccionados. PROCESO Procedimiento de muestreo aleatorio simple 1 Definir po blación Identificar el universo completo del estudio 2 Numerar individuos Asignar un código único a cada sujeto 3 Selección por azar Extraer códigos con tablas aleatorias o software 4 Construir muestra Reunir la muestra re presentativa no sesgada El procedimiento conceptual consiste en asignar un número a cada individuo de la población y extraer los identificadores por sorteo.

En la práctica se emplean herramientas informáticas o una tabla de dígitos aleatorios para seleccionar los códigos de la base poblacional. La inferencia estadística induce el comportamiento poblacional a partir de la muestra con un margen de error cuantificable en términos de probabilidad. Las métricas calculadas sobre la muestra son exclusivamente estimaciones del parámetro poblacional real; al aumentar el tamaño de una muestra aleatoria, la precisión de dichas estimaciones se incrementa de forma consistente. COMPRUEBA 4 ¿Por qué una muestra de gran tamaño no garantiza resultados precisos si no ha sido seleccionada de forma aleatoria?

IDEAS CLAVE La estadística descriptiva sintetiza los datos observados, mientras que la estadística inferencial proyecta conclusiones sobre toda la población asumiendo la aleatoriedad. Las variables pueden ser cualitativas (categorías sin valor aritmético) o cuantitativas (numéricas, discretas si no admiten valores intermedios o continuas si aceptan decimales). La frecuencia absoluta contabiliza el número de observaciones, y la frecuencia relativa expresa esa cuantía como proporción o porcentaje sobre el total. Los muestreos de conveniencia y de voluntarios generan muestras sesgadas no representativas.

El muestreo aleatorio simple (MAS) otorga a cada individuo la misma probabilidad de ser elegido, y sus estimaciones ganan precisión al aumentar el tamaño muestral. Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 7 COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 5. ¿En qué se diferencia una variable cuantitativa discreta de una cuantitativa continua según los apuntes? 6. ¿Qué riesgos introducen el muestreo de conveniencia y la muestra de voluntarios en un estudio? 7. ¿Por qué los resultados obtenidos a partir de una muestra no son valores exactos de la población? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 8. ¿Qué caracteriza a una variable cualitativa o categórica? 9.

¿Cómo se define la frecuencia relativa de una observación? 10. ¿Cuál es la principal ventaja del muestreo aleatorio simple (MAS)? 11. ¿Qué ocurre con la precisión al aumentar el tamaño de una muestra aleatoria?

Mide intervalos numéricos continuos a) Clasifica al individuo en un grupo b) Admite cálculos aritméticos con decimales c) Siempre toma valores enteros positivos d) Número de individuos con valores menores a) Proporción de casos sobre el total b) Diferencia entre el valor máximo y mínimo c) Recuento total de casos observados d) Asegura la respuesta de todos a) Garantiza un coste económico nulo b) Elimina el sesgo de selección c) Evita el uso de ordenadores d) Aumenta la precisión de la estimación a) Se incrementa el sesgo del estudio b) Los valores muestrales se vuelven exactos c) Disminuye la representatividad muestral d) Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 8 2 Descripción gráfica de variables cualitativas y cuantitativas AL ACABAR SABRÁS Elegir el gráfico apropiado según la naturaleza cualitativa o cuantitativa de la variable Construir e interpretar histogramas analizando centro, dispersión, forma y atípicos Identificar la simetría o asimetría empírica relacionando media, mediana y moda Elaborar diagramas de tallo y hojas aplicando la partición de tallos cuando convenga PIÉNSALO ANTES DE LEER 12 ¿Por qué las barras de un histograma se dibujan siempre pegadas mientras que las de un diagrama de barras van separadas?

El análisis exploratorio de datos examina las características esenciales de un conjunto de observaciones mediante representaciones visuales y resúmenes numéricos. Cuando se analiza una variable de manera individual, el primer paso consiste en registrar sus valores y la frecuencia con la que aparecen para determinar su distribución. ESQUEMA Descripción gráfica de variables Representaciones gráficas para variables cualitativas Las variables categóricas o cualitativas (véase «Conceptos fundamentales y diseño muestral») agrupan a los individuos en categorías no numéricas.

Para resumirlas, se cuenta cuántos individuos pertenecen a cada clase y se emplean dos instrumentos gráficos principales: el diagrama de barras y el diagrama de sectores. Variables cualitativas Para datos categóricos o clasificaciones Diagrama de barras Compara frecuencias mediante alturas separadas Diagrama de sectores Muestra partes de un total circular Variables cuantitativas Para mediciones y recuentos numéricos Histograma Barras contiguas con área proporcional Tallo y hojas Conserva los valores numéricos individuales Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 9 El diagrama de barras representa cada categoría mediante una barra independiente.

La altura de cada barra es proporcional a su frecuencia (absoluta o relativa), lo que facilita una comparación visual inmediata entre categorías. En este gráfico no es obligatorio incluir todas las categorías existentes del conjunto de datos si se desea destacar solo algunas. Diagrama de barras comparando el número absoluto de diputados por formación política. Por su parte, el diagrama de sectores divide un círculo en porciones cuyo ángulo o superficie refleja la proporción de cada categoría respecto al total. A diferencia de las barras, el diagrama circular exige incluir la totalidad de las categorías para que la suma conforme el 100 % del grupo analizado.

Diagrama de sectores que muestra la distribución porcentual de diputados por partido. Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 10 Partido Diputados JPS 62 C's 25 PSC 16 CSQ 11 PP 11 CUP 10 COMPRUEBA 13 ¿Por qué un diagrama de sectores no puede omitir ninguna categoría observada en la muestra? Histogramas para variables cuantitativas continuas Para describir variables numéricas continuas con un volumen considerable de observaciones, la herramienta fundamental es el histograma. Esta representación agrupa los datos numéricos en clases continuas contiguas. A diferencia del diagrama de barras, en el histograma la superficie de cada barra representa la frecuencia asociada a ese intervalo.

Por ello, las barras se dibujan pegadas unas a otras sin espacios intermedios, reflejando la continuidad de la escala numérica. ERROR FRECUENTE Confundir un diagrama de barras con un histograma. En el diagrama de barras las columnas están separadas porque representan categorías discretas o cualitativas. En el histograma las barras son contiguas y la magnitud de la frecuencia viene dada por el área de la barra. Interpretación de histogramas y asimetría de la distribución Al analizar un histograma se deben identificar cuatro aspectos centrales: el aspecto general de la forma, el centro de los valores, la dispersión o variabilidad, y las posibles desviaciones o observaciones atípicas.

El gráfico permite advertir el grado de homogeneidad de la variable o la ausencia de un patrón regular. Según la forma del perfil, las distribuciones pueden ser simétricas o asimétricas: Ordenar los datos: se disponen las observaciones numéricas en orden creciente. 1 Dividir el recorrido: se divide el rango de los datos en clases o intervalos de igual amplitud. 2 Construir los intervalos: se determinan los límites numéricos de cada clase contigua. 3 Graficar el histograma: se levantan barras contiguas sobre el eje horizontal cuya área corresponde a la frecuencia observada en cada clase.

4 Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 11 Distribución simétrica: los lados derecho e izquierdo respecto al centro son aproximadamente imágenes especulares. En una distribución simétrica exacta y unimodal coinciden los tres estadísticos centrales: media = mediana = moda. Asimetría a la derecha (positiva): el extremo o cola derecha del histograma se extiende mucho más lejos que el lado izquierdo. En esta situación, los valores extremos arrastran al promedio, cumpliéndose habitualmente que moda < mediana < media. Asimetría a la izquierda (negativa): la cola izquierda del histograma se prolonga sensiblemente más que la derecha.

El orden de los estadísticos resulta media < mediana < moda. Gráfica comparativa de simetría y asimetría hacia la izquierda y derecha. COMPRUEBA 14 Si un histograma presenta una cola muy alargada hacia valores elevados a la derecha, ¿cuál de los estadísticos centrales tomará el valor numérico más alto? Diagrama de tallo y hojas El diagrama de tallo y hojas (stem-and-leaf) es una técnica semigráfica para variables cuantitativas que permite visualizar la forma de la distribución sin perder los valores individuales originales. Resulta idóneo para conjuntos de tamaño moderado cuyos datos no se concentren exclusivamente en un único tallo.

En este gráfico, cada valor numérico se descompone en dos partes: la hoja, formada únicamente por el último dígito, y el tallo, constituido por las cifras delanteras restantes. Las clases vienen fijadas de modo natural por los dígitos del tallo. No obstante, el analista puede redondear las cifras para disminuir el número de clases o, si necesita aumentar el detalle, partir cada tallo en dos (por ejemplo, hojas del 0 al 4 en la primera línea y del 5 al 9 en la segunda). Ordenar los valores: se sitúan las observaciones en orden numérico ascendente.

1 Elaborar la estructura: se dispone una tabla vertical de dos columnas; la columna izquierda alberga los tallos en orden creciente de arriba hacia abajo. 2 Anotar las hojas: se sitúa cada hoja a la derecha de su respectivo tallo, también ordenadas de menor a mayor horizontalmente.

3 Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 12 Criterio Histograma Diagrama de tallo y hojas Conservación del dato original Se pierde al resumirse dentro de intervalos continuos Se conserva íntegramente cada cifra individual Volumen de datos idóneo Grandes conjuntos de datos cuantitativos Muestras de tamaño medio o moderado Flexibilidad de clases Elección libre de intervalos de clase de igual amplitud Clases fijadas por el sistema decimal (salvo división de tallos o redondeo) Representación de la frecuencia Superficie o área de las barras continuas Longitud de la hilera horizontal de dígitos (hojas) COMPRUEBA 15 ¿En qué consiste el procedimiento de dividir o particionar tallos en un diagrama de tallo y hojas?

IDEAS CLAVE Las variables cualitativas se describen mediante diagramas de barras (que comparan alturas entre categorías) y diagramas de sectores (que exigen abarcar el 100 % de los casos). En los histogramas continuos, el área de las barras representa la frecuencia, por lo que las barras se disponen contiguas sin separación. La interpretación de un histograma requiere examinar su forma general, su centro, su dispersión y la presencia de observaciones atípicas. En una distribución simétrica unimodal coinciden media, mediana y moda; las asimetrías desplazan la media hacia la cola más larga.

El diagrama de tallo y hojas retiene el valor numérico exacto de cada dato y admite partir tallos para conseguir mayor resolución gráfica. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 16. ¿Cuál es la diferencia fundamental entre el diagrama de barras y el histograma en cuanto a la disposición física de las barras? 17. ¿Cómo se ordenan la media, la mediana y la moda en una distribución con asimetría pronunciada a la derecha? 18. ¿Qué parte de un número constituye la hoja al elaborar un diagrama de tallo y hojas? Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 13 Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 19.

¿Qué gráfico categórico exige obligatoriamente incluir todas las categorías para ser válido? 20. En un histograma, ¿qué magnitud geométrica representa directamente la frecuencia de un intervalo? 21. En una distribución unimodal simétrica, ¿qué relación guardan las medidas centrales? 22. ¿Qué ventaja ofrece el diagrama de tallo y hojas frente al histograma convencional? 3 Medidas de posición, dispersión y forma AL ACABAR SABRÁS Diferenciar entre medidas resistentes y no resistentes ante valores extremos. Calcular cuartiles y el rango intercuartílico en una muestra ordenada. Identificar el tipo de asimetría a partir de la relación entre media y mediana.

Clasificar una distribución según su grado de curtosis respecto a la normal. PIÉNSALO ANTES DE LEER 23 ¿Por qué calcular el salario medio de una empresa puede ser engañoso si el director general percibe un sueldo millonario? La descripción numérica sintetiza la información contenida en las variables cuantitativas mediante estadísticos que resumen su posición, variabilidad y morfología geométrica. Para un análisis completo no basta con conocer el centro; resulta indispensable cuantificar la dispersión y evaluar la forma de los datos.

Histograma de frecuencias a) Diagrama de tallo y hojas b) Diagrama de barras c) Diagrama de sectores d) El área de la barra a) La separación entre barras b) El perímetro de la figura c) La base del rectángulo d) Media > Mediana > Moda a) Moda > Mediana > Media b) Media = Mediana = Moda c) Media = Moda Mediana d) Conserva los valores originales a) Omite los valores atípicos b) Admite millones de datos c) Ignora la forma de distribución d) Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 14 Medidas de posición central y robustez Las medidas de centro buscan señalar el valor representativo o intermedio en torno al cual se acumulan las observaciones: Media aritmética ( ): se obtiene dividiendo la suma total de las observaciones entre el número de datos .

Mediana ( ): es el valor que ocupa la posición central una vez ordenados los datos. Separa exactamente el 50 % inferior del 50 % superior. Si es impar, ocupa el lugar . Si es par, promedia los dos valores centrales en las posiciones y . Moda: es el valor o categoría con mayor frecuencia. Una serie puede ser unimodal, bimodal o carecer de moda definida. DEFINICIÓN Un estadístico es robusto o resistente si no se ve distorsionado de manera drástica ante la presencia de observaciones atípicas o colas pronunciadas. La media no es robusta: un único dato extremo la desplaza con fuerza hacia su valor.

En contraposición, la mediana es una medida resistente porque depende del orden posicional y no de la magnitud numérica de los extremos. COMPRUEBA 24 ¿Por qué la mediana representa mejor el centro que la media en una empresa donde el director cobra diez veces más que el resto de empleados? Medidas de posición no centrales y resumen de cinco números Para describir la distribución sin asumir simetría, se recurre a posiciones de corte: Mínimo y máximo: extremos observados que delimitan el rango o recorrido (Máximo - Mínimo). Cuartiles: tres puntos que dividen el conjunto ordenado en cuatro partes iguales.

El primer cuartil (Q1) deja atrás el 25 % de los datos; el segundo cuartil ( ) coincide con la mediana (50 %); y el tercer cuartil (Q3) deja el 75 % por debajo. Rango intercuartílico ( ): cuantifica la dispersión del 50 % central de los datos mediante la resta: x ˉ n = x ˉ x n 1 i=1 n i M n 2 n+1 n 2 n + 2 n 1 Q 2 RIQ RIQ = Q 3 Q 1 Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 15 Esquema del diagrama de caja con cuartiles y valores extremos. El esquema de cinco números (mínimo, , , y máximo) fundamenta la construcción de los diagramas de cajas, herramienta clave para detectar valores anómalos y comparar grupos.

Medidas de dispersión La variabilidad cuantifica la separación de los datos respecto a su punto central: Varianza muestral ( ): promedio de las desviaciones cuadráticas de cada valor frente a la media. Desviación típica ( ): raíz cuadrada de la varianza. Se expresa en las mismas unidades de medida que la variable original: Coeficiente de variación de Pearson ( ): mide la dispersión relativa dividiendo la desviación típica entre la media.

Carece de unidades y permite comparar la variabilidad entre conjuntos de datos con distintas escalas: Criterio Conjunto paramétrico (media y desviación típica) Conjunto resistente (cinco números y RIQ) Sensibilidad a atípicos No resistentes; fuertemente afectados por extremos. Resistentes; inalterados frente a valores extremos aislados. Uso recomendado Distribuciones simétricas y sin observaciones atípicas. Distribuciones asimétricas o con valores atípicos notables. Unidades de medida Mismas unidades de la variable original. Mismas unidades de la variable original.

Q 1 Q 2 Q 3 s2 s = 2 n 1 (x ) i=1 n i x ˉ 2 s s = = s2 n 1 (x ) i=1 n i x ˉ 2 V V = x ˉ s Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 16 ERROR FRECUENTE Utilizar la media y la desviación típica para resumir distribuciones con fuerte asimetría o valores anómalos. La presencia de extremos infla la desviación y sesga la media, transmitiendo una imagen distorsionada de la dispersión y la posición central. En tales situaciones debe emplearse la mediana junto con el RIQ o los cinco números resumen. COMPRUEBA 25 ¿Qué magnitud adquiere la desviación típica muestral cuando todas las observaciones de una muestra son idénticas?

Medidas de forma: asimetría Las medidas de forma determinan el perfil de la curva sin recurrir necesariamente a la representación gráfica (véase «Descripción gráfica de variables cualitativas y cuantitativas»). La asimetría mide la inclinación o balance hacia los extremos: Gráfica de curvas con asimetría negativa, simétrica y positiva. En distribuciones unimodales campaniformes se dan tres patrones: Simétrica: . El reparto es idéntico a ambos lados del centro. Asimétrica positiva (a la derecha): > M. La cola se extiende hacia los valores grandes, atrayendo la media. Asimétrica negativa (a la izquierda): < M.

La cola se alarga hacia los valores bajos, desplazando la media por debajo de la mediana. Para cuantificar este fenómeno se emplean el coeficiente de asimetría de Pearson ( ) y el coeficiente de asimetría de Fisher: Un valor nulo indica simetría perfecta, un valor positivo denota sesgo a la derecha y un valor negativo denota sesgo a la izquierda.

= x ˉ M = Moda x ˉ x ˉ A = p 1 s Moda x ˉ CAS = n 1 1 i=1 n s3 (x ) i x ˉ 3 Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 17 ESQUEMA Clasificación de medidas de resumen Medidas de forma: curtosis La curtosis cuantifica la concentración de observaciones en torno al centro y en las colas, indicando el grado de apuntamiento en contraste con la distribución normal (véase «Distribución normal y estandarización»). Se mide habitualmente con el coeficiente de curtosis de Fisher: Gráfica comparativa de curvas leptocúrtica, mesocúrtica y platicúrtica.

Según este coeficiente se definen tres tipologías: Leptocúrtica ( ): distribución muy apuntada, con gran concentración de datos en el centro y colas pesadas. Mesocúrtica ( ): apuntamiento idéntico al de una distribución normal de referencia. Platicúrtica ( ): curva achatada o aplanada, con baja concentración central y colas ligeras.

Posición Localización de los datos Centro Media, mediana y moda No centrales Cuartiles, mínimo y máximo Dispersión Variabilidad de los datos Absoluta Varianza, desviación y RIQ Relativa Coeficiente de variación Forma Perfil y morfología Asimetría Pearson y Fisher Curtosis Apuntamiento de la curva Curtosis = i=1 n ns4 (x ) i x ˉ 4 3 Curtosis > 0 Curtosis = 0 Curtosis < 0 Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 18 COMPRUEBA 26 Si el coeficiente de curtosis de Fisher arroja un valor de +1,8, ¿qué morfología exhibe la distribución en comparación con la distribución normal?

IDEAS CLAVE La media y la desviación típica son sensibles a valores atípicos, mientras que la mediana y el rango intercuartílico son estadísticos resistentes. En distribuciones simétricas unimodales se cumple la igualdad . El sesgo positivo sitúa la media a la derecha de la mediana ( ), mientras que el sesgo negativo la desplaza a la izquierda ( ). El coeficiente de variación de Pearson permite comparar la variabilidad relativa de dos series eliminando el efecto de las unidades. La curtosis evalúa el apuntamiento y el peso de las colas, clasificándose en leptocúrtica (> 0), mesocúrtica (= 0) y platicúrtica (< 0). COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 27.

¿Cómo se ordenan la media, la mediana y la moda en una distribución con asimetría positiva unimodal? 28. ¿Por qué el coeficiente de variación de Pearson resulta indispensable para comparar la dispersión entre dos variables con escalas dispares? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 29. ¿Qué medida de posición central es resistente a observaciones extremas? 30. En una distribución unimodal con asimetría negativa, ¿qué relación se cumple? 31. ¿Cómo se define el rango intercuartílico (RIQ)?

= x ˉ M = Moda > x ˉ M < x ˉ M La mediana a) La media aritmética b) La desviación típica c) La varianza d) Varianza igual a cero a) Media igual a mediana b) Media menor que mediana c) Media mayor que mediana d) Q3 más Q1 a) Q3 menos Q1 b) Q2 menos Q1 c) Máximo menos mínimo d) Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 19 32.

Una distribución con coeficiente de curtosis menor que cero se denomina: 4 Datos agrupados y transformaciones lineales AL ACABAR SABRÁS Aproximar la media, mediana y cuartiles a partir de tablas con datos agrupados en intervalos Calcular la mediana y percentiles mediante la técnica de interpolación lineal Predecir las variaciones en medidas de posición, dispersión y forma tras aplicar transformaciones lineales Identificar cuándo recurrir a transformaciones no lineales para corregir asimetrías distributivas PIÉNSALO ANTES DE LEER 33 ¿Qué ocurre con la desviación típica del salario de una plantilla si a todos los empleados se les incrementa el sueldo en 100 euros?

Cuando se trabaja con una gran cantidad de observaciones de una variable numérica, la información suele resumirse en tablas de frecuencias por clases o intervalos. El análisis cuantitativo requiere adaptar el cálculo de los estadísticos y conocer con precisión cómo se modifican los resultados al cambiar las unidades de medida.

ESQUEMA Estructura del análisis de datos univariantes agrupados y transformados Simétrica a) Mesocúrtica b) Platicúrtica c) Leptocúrtica d) Datos agrupados Tratamiento de frecuencias en intervalos Marcas de clase Puntos medios para media y varianza Interpolación lineal Cálculo continuo de mediana y cuartiles Transformaciones de datos Modificación de escalas y unidades Transformaciones lineales Cambios de origen y escala predecibles Transformaciones no lineales Corrección de asimetría con logaritmos Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 20 Tratamiento de variables cuantitativas agrupadas en clases e intervalos Los datos agrupados consisten en un conjunto de valores numéricos presentados mediante una tabla de distribución de frecuencias dividida en intervalos.

Aunque en este formato se pierde el acceso a los valores individuales originales, es posible estimar las principales medidas descriptivas de posición y dispersión. Para simplificar los cálculos de la media o de la dispersión, cada clase se representa mediante un único valor representativo denominado marca de clase, que coincide con el punto medio del intervalo.

Si un intervalo viene definido por sus límites , su marca de clase se obtiene calculando la semisuma de dichos extremos: Aproximación de la media y la desviación típica Al no disponer de las observaciones exactas, la media aritmética (véase «Medidas de posición, dispersión y forma») se aproxima ponderando la marca de clase de cada intervalo por su respectiva frecuencia absoluta : Donde corresponde al número total de observaciones analizadas.

La dispersión muestral se cuantifica a través de la desviación típica estimada , calculando las desviaciones cuadráticas de cada marca de clase respecto a la media ponderada obtenida: En el caso de la moda, la aproximación directa en datos agrupados consiste en seleccionar la marca de clase asociada al intervalo que registra la mayor frecuencia absoluta. Si dos intervalos no contiguos comparten la frecuencia máxima, la distribución es bimodal, y pasa a ser multimodal si existen más de dos máximos idénticos. COMPRUEBA 34 ¿Por qué el cálculo de la media a partir de las marcas de clase produce un resultado aproximado y no exacto?

Cálculo aproximado e interpolación lineal de la mediana y cuartiles Para determinar la posición de la mediana y los cuartiles (véase «Medidas de posición, dispersión y forma»), se utilizan las frecuencias acumuladas para ubicar el intervalo donde se encuentra el orden buscado. Como primera aproximación rápida, puede tomarse el punto medio del intervalo correspondiente. No obstante, para obtener un cálculo más preciso sin recurrir al valor central aproximado, se emplea el método de la interpolación lineal.

La fórmula de interpolación lineal reparte uniformemente los casos dentro del ancho del intervalo seleccionado: [L , L ) i s x i x = i 2 L + L i s n i = x ˉ N x n i i N s s = N 1 (x ) n i x ˉ 2 i Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 21 En esta expresión: : límite inferior del intervalo que contiene a la mediana. : número total de datos observados. : frecuencia absoluta acumulada del intervalo inmediatamente anterior al intervalo mediano. : frecuencia absoluta del intervalo de la clase de la mediana. : amplitud o ancho del intervalo.

Este mismo procedimiento se extiende a los cuartiles ajustando la posición de referencia; por ejemplo, sustituyendo el valor por para el primer cuartil o por para el tercer cuartil. COMPRUEBA 35 ¿Qué papel cumple la amplitud c en la fórmula de interpolación lineal de la mediana? Transformaciones lineales: cambio de origen y cambio de escala Con frecuencia resulta conveniente transformar una variable original para modificar su unidad de medida o facilitar su interpretación matemática mediante transformaciones elementales. Un cambio de origen o traslación consiste en sumar o restar una cantidad constante a cada observación, definiéndose como .

Gráficamente, produce un desplazamiento horizontal rígido del histograma hacia la derecha o hacia la izquierda sin alterar su anchura ni su simetría. Gráfica de cambio de origen que muestra el desplazamiento horizontal del histograma. Un cambio de escala ocurre al multiplicar o dividir cada observación por una constante distinta de cero, expresado como . En este caso, el histograma se expande o se comprime horizontalmente en función del factor , modificando la dispersión entre los datos sin alterar sus frecuencias observadas.

Med = L + i,med ( f md F 2 n a ) c L i,med n F a f md c n/2 n/4 3n/4 X a Y = X + a Y = X/b b Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 22 Gráfica de cambio de escala con ensanchamiento de la distribución al multiplicar. Al combinar ambas operaciones sobre los datos, se define una transformación lineal general de la forma: Efecto de las transformaciones sobre medidas estadísticas El impacto de una transformación lineal sobre los distintos estadísticos descriptivos se rige por propiedades bien determinadas: Medidas de posición: Cualquier medida de posición (como la media, la mediana, la moda o los cuartiles) sufre íntegramente la transformación: .

Medidas de dispersión: El rango, el rango intercuartílico ( ) y la desviación típica no se ven afectados por el cambio de origen, ya que la distancia entre puntos permanece invariante ante traslaciones. Sin embargo, se ven afectados por la escala mediante el valor absoluto del divisor: . La varianza, por su naturaleza cuadrática, queda dividida por . Medidas de forma: La asimetría y la curtosis son índices adimensionales e invariantes ante transformaciones lineales, debido a que el ajuste en el numerador cancela exactamente el factor de escala presente en el denominador de sus expresiones estandarizadas.

Tipo de medida Estadísticos representativos Efecto de Y = (X + a) / b Posición Media, Mediana, Moda, Cuartiles Dispersión lineal Rango, RIQ, Desviación típica (invariantes a la suma de ) Dispersión cuadrática Varianza (invariante a la suma de ) Forma Asimetría, Curtosis No cambian Y = b X + a R x R = y b R +a x RIQ = Q 3 Q 1 R = y b R x b2 R = y b R +a x R = y b R x a s = y 2 b2 s x 2 a Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 23 ERROR FRECUENTE Al transformar datos mediante , no debe asumirse que el coeficiente de variación permanece constante.

Dado que la desviación típica solo cambia con mientras que la media se ve afectada conjuntamente por y , el cociente se altera siempre que exista un cambio de origen ( ). COMPRUEBA 36 Si a todas las puntuaciones de un examen se les suman 2 puntos de bonificación, ¿cómo varía la desviación típica? Transformaciones no lineales para corregir asimetría Cuando una variable numérica presenta una fuerte asimetría (véase «Descripción gráfica de variables cualitativas y cuantitativas») o alejamientos severos respecto a la distribución normal, las transformaciones lineales no son útiles para cambiar su perfil morfológico. En tales situaciones se aplican transformaciones no lineales.

Entre las más empleadas figuran la transformación logarítmica, la exponencial, las potencias polinómicas, la raíz cuadrada y la función inversa. Estas operaciones modifican de manera no proporcional las distancias relativas entre valores, permitiendo comprimir colas largas hacia la derecha, estabilizar la dispersión y aproximar la distribución de los datos a un comportamiento simétrico o normal. IDEAS CLAVE En datos agrupados, la media y la desviación típica se aproximan utilizando la marca de clase o punto medio de cada intervalo. La interpolación lineal permite determinar con precisión la mediana y los cuartiles asumiendo una distribución uniforme dentro del intervalo.

Bajo una transformación lineal , las medidas de posición se transforman como . Las medidas de dispersión lineal son invariantes ante cambios de origen y se escalan según . Los coeficientes de asimetría y curtosis no sufren alteraciones frente a transformaciones lineales. Las transformaciones no lineales (como el logaritmo o la raíz cuadrada) se aplican específicamente para corregir la asimetría y buscar distribuciones normales. Y = (X + a)/b b a b CV = s/x ˉ a = 0 Y = (X + a)/b R = y (R + x a)/b R = y R / b x Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 24 COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 37. En una transformación lineal dada por , ¿cómo cambia la desviación típica si la de es 8? 38.

¿Por qué las medidas de asimetría y curtosis permanecen inalteradas ante un cambio lineal de escala? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 39. ¿Cómo se define la marca de clase de un intervalo estadístico? 40. Si a todos los datos se les aplica Y = X + 5, ¿qué estadístico permanece inalterado? 41. Bajo la transformación Y = X / 4, ¿cómo queda la varianza de la nueva variable? 42. ¿Cuál es el propósito principal de aplicar una transformación logarítmica a una variable? 5 Distribución normal y estandarización AL ACABAR SABRÁS Identificar las propiedades matemáticas básicas de una curva de densidad.

Aplicar la regla 68-95-99,7 para calcular proporciones en distribuciones normales. Calcular puntuaciones Z y desestandarizar valores para obtener percentiles con la tabla N(0, 1).

Y = (X + 10)/2 X La frecuencia acumulada de la clase a) El límite superior del intervalo b) La amplitud total de la clase c) El punto medio del intervalo d) La media aritmética a) El tercer cuartil b) La mediana c) El rango intercuartílico d) Permanece inalterada a) Dividida por 4 b) Dividida por 16 c) Multiplicada por 4 d) Reducir la asimetría de la distribución a) Mantener constantes media y mediana b) Aumentar su rango intercuartílico c) Eliminar las frecuencias absolutas d) Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 25 PIÉNSALO ANTES DE LEER 43 ¿Por qué es posible comparar el rendimiento de dos estudiantes que realizaron exámenes con escalas de notas y dificultades completamente distintas?

El estudio de variables cuantitativas continuas requiere a menudo modelos teóricos que resuman su comportamiento general mediante curvas continuas. ESQUEMA Distribución normal y estandarización De los histogramas a las curvas de densidad En un histograma tradicional (véase «Descripción gráfica de variables cualitativas y cuantitativas»), la altura de los rectángulos refleja el recuento de observaciones en cada intervalo. Cuando el volumen de datos aumenta y los intervalos se hacen más estrechos, el perfil superior escalonado adopta una forma regular y continua. Ajuste de una curva de densidad sobre un histograma unimodal.

Curva de densidad Modelo continuo con área total unitaria Propiedades de área No negatividad y área total igual a 1 Distribución normal Modelo simétrico gaussiano N(μ, σ) Regla 68-95-99,7 Dispersión empírica por desviaciones típicas Estandarización Conversión a N(0, 1) y cálculo Z Puntuación Z z = (x - μ) / σ Uso de tablas Probabilidades directas y percentiles inversos Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 26 Esta transición genera una curva de densidad, un modelo matemático que resume el aspecto global ignorando pequeñas fluctuaciones y valores anómalos. A diferencia del histograma, la curva de densidad no depende de la elección arbitraria de los intervalos de clase.

DEFINICIÓN Una curva de densidad es una función matemática que cumple dos propiedades esenciales: Se sitúa siempre sobre el eje horizontal o a su nivel: . El área total bajo la curva es exactamente igual a 1 (representa el 100 % de las observaciones). La proporción de observaciones contenida entre dos valores equivale al área comprendida bajo la curva en dicho intervalo. Las curvas de densidad adoptan diversas formas: simétricas, con asimetría positiva (cola alargada a la derecha) o con asimetría negativa (cola alargada a la izquierda).

Medida numérica Interpretación en la curva de densidad Comportamiento según la forma Mediana Punto del eje horizontal que divide el área bajo la curva exactamente en dos mitades iguales (0,5 a cada lado). Coincide con el percentil 50. Los cuartiles dejan a su izquierda un cuarto (0,25) y tres cuartos (0,75) del área. Media ( ) Punto de equilibrio o centro de gravedad físico del área bajo la curva. En distribuciones simétricas coincide con la mediana. En asimétricas a la derecha es mayor que la mediana; en asimétricas a la izquierda es menor. Desviación típica ( ) Medida de dispersión del modelo calculada matemáticamente. Controla el grado de apuntamiento y anchura de la distribución.

Conviene distinguir la notación entre datos observados y modelos teóricos: la media muestral se denota y su dispersión , mientras que los parámetros de la curva de densidad se representan con las letras griegas y . COMPRUEBA 44 ¿En qué posición se sitúa la media respecto a la mediana en una curva de densidad con asimetría a la derecha? La distribución normal y la regla empírica 68-95-99,7 Entre todas las curvas de densidad, destaca la distribución normal o campana de Gauss, caracterizada por ser perfectamente simétrica y unimodal. f(x) 0 μ σ x ˉ s μ σ Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 27 Curva de densidad campaniforme de una distribución normal.

Una distribución normal queda completamente especificada mediante únicamente dos parámetros: . El parámetro determina la localización central en el eje horizontal, mientras que modula la dispersión y el apuntamiento. Gráficamente, representa la distancia horizontal desde la media hasta los puntos de inflexión de la curva. Muchas variables aleatorias y fenómenos biológicos se aproximan a este modelo, constituyendo la base de la inferencia estadística (véase «Conceptos fundamentales y diseño muestral»). Toda curva normal verifica con precisión matemática la llamada regla empírica: Esquema de porcentajes de la regla 68-95-99,7 en la normal.

N(μ, σ) μ σ σ Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 28 DEFINICIÓN La regla 68-95-99,7 establece los porcentajes de observaciones situados en intervalos simétricos alrededor del centro: Aproximadamente el 68 % de las observaciones se encuentra en el intervalo . Aproximadamente el 95 % de las observaciones se sitúa en el intervalo . Aproximadamente el 99,7 % de las observaciones queda comprendido en el intervalo . EJEMPLO Supongamos que la estatura masculina adulta sigue una distribución en metros: El 95 % de los individuos medirá entre y . Por simetría, el 5 % restante se divide a partes iguales: un 2,5 % medirá menos de 1,63 m y un 2,5 % superará los 1,87 m.

Prácticamente la totalidad (el 99,7 %) medirá entre y . COMPRUEBA 45 Si una variable sigue una distribución N(100, 15), ¿qué porcentaje de valores superará 130? Estandarización y la distribución normal estándar N(0, 1) Aunque existen infinitas curvas normales con diversas medias y varianzas, todas comparten una estructura geométrica idéntica. Para comparar observaciones o calcular probabilidades directas, se realiza una estandarización.

DEFINICIÓN La puntuación Z transforma una observación expresando a cuántas desviaciones típicas se sitúa de la media: Esta transformación lineal traslada cualquier variable normal a la distribución normal estándar , cuya media es 0 y cuya desviación típica es 1. Una puntuación positiva indica un valor superior a la media, mientras que una puntuación negativa señala que el valor se encuentra por debajo de ella.

μ ± σ μ ± 2σ μ ± 3σ N(1,75; 0,06) 1,75 2(0,06) = 1,63 m 1,75 + 2(0,06) = 1,87 m 1,75 3(0,06) = 1,57 m 1,75 + 3(0,06) = 1,93 m x z = σ x μ N(0, 1) z Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 29 EJEMPLO En una población con estatura , una persona que mide 1,80 m tiene un valor estandarizado de: Esto significa que su estatura se encuentra 0,83 desviaciones típicas por encima de la media poblacional. ERROR FRECUENTE El error más habitual consiste en restar los términos en orden inverso al calcular la puntuación , escribiendo en lugar de . Esto invierte el signo de y asigna probabilidades incorrectas.

Recuerda siempre: primero va el dato individual , y a este se le sustrae el centro poblacional . Cálculo de probabilidades directas e inversas La estandarización permite responder preguntas de probabilidad recurriendo a una única tabla matemática de la normal estándar, la cual proporciona las áreas acumuladas situadas a la izquierda de cada valor .

PROCESO Procedimiento de cálculo con la normal 1 Plantear intervalo Definir el umbral en la variable original x 2 Estandari zar a Z Calcular z = (x - μ) / σ 3 Consultar tabla Hallar el área acumu lada a la izquierda 4 Interpretar probabilidad Expresar el resultado en proporción o porcentaje Cálculo directo de probabilidades Si el valor estandarizado resulta extremadamente bajo ( ), el área acumulada a la izquierda se asume como 0 %. Si resulta muy alto ( ), dicha área se considera del 100 %.

Cálculo inverso de percentiles Cuando el objetivo es determinar el valor asociado a un porcentaje o percentil específico, el procedimiento se invierte: N(1,75; 0,06) z = = 0,06 1,80 1,75 0,83 z (μ x)/σ (x μ)/σ z x μ z Formular el intervalo de interés en términos de la variable original: por ejemplo, . 1 x < x 0 Estandarizar el valor umbral calculando . 2 z = (x 0 μ)/σ Buscar la puntuación en la tabla de la normal estándar (cruce de filas con el primer decimal y columnas con el segundo decimal) para obtener el área acumulada. 3 z z < 3,49 z > 3,49 x Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 30 EJEMPLO Las calificaciones de una prueba siguen un modelo .

Se desea conocer la calificación mínima necesaria para figurar en el 10 % superior de los aspirantes: Pertenecer al 10 % superior implica dejar un área acumulada de 0,90 a la izquierda. En la tabla normal estándar, la probabilidad más cercana a 0,90 es 0,8996, correspondiente a . Despejando el valor original: puntos. COMPRUEBA 46 ¿Cómo se halla la nota que delimita el 20 % superior de una distribución conociendo z? Valoración de la normalidad empírica No todos los conjuntos de datos se ajustan a un modelo gaussiano.

Antes de aplicar técnicas basadas en la distribución normal, conviene verificar su validez mediante dos vías complementarias: Diagnóstico visual: inspección gráfica mediante histogramas para detectar asimetrías acusadas o presencia de observaciones atípicas. Diagnóstico numérico: evaluación de los coeficientes de simetría y curtosis (véase «Medidas de posición, dispersión y forma»), y comprobación empírica del cumplimiento de los porcentajes previstos por la regla 68-95-99,7 en los datos muestrales. IDEAS CLAVE Una curva de densidad se define con valores no negativos y un área total bajo la curva estrictamente igual a 1.

En una distribución normal simétrica y unimodal, la media, la mediana y la moda coinciden exactamente en el centro. La regla empírica establece que el 68 %, el 95 % y el 99,7 % de los datos se encuentran a 1, 2 y 3 desviaciones típicas de la media, respectivamente. La tipificación transforma cualquier normal en una distribución estándar . El cálculo inverso de percentiles permite obtener el valor original mediante a partir del área acumulada. Identificar el área acumulada a la izquierda requerida. Si se especifica un porcentaje superior (cola derecha), se halla su complemento a 1.

1 Localizar en el cuerpo interior de la tabla la probabilidad más próxima y leer en los bordes la puntuación correspondiente. 2 z Desestandarizar la puntuación mediante la fórmula inversa: . 3 x = μ + zσ N(505, 110) z = 1,28 x = 505 + 1,28(110) = 645,8 z = (x μ)/σ N(0, 1) x = μ + zσ Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 31 COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 47. ¿Qué diferencia geométrica y funcional existe entre un histograma y una curva de densidad? 48. ¿Cómo se interpreta conceptualmente una puntuación de z = -1,5? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 49. ¿Cuál es el valor del área total bajo una curva de densidad? 50.

En una distribución normal N(50, 5), ¿qué porcentaje aproximado cae entre 40 y 60? 51. ¿Qué indica una puntuación Z positiva? 52. ¿Cuál es la expresión para obtener el valor original x a partir de z? 6 Relación entre dos variables numéricas: correlación y regresión AL ACABAR SABRÁS Distinguir el rol de la variable explicativa frente a la variable respuesta en un estudio bidimensional. Interpretar la forma, dirección y fuerza en un diagrama de dispersión. Calcular e interpretar el coeficiente de correlación de Pearson y sus propiedades fundamentales. Obtener la recta de regresión por MCO y calcular el coeficiente de determinación R².

Depende del número de intervalos a) Siempre es igual a 1 b) Coincide con la media poblacional c) Varía según la desviación típica d) 95 % a) 68 % b) 99,7 % c) 90 % d) Que la observación supera la media a) Que la distribución tiene asimetría positiva b) Que la probabilidad acumulada supera 0,99 c) Que la varianza muestral es positiva d) x = μ + zσ a) x = (z - μ) / σ b) x = μ - zσ c) x = z / (μ + σ) d) Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 32 PIÉNSALO ANTES DE LEER 53 ¿Una correlación matemática cercana a 1 entre dos variables demuestra que una es la causa directa de la otra?

El estudio simultáneo de dos variables cuantitativas permite detectar patrones de comportamiento conjunto y formular modelos explicativos. Cuando se sospecha que una magnitud influye sobre otra, el análisis bivariante proporciona herramientas gráficas y analíticas para cuantificar dicha relación. ESQUEMA Análisis bivariante cuantitativo Variables respuesta y explicativa Al explorar la relación entre dos variables, el primer paso consiste en delimitar el papel analítico de cada una: DEFINICIÓN La variable explicativa (o independiente, denotada por ) es aquella que ejerce una influencia, explica o predice los cambios en otra magnitud.

La variable respuesta (o dependiente, denotada por ) mide el resultado o efecto que se desea estudiar y explicar. El procedimiento estándar para analizar dos variables cuantitativas abarca tres etapas sucesivas: visualización gráfica, cálculo de resúmenes numéricos y formulación de un modelo matemático si el patrón muestra suficiente regularidad. Diagrama de dispersión y exploración gráfica El diagrama de dispersión (o nube de puntos) muestra gráficamente los valores de dos variables cuantitativas medidos sobre los mismos individuos (véase «Conceptos fundamentales y diseño muestral»).

Cada observación se representa en el plano cartesiano mediante un punto de coordenadas Exploración gráfica Diagrama de dispersión Forma y dirección Lineal, curva, positiva o negativa Fuerza y atípicos Dispersión y casos discordantes Correlación lineal Coeficiente r de Pearson Propiedades de r Rango [-1, 1] y adimensional Modelización MCO Recta de regresión Coeficientes MCO Pendiente b y ordenada a Bondad de ajuste Coeficiente R² X Y Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 33 , situando habitualmente la variable explicativa en el eje de abscisas y la respuesta en el de ordenadas. Diagrama de dispersión del consumo de gas frente a grados-día.

Al examinar una nube de puntos, se evalúan tres características esenciales: Forma: describe la disposición global de los datos, distinguiendo entre patrones lineales, curvilíneos (como trayectorias parabólicas en forma de U o U invertida) o agrupaciones en subgrupos separados. Dirección: indica el sentido del movimiento conjunto. Una relación es positiva o directa si valores superiores a la media de van asociados a valores superiores a la media de . Es negativa o inversa cuando observaciones elevadas en corresponden a registros inferiores a la media en . Fuerza: refleja la proximidad de los puntos respecto a una línea imaginaria de ajuste.

Menor separación vertical u horizontal implica mayor intensidad asociativa. Asimismo, los gráficos permiten detectar valores atípicos que se apartan de la pauta general. Para enriquecer la visualización bivariante, es posible incorporar una variable cualitativa clasificando los puntos con colores o símbolos distintos. Esta técnica permite evidenciar subgrupos con diferentes niveles y dispersiones, como ocurre al estratificar por sexo el estudio del metabolismo respecto al peso corporal. COMPRUEBA 54 ¿Cómo se distingue la asociación positiva de la negativa en un diagrama de dispersión?

(x , y ) i i X Y X Y Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 34 Coeficiente de correlación lineal de Pearson La inspección ocular de una nube de puntos puede resultar engañosa debido a la elección de las escalas de los ejes. Por ello, se recurre a un resumen cuantitativo invariante ante escalas: el coeficiente de correlación lineal de Pearson ( ). Esquema de patrones de correlación lineal según fuerza y dirección.

El cálculo de se basa en la media del producto de las puntuaciones estandarizadas de ambas variables (véase «Distribución normal y estandarización»): Donde e representan las medias muestrales, mientras que y corresponden a las desviaciones típicas muestrales (véase «Medidas de posición, dispersión y forma»). Propiedad Descripción y alcance Rango acotado . Los valores extremos y denotan alineación rectilínea exacta. Adimensionalidad Carece de unidades de medida, por lo que no cambia ante variaciones lineales de escala. Simetría analítica El coeficiente no distingue entre variable explicativa y respuesta: .

Exclusividad lineal Mide estrictamente la fuerza de un vínculo rectilíneo; no captura dependencias curvilíneas. Sensibilidad a atípicos No es una medida resistente; observaciones aisladas extremas alteran notablemente su valor. r r r = n 1 1 i=1 n ( s x x i x ˉ ) ( s y y i y ˉ ) x ˉ y ˉ s x s y 1 r 1 r = 1 r = 1 r(X, Y ) = r(Y , X) Apuntes y Resumen de Análisis de Datos " ADE UPF 35 ERROR FRECUENTE Atribuir causalidad a una correlación elevada es un fallo grave. Una correlación alta ( o ) solo certifica que las variables varían simultáneamente en línea recta, pero no demuestra que los cambios en provoquen los cambios en .

COMPRUEBA 55 Si se multiplican todas las observaciones de X por 10, ¿cómo varía el coeficiente de correlación de Pearson r? Recta de regresión por mínimos cuadrados ordinarios (MCO) Cuando la dispersión sugiere un patrón rectilíneo regular, se modeliza la trayectoria de la variable respuesta mediante una función lineal. La recta de regresión describe los cambios esperados en ante modificaciones en : El símbolo designa el valor estimado de la variable respuesta para un valor fijado de la variable explicativa . El criterio de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) selecciona los coeficientes y…