Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones

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APUNTES CÁLCULO EN UNA VARIABLE Grado en Matemáticas Universidad Politécnica de Cataluña AprenAI 2026-2027 Apuntes de cálculo: definición formal de función, determinación de dominio y rango, funciones elementales y especiales, paridad, periodicidad y simetrías.

APREN.AI Índice 1 Evolución histórica y noción formal de función Evolución epistemológica del concepto de función Noción formal de relación binaria y función Comprobación de condiciones e identificación de no-funciones Demostración algebraica del carácter funcional 2 Dominio, rango y evaluación de funciones Definición formal y elementos de una función Determinación de parámetros en relaciones funcionales Evaluación y transformaciones algebraicas de funciones Restricciones algebraicas de existencia del dominio Cálculo sistemático del dominio en funciones combinadas 3 Gráfica de una función y funciones polinómicas elementales Grafo y criterio geométrico de la recta vertical Curvas cónicas completas frente a ramas funcionales Funciones afines, lineales e identidad Función constante Función cuadrática: vértice, concavidad y rango Función cúbica y familia polinómica general 4 Funciones con radicales, inversas y racionales Función raíz cuadrada Función inverso multiplicativo Funciones de potencia racional e irracional Funciones racionales con discontinuidades evitables 5 Funciones especiales: valor absoluto, signo, escalón y mayor entero Función valor absoluto Función escalón unitario de Heaviside Función signo (sgn) Función diente de sierra Función máximo entero 6 Simetría de funciones: paridad e imparidad Simetría de funciones: conceptos de paridad e imparidad Criterios algebraicos y reglas operacionales Descomposición canónica y funciones definidas a trozos 7 Periodicidad y funciones con dominio partido Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 1 Periodicidad de funciones reales Periodicidad en las funciones trigonométricas fundamentales Funciones con dominio partido Análisis simultáneo de periodicidad y paridad 8 Formulario Definición y condiciones de existencia de funciones Restricciones analíticas de dominio Funciones polinómicas y cuadráticas Funciones especiales Simetría y periodicidad Errores típicos Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 2 1 Evolución histórica y noción formal de función AL ACABAR SABRÁS Distinguir las fases históricas del concepto de función desde la dependencia geométrica hasta la formulación conjuntista moderna. Formular y verificar formalmente las condiciones de existencia y unicidad para relaciones binarias. Demostrar analíticamente si una regla de correspondencia dada constituye rigurosamente una función.

PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Toda ecuación que relacione algebraicamente dos variables numéricas describe necesariamente una función? El concepto de función constituye el pilar vertebrador del cálculo diferencial e integral al articular la geometría analítica cartesiana con los métodos infinitesimales mediante la aritmetización del análisis. ESQUEMA Estructura general del estudio de funciones Evolución epistemológica del concepto de función La noción moderna de función no surgió de forma instantánea.

Su consolidación atravesó tres etapas históricas fundamentales marcadas por distintas necesidades teóricas y formales: Fundamentos de Funciones Núcleo teórico del cálculo diferencial Noción y evolución Relaciones y axiomas de función Dominio y Rango Conjuntos de partida, llegada e imágenes Tipologías de funciones Polinómicas, racionales, especiales y simetrías Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 3 COMPRUEBA 2 ¿Por qué la definición de Dirichlet de 1829 superó la formulada por Euler y Johann Bernoulli?

Noción formal de relación binaria y función Desde el punto de vista conjuntista, una función es un tipo particular de relación binaria con restricciones estrictas de existencia y unicidad sobre sus pares ordenados. La función entendida como dependencia física y geométrica: se extendió hasta el siglo XVII. Su limitación principal residía en la ausencia de notaciones simbólicas estandarizadas para formalizar las dependencias cuantitativas observadas. En esta fase destacaron: Nicole Oresme: mediante su teoría sobre la latitud de las formas, introdujo la representación gráfica de magnitudes variables dependientes del tiempo, ilustrando cinemáticamente el comportamiento rectilíneo.

René Descartes: sentó los fundamentos para la graficación funcional a través de su geometría, aunque en sus inicios confundió la curva gráfica con la función misma. Isaac Newton: desarrolló en su cálculo de fluxiones la idea de cantidades que varían con respecto al tiempo, descubriendo con mayor claridad que las propiedades se conservan al sustituir el parámetro temporal por cualquier otra variable abstracta. Gottfried Wilhelm Leibniz: acuñó la denominación de función e ideó el simbolismo diferencial formal, concibiendo la función como magnitudes geométricas dependientes de las coordenadas y expresándolas de manera implícita mediante ecuaciones del tipo .

1 f(x, y) = 0 La función considerada como expresión analítica: desarrollada entre finales del siglo XVII y el siglo XVIII, se centró en construir un aparato algebraico operativo: Johann Bernoulli: propuso formalmente definir la función como una expresión analítica compuesta por variables y constantes. Leonhard Euler: en su obra fundacional Introductio in analysin infinitorum (1748), sistematizó el análisis presentando las funciones mediante desarrollos en series de potencias analíticas de la forma , además de clasificar las funciones trascendentes, trigonométricas, univalentes, pares e impares.

Joseph-Louis Lagrange: estructuró sus lecciones definiendo las funciones como combinaciones algebraicas de magnitudes dadas. 2 f(z) = a + 0 a z + 1 a z + 2 2 … La función formulada como correspondencia relacional: establecida entre los siglos XVIII y XIX por matemáticos como Lacroix, Bolzano y Cauchy, quienes buscaron abstraer la naturaleza funcional: Augustin-Louis Cauchy: en su Curso de análisis, abordó las funciones reales y complejas bajo un prisma abstracto de causa-efecto, desligando el concepto de la necesidad de una única fórmula algebraica.

Peter Gustav Dirichlet: formuló en 1829 la noción moderna general al declarar que una función es una correspondencia arbitraria entre dos conjuntos de números, de modo que a cada elemento del primero se le asocia un único valor en el segundo, prescindiendo del método empleado para fijar dicha correspondencia. 3 Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 4 DEFINICIÓN FORMAL DE FUNCIÓN Dados dos conjuntos no vacíos y , una relación es una función de en (notada como ) si y solo si cumple simultáneamente dos axiomas: 1. Condición de existencia (totalidad del dominio): todo elemento de partida tiene asignada al menos una imagen: 2.

Condición de unicidad: ningún elemento del dominio puede poseer más de una imagen distinta: Si se verifica lo anterior, la pertenencia se escribe , donde es la imagen de mediante (para los conceptos de dominio, rango, variables dependiente e independiente y regla de correspondencia, véase «Dominio, rango y evaluación de funciones»). Si el conjunto de partida es vacío ( ), se define formalmente la correspondencia como la función vacía o relación trivial. En cambio, si el conjunto de llegada es vacío ( ) mientras que , es imposible definir función alguna porque no existen elementos en para construir las imágenes.

COMPRUEBA 3 Si un conjunto contiene el par ordenado (3, 5) y el par (3, 7), ¿puede constituir una función? Comprobación de condiciones e identificación de no-funciones Toda función es una relación binaria, pero existen relaciones que no constituyen funciones. Una relación fracasa en ser función si incurre en alguna de las siguientes anomalías: Anomalía estructural Condición vulnerada Consecuencia formal Existe al menos un que carece de par Existencia ( ) La relación no cubre el conjunto de partida ( ). Existen pares y con Unicidad de la imagen La correspondencia asigna salidas múltiples a una misma entrada.

A B f A × B A B f : A B Dom(f) = A x A, y B tal que (x, y) f x A, (x, y ) 1 f (x, y ) 2 f y = 1 y 2 (x, y) f y = f(x) y x f A = B = A = B f : A B x A (x, y) f Dom(f) = A Dom(f) A (x, y ) 1 f (x, y ) 2 f y = 1 y 2 Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 5 EJEMPLO: CONTRASTE ENTRE RELACIÓN Y FUNCIÓN Consideremos los conjuntos y : La relación es función de en , pues todo elemento de aparece exactamente una vez como primera componente. La relación no es función de en , porque carece de imagen asociada; por ende, . La relación no es función, ya que para la entrada existen dos imágenes distintas: -2 y 6. ERROR FRECUENTE Confundir la unicidad de la imagen con la inyectividad.

En una función, varias entradas distintas pueden coincidir en la misma salida (por ejemplo, y pueden coexistir). El error que anula la condición de función es el inverso: asignar a un único dos o más valores de . Demostración algebraica del carácter funcional Para probar analíticamente que una regla dada define rigurosamente una función, es imperativo estructurar la prueba en dos etapas formales independientes: DEMOSTRACIÓN RESUELTA PASO A PASO Sea . Demuestre que la regla determina una función de en . Al quedar demostradas la cobertura total del dominio y la unicidad de imagen, se concluye formalmente que es función. COMPRUEBA 4 ¿Qué condición formal falla al definir f: tal que f(x) = ± x?

A = { 3, 1, 5, 8} B = Z f = 1 {( 3, 4), (1, 2), (5, 9), (8, 0)} A B A f = 2 {( 3, 4), (5, 9), (8, 0)} A B 1 A Dom(f ) = 2 A f = 3 {( 3, 4), (1, 2), (1, 6), (5, 9), (8, 0)} x = 1 ( 3, 0) (5, 0) x y f : A B A = B = N f(x) = x + 5 N N Verificación del dominio ( ): Tomamos un elemento arbitrario . Dado que la suma de dos números naturales es una operación cerrada en , se tiene que . Por consiguiente, para todo existe un tal que , garantizando que . 1 Dom(f) = A x N N y = x + 5 N x A y B f(x) = y Dom(f) = N Demostración de la unicidad: Supongamos que para un mismo valor existen dos parejas y .

Por la regla asignada: Restando algebraicamente ambas expresiones: 2 x N (x, y ) 1 f (x, y ) 2 f y = 1 x + 5 y y = 2 x + 5 y 1 y = 2 (x + 5) (x + 5) = 0 y = 1 y 2 f Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 6 IDEAS CLAVE La concepción de función evolucionó desde la dependencia geométrica y temporal (Oresme, Descartes, Newton, Leibniz) hasta la expresión analítica (Euler, Bernoulli) y la correspondencia abstracta (Cauchy, Dirichlet). Gottfried Wilhelm Leibniz introdujo por primera vez el término función y su notación analítica asociada. Peter Gustav Dirichlet formalizó en 1829 la definición moderna de función como correspondencia unívoca arbitraria entre conjuntos.

Toda función es una relación binaria que debe satisfacer dos requisitos obligatorios: totalidad del dominio ( ) y unicidad de la imagen ( ). Una relación binaria deja de ser función si algún elemento del conjunto inicial carece de imagen o si un mismo elemento inicial posee dos o más imágenes distintas. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 5. ¿Cuáles son las dos condiciones necesarias y suficientes para que una relación binaria f entre A y B sea una función? 6. ¿Por qué la correspondencia entre los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = dada por R = {(1, 4), (2, -1)} no es una función de A en B? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 7.

¿Qué matemático definió en 1829 la función como una correspondencia arbitraria entre conjuntos numéricos? 8. ¿Quién introdujo por primera vez el vocablo función en el cálculo matemático? 9. Una relación binaria f A × B no califica como función si: f A × B Dom(f) = A (x, y ) 1 f (x, y ) 2 f y = 1 y 2 Isaac Newton a) Leonhard Euler b) Peter Gustav Dirichlet c) René Descartes d) Nicole Oresme a) Gottfried Wilhelm Leibniz b) Joseph-Louis Lagrange c) Augustin-Louis Cauchy d) Existen elementos sin preimagen en B a) El rango es un subconjunto propio b) Una entrada de A tiene dos salidas c) Dos entradas distintas comparten imagen d) Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 7 10.

Si A = {2, 5} y f: A está definida como f = {(2, 8)}, ¿por qué f no es función de A en ? 2 Dominio, rango y evaluación de funciones AL ACABAR SABRÁS Diferenciar con precisión entre dominio, preimágenes, codominio y rango. Evaluar reglas de correspondencia con argumentos compuestos mediante cambio de variable. Formular y resolver el sistema de desigualdades que define el dominio natural de una función. PIÉNSALO ANTES DE LEER 11 ¿Por qué la regla y = 1/ (x) no puede admitir el valor x = 0 ni valores negativos? Definición formal y elementos de una función Una función describe un proceso donde a cada entrada le corresponde una única salida.

Si consideramos dos conjuntos no vacíos y , una relación binaria (véase «Evolución histórica y noción formal de función») recibe el nombre de función de en (notada como ) si satisface con exactitud dos propiedades fundamentales: DEFINICIÓN El dominio de una función es el conjunto constituido por todos los primeros elementos de los pares ordenados que conforman la relación, es decir, el conjunto de preimágenes: El rango (o conjunto imagen, ) es la colección de todas las salidas efectivas obtenidas al transformar los elementos del dominio: La ecuación se denomina regla de correspondencia.

En ella, la variable representa la variable independiente, mientras que es la variable dependiente, dado que su valor resulta determinado unívocamente tras aplicar la regla sobre . Porque 8 no es número entero a) Porque no existe expresión analítica b) Porque tiene una única imagen c) Porque el dominio no cubre a 5 d) A B f A × B A B f : A B Existencia (o cobertura total del conjunto de partida): Todo elemento debe poseer imagen en . Por ende, el conjunto de los primeros elementos de los pares ordenados coincide exactamente con el conjunto de partida: . 1 x A B Dom(f) = A Unicidad de la imagen: Ningún elemento de entrada puede asociarse con dos salidas diferentes.

Formalmente, si y , necesariamente y_1 = y_2. 2 (x, y ) 1 f (x, y ) 2 f Dom(f) Dom(f) = {x A : y B, (x, y) f} Ran(f) = Imag(f) Ran(f) = {y B : x Dom(f), y = f(x)} B y = f(x) x y f x Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 8 Cuando y , se establece que es una función real de variable real. Salvo indicación en contrario, el dominio de una función dada analíticamente es el subconjunto más amplio de números reales para el cual todas las operaciones algebraicas involucradas tienen sentido matemático bien definido. COMPRUEBA 12 ¿Por qué el conjunto de pares ordenados {(3, 5), (-1, 4), (3, 7)} no constituye una función?

Determinación de parámetros en relaciones funcionales Para asegurar que una relación discreta definida mediante pares ordenados sea función, resulta indispensable imponer la consistencia del conjunto de partida y la unicidad sobre las primeras componentes duplicadas. EJEMPLO Sean los conjuntos y . Se define la relación: Para determinar los valores de , y que convierten a en función de en , aplicamos las condiciones canónicas: Evaluación y transformaciones algebraicas de funciones La evaluación de una función consiste en sustituir cada ocurrencia de la variable independiente por una expresión algebraica específica o valor numérico, preservando los paréntesis correspondientes.

Cuando la regla viene formulada a partir de un argumento transformado, tal como , para calcular resulta necesario despejar la variable original mediante un cambio de variable auxiliar: A R B R f A = { 2, 0, 1, 3, 4} B = R f = {( 2, 4), (0, 3m n), (1, 5), (0, 11), (k, 1), (3, 2)} k m n f A B Unicidad en : Aparecen los pares y . Para evitar multiplicidad de imágenes, igualamos sus ordenadas: 1 x = 0 (0, 3m n) (0, 11) 3m n = 11 Cobertura del conjunto de partida: El dominio debe ser exactamente el conjunto . Al revisar los primeros elementos presentes, tenemos . El único elemento de faltante es 4, por lo que obligatoriamente k = 4.

2 A { 2, 0, 1, 3, k} A f(ax + b) = E(x) f(u) Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 9 EJEMPLO Consideremos la función definida por la igualdad . Deseamos hallar la regla general y evaluar . COMPRUEBA 13 Si g(x + 4) = 2x - 1, ¿cuánto vale g(x)? Restricciones algebraicas de existencia del dominio En el cuerpo de los números reales, el cálculo del dominio natural exige examinar exhaustivamente las operaciones analíticas que imponen condiciones de validez. ESQUEMA Condiciones analíticas del dominio f(2x + 1) = 4x + 2 6x 2 f(t) f(3w 1) Definición de variable auxiliar: Hacemos , lo que conduce a despejar la variable de origen: .

1 z = 2x + 1 x = 2 z 1 Sustitución en la expresión: Por tanto, la regla en su argumento básico es .

2 f(z) = 4 + ( 2 z 1 ) 2 6 ( 2 z 1 ) 2 f(z) = (z 2 2z + 1) + 3(z 1) 2 = z + 2 z 4 f(t) = t + 2 t 4 Evaluación de la nueva expresión compuesta: Sustituyendo : 3 t = 3w 1 f(3w 1) = (3w 1) + 2 (3w 1) 4 = 9w 2 6w + 1 + 3w 1 4 = 9w 2 3w 4 Cocientes Denominador no nulo Radicales Según la paridad del índice Índice par Radicando no negativo Índice impar Existe en todos los reales Logaritmos Argumento estrictamente positivo Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 10 Operación analítica Expresión en regla Condición de existencia requerida Interpretación Fracción o cociente La división entre cero carece de definición.

Radical de índice par , No existen raíces reales de radicandos negativos. Radical de índice impar , Sin restricción intrínseca Existe para cualquier valor real de su radicando. Logaritmo o El argumento logarítmico debe ser estrictamente positivo. ERROR FRECUENTE Un fallo usual consiste en plantear para un radical ubicado en el denominador de una fracción, tal como . Si se incluye el cero en la desigualdad, el denominador se anula y la expresión queda indefinida. La restricción correcta en tal posición es estrictamente estricta: g(x) > 0.

Cálculo sistemático del dominio en funciones combinadas Cuando una función reúne varias estructuras algebraicas, su dominio corresponde a la intersección simultánea de todas las condiciones individuales de existencia.

EJEMPLO Determinar el dominio natural de la función: Q(x) P(x) Q(x) = 0 2n g(x) n N g(x) 0 2n+1 g(x) n N log (h(x)) b ln(h(x)) h(x) > 0 g(x) 0 g(x) 1 f(x) = + x 3 x + 2 ln(9 x ) 2 Condición del radical par: El radicando en el numerador no debe ser negativo: 1 x + 2 0 x 2 x [ 2, + [ Condición del denominador: El divisor debe ser distinto de cero: 2 x 3 = 0 x = 3 Condición del argumento logarítmico: El argumento debe ser estrictamente positivo: 3 9 x > 2 0 x < 2 9 3 < x < 3 x ] 3, 3[ Intersección general: Combinamos todos los requisitos algebraicos: 4 Dom(f) = [ 2, + [ (R {3}) ] 3, 3[= [ 2, 3[ Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 11 COMPRUEBA 14 ¿Cuál es el dominio de la función h(x) = ln(x - 1) / (x - 4)?

IDEAS CLAVE Una relación constituye una función si y solo si cubre por completo el conjunto de partida y asigna una única imagen a cada preimagen. El dominio reúne las preimágenes admisibles en los reales y el rango agrupa el conjunto de valores resultantes de la evaluación. Para evaluar funciones con argumentos transformados , se despeja la variable original con una variable auxiliar antes de sustituir. Los denominadores imponen , los radicales de índice par requieren y los logaritmos demandan argumentos estrictamente positivos . El dominio de una función compuesta por varios términos algebraicos corresponde a la intersección rigurosa de las condiciones de existencia de cada término.

COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 15. ¿Qué condiciones simultáneas deben cumplirse para que una relación binaria sea formalmente una función? 16. ¿Cómo se determina el dominio de una función que contiene un radical par en el denominador, como ? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 17. ¿Cuál es la condición para que una relación binaria cumpla con la unicidad de imagen? 18. ¿Qué restricción exige el argumento de cualquier función logarítmica real? 19. Si f(x + 2) = 3x + 1, ¿cuál es la expresión simplificada de f(x)?

f(ax + b) Q(x) = 0 g(x) 0 h(x) > 0 f A × B f(x) = x 5 1 El rango debe coincidir con el codominio a) Ninguna componente puede ser un número negativo b) Pares con igual abscisa tienen idéntica ordenada c) Todo elemento de llegada tiene preimagen d) Debe ser mayor o igual a cero a) Debe ser un número entero positivo b) Debe ser distinto de uno c) Debe ser estrictamente positivo d) 3x + 7 a) 3x - 1 b) 3x - 5 c) 3x + 5 d) Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 12 20. ¿Cuál es el dominio natural de la función f(x) = (4 - x)?

3 Gráfica de una función y funciones polinómicas elementales AL ACABAR SABRÁS Aplicar el criterio de la recta vertical para distinguir curvas funcionales de relaciones geométricas no funcionales. Calcular las coordenadas del vértice y determinar el rango de una función cuadrática. Diferenciar analítica y gráficamente entre función afín, función lineal y función constante. PIÉNSALO ANTES DE LEER 21 ¿Por qué una circunferencia perfecta dibujada en los ejes cartesianos no se considera una función matemática única y = f(x)?

Grafo y criterio geométrico de la recta vertical Para estudiar el comportamiento de una correspondencia en el plano cartesiano, se define el grafo de una función como el conjunto ordenado de puntos determinados por sus parejas de entrada y salida: La condición formal de unicidad de la imagen (véase «Evolución histórica y noción formal de función») tiene una traducción visual inmediata en el plano euclídeo mediante el criterio de la recta vertical. Una curva geométrica representa la gráfica de una función real si y solo si toda recta vertical corta la gráfica a lo más en un punto.

Si una sola recta vertical interseca a la curva en dos o más puntos, la relación asigna múltiples valores de a una misma abscisa , dejando de ser función. DEFINICIÓN Una curva en el plano cartesiano define a como función de si para cada valor , la recta vertical interseca a la gráfica exactamente en un punto . Curvas cónicas completas frente a ramas funcionales Las cónicas cerradas o con simetría horizontal fallan el criterio vertical cuando se consideran completas. Por ejemplo, la circunferencia definida por no constituye una función de , pues cualquier vertical trazada dentro del intervalo corta la figura en dos puntos distintos.

Lo mismo sucede con una elipse completa o con las ramas de una hipérbola de eje horizontal. [4, + [ a) ]- , 4] b) ]- , 4[ c) R \ {4} d) Grafo(f) = {(x, y) R 2 y = f(x), x Dom(f)} y x y x x 0 Dom(f) x = x 0 (x , f(x )) 0 0 (x h) + 2 (y k) = 2 r2 x ]h r, h + r[ Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 13 Sin embargo, es posible aislar subconjuntos de dichas curvas mediante restricciones algebraicas para obtener funciones bien definidas: Semicircunferencia: al despejar la ordenada superior en , la expresión pasa la prueba de la vertical en su dominio. Semielipse: restringir la curva a los valores no negativos o no positivos de su eje secundario genera una gráfica funcional.

Semiparábola horizontal: una parábola completa de eje horizontal no es función, pero su rama superior sí lo es. COMPRUEBA 22 ¿Por qué la ecuación de la circunferencia unitaria x² + y² = 1 no describe una función y = f(x)? Funciones afines, lineales e identidad Las funciones polinómicas de primer grado modelan relaciones de variación constante y su representación gráfica es siempre una línea recta no vertical en el plano. La función afín lineal responde a la regla de correspondencia general: El parámetro representa la pendiente de la recta, indicando su inclinación y tasa de cambio, mientras que es la ordenada en el origen, señalando el punto de corte con el eje vertical en las coordenadas .

Tanto el dominio como el rango de cualquier función afín con abarcan la totalidad de los números reales ( ). EJEMPLO Para trazar la función afín , se identifican directamente sus elementos: pendiente e intersección vertical en . Su corte con el eje de abscisas ocurre cuando , es decir, en . Se presentan casos particulares según el valor de sus parámetros: Función lineal: ocurre cuando la ordenada en el origen se anula ( ), quedando . Su gráfica es una recta que atraviesa obligatoriamente el origen . Cumple de manera exacta la propiedad fundamental aditiva y homogénea: para todo par de escalares y puntos del dominio. Función identidad: caso específico donde y .

Su regla es ; biseca el primer y tercer cuadrante formando un ángulo de inclinación de con el eje horizontal. x + 2 y = 2 r2 y = r x 2 2 x = ay2 y = x/a f(x) = mx + b (m, b R) m b (0, b) m = 0 R f(x) = 3x 6 m = 3 (0, 6) 3x 6 = 0 (2, 0) b = 0 f(x) = mx (0, 0) f(ax + 1 bx ) = 2 af(x ) + 1 bf(x ) 2 m = 1 b = 0 I(x) = x 45 Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 14 ESQUEMA Clasificación de funciones polinómicas elementales ERROR FRECUENTE Llamar «lineal» a cualquier recta del plano. En álgebra superior y cálculo, una función como es estrictamente afín y no lineal pura, porque no preserva la suma ni el producto por escalar: , mientras que .

Función constante Cuando la pendiente es nula ( ), la regla de correspondencia se reduce a con . Su gráfica corresponde a una recta enteramente horizontal situada a una altura respecto al eje horizontal. Su dominio es , pero su rango contiene un único elemento: el conjunto unitario . Gráfica de una función constante horizontal con rango unitario.

Grado 0 Función constante f(x) = b Grado 1 Rectas con pendiente m no nula Función afín f(x) = mx + b con b distinto de cero Función lineal f(x) = mx con b = 0 Función identidad I(x) = x con m = 1 y b = 0 Grado 2 Función cuadrática parabólica 〰 Grado 3 Función cúbica f(x) = x³ f(x) = 2x + 4 f(1 + 1) = f(2) = 8 f(1) + f(1) = 6 + 6 = 12 m = 0 f(x) = b b R b R {b} Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 15 Si el valor constante es positivo ( ), la recta se sitúa por encima del eje . Si es negativo ( ), se ubica por debajo. En el caso notable en que , se define la función nula , cuya gráfica coincide de forma continua sobre el propio eje de abscisas.

COMPRUEBA 23 ¿Cuál es el rango de la función constante f(x) = -5 definida para todos los números reales? Función cuadrática: vértice, concavidad y rango Una función cuadrática es un polinomio de segundo grado definido mediante la forma: Su representación geométrica es una parábola vertical simétrica respecto al eje . El punto extremo de inflexión en la curva se denomina vértice , cuyas coordenadas se calculan algebraicamente mediante las expresiones canónicas: Parábola con apertura hacia arriba y vértice como cota inferior del rango.

El comportamiento visual, el extremo y el rango de la parábola dependen exclusivamente del signo del coeficiente principal : Signo del coeficiente Apertura y concavidad Extremo del vértice Rango de la función Se abre hacia arriba Mínimo absoluto: Se abre hacia abajo Máximo absoluto: Para determinar las coordenadas del vértice a partir de la ecuación cuadrática, se sigue un procedimiento sistemático: b > 0 x b < 0 b = 0 f(x) = 0 f(x) = ax + 2 bx + c (a = 0, a, b, c R) x = h V (h, k) h = , k = 2a b c 4a b2 a a > 0 y = k [k, + [ a < 0 y = k ] , k] Identificar los coeficientes numéricos , y verificando que . 1 a b c a = 0 Calcular la abscisa del vértice aplicando la fórmula .

2 h = b/(2a) Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 16 EJEMPLO Sea la función . Aquí , y . 1. Abscisa del vértice: . 2. Ordenada del vértice: . Dado que , la parábola abre hacia abajo con vértice y su rango es . Función cúbica y familia polinómica general La función cúbica elemental adopta la regla de correspondencia: Posee dominio y rango en todo el cuerpo real ( y ). Presenta un comportamiento monótono creciente e impar, pasando por el origen , donde experimenta un cambio en la curvatura de su trayectoria plana.

Como generalización de todas las estructuras anteriores, se define la función polinómica de grado mediante la regla: donde y los coeficientes son números reales con el coeficiente principal . Todo polinomio tiene como dominio natural la totalidad de los números reales . COMPRUEBA 24 ¿En qué punto alcanza su mínimo la parábola f(x) = x² - 6x + 5 y cuál es su rango? IDEAS CLAVE El criterio de la recta vertical verifica geométricamente la unicidad de imagen de una función en el plano cartesiano. Las cónicas cerradas no son funciones completas, pero al despejar ramas restringidas sí forman gráficas funcionales.

La función lineal homogénea satisface , a diferencia de la función afín que posee término independiente no nulo. El vértice de la parábola cuadrática se ubica en y , determinando el extremo absoluto y el rango. Las funciones polinómicas generales tienen como dominio a todos los números reales. Evaluar la función en dicha abscisa o utilizar para obtener la ordenada del vértice. 3 k = c b /(4a) 2 Construir el intervalo del rango determinando si el vértice actúa como cota inferior ( ) o cota superior ( ).

4 a > 0 a < 0 g(x) = 2x + 2 8x 3 a = 2 b = 8 c = 3 h = = 2( 2) 8 2 k = 3 = 4( 2) 82 3 = 8 64 3 + 8 = 5 a < 0 V (2, 5) ] , 5] f(x) = x3 Dom(f) = R Ran(f) = R (0, 0) n P (x) = a x + n n a x + n 1 n 1 + a x + 1 a 0 n N 0 a , a , … , a n n 1 0 a = n 0 R f(ax + 1 bx ) = 2 af(x ) + 1 bf(x ) 2 h = b/(2a) k = c b /(4a) 2 Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 17 COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 25. ¿Cómo se diferencian conceptual y algebraicamente una función lineal pura y una función afín? 26. ¿De qué depende que una función cuadrática posea un valor máximo o un valor mínimo absoluto? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 27.

¿Qué condición geométrica garantiza que una curva sea gráfica funcional de x? 28. ¿Cuál es la ordenada del vértice k para la función f(x) = ax² + bx + c? 29. ¿Cuál es el rango de la función constante f(x) = b con b real? 30. ¿Por qué f(x) = 4x + 5 no es lineal en sentido estricto? Toda recta vertical interseca a lo más en un punto. a) Toda recta horizontal corta a lo más en un punto. b) La curva pasa por el origen de coordenadas cartesianas. c) Posee asíntotas en los extremos de su dominio.

d) k = c + b/(2a) a) k = c - b²/(4a) b) k = -b/(2a) c) k = b² - 4ac d) El conjunto vacío a) Todos los números reales b) El conjunto unitario {b} c) El intervalo [0, + [ d) Tiene pendiente estrictamente positiva. a) Su dominio no cubre los reales. b) No satisface f(ax + bx ) = af(x ) + bf(x ). c) Su gráfica no es una línea recta continua. d) Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 18 4 Funciones con radicales, inversas y racionales AL ACABAR SABRÁS Determinar el dominio, rango y características geométricas de la función raíz cuadrada y del inverso multiplicativo. Clasificar el dominio y recorrido de una potencia racional evaluando la paridad de sus términos.

Calcular analíticamente puntos removibles en funciones racionales simplificables y trazar su gráfica identificando los huecos. PIÉNSALO ANTES DE LEER 31 ¿Por qué al graficar f(x) = ( - 1)/(x - 1) obtenemos una recta casi idéntica a y = x + 1 pero no podemos dibujarla de un solo trazo continuo? Función raíz cuadrada La función raíz cuadrada elemental asocia a cada número real no negativo su raíz cuadrada principal positiva o nula. Su regla de correspondencia viene dada por (para los conceptos basales de regla y dominio, véase «Dominio, rango y evaluación de funciones»). En el conjunto de los números reales, no existen raíces cuadradas de cantidades negativas.

Por este motivo, el conjunto de valores admisibles exige la condición analítica . De esta restricción se obtiene inmediatamente que el dominio corresponde a los reales no negativos: . Puesto que el radical denota exclusivamente el valor no negativo, las imágenes generadas nunca toman valores inferiores a cero. Por ende, su recorrido o rango coincide exactamente con el intervalo . Desde una perspectiva geométrica, la curva descrita por equivale a elevar al cuadrado ambos miembros bajo la condición , lo cual produce la ecuación .

Esta expresión corresponde analíticamente a una semiparábola horizontal cuyo vértice se ubica en el origen de coordenadas y cuya rama se extiende hacia el semiplano positivo tanto en abscisas como en ordenadas. COMPRUEBA 32 ¿Por qué la gráfica de f(x) = x es únicamente una semiparábola y no una parábola completa horizontal?

Función inverso multiplicativo La función del inverso multiplicativo o función recíproca básica asigna a cada número real su inverso respecto del producto: xm/n x2 f(x) = x x 0 Dom(f) = [0, + [ Ran(f) = [0, + [ y = x y 0 x = y2 (0, 0) f(x) = x 1 Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 19 La división por cero no constituye una operación aritmética admisible dentro del cuerpo de los números reales. En consecuencia, el valor de entrada queda explícitamente excluido, lo que determina como dominio . Para calcular analíticamente el rango mediante el método de despeje de variables, se plantea la igualdad algebraica .

Al despejar la variable independiente en función de la dependiente, obtenemos: Esta última fracción evidencia que la variable dependiente no puede anularse bajo ninguna circunstancia. Por lo tanto, el recorrido abarca todos los reales salvo el cero: . Geométricamente, la gráfica de esta función describe una hipérbola equilátera con ramas distribuidas en el primer y tercer cuadrante del plano cartesiano. La curva se aproxima indefinidamente a los ejes cartesianos sin llegar a tocarlos jamás: la recta vertical actúa como asíntota vertical, mientras que la recta horizontal conforma su asíntota horizontal.

COMPRUEBA 33 Al despejar algebraicamente x = 1/y, ¿qué conclusión directa se extrae respecto al recorrido de la función? Funciones de potencia racional e irracional Una función potencial fraccionaria general presenta la regla de correspondencia , donde los exponentes cumplen y , asumiendo que la fracción es irreducible (es decir, y son primos entre sí). El comportamiento de su dominio y de su rango depende estrictamente del carácter par o impar de ambos términos. Paridad de m Paridad de n Dominio, Dom(f) Rango, Ran(f) Comportamiento analítico Impar Impar Admite radicandos negativos y conserva el signo original de entrada.

Par Impar El numerador eleva cualquier entrada a potencia par, suprimiendo valores negativos en la salida. Impar Par El índice par de la raíz prohíbe evaluar entradas reales negativas. Por otro lado, cuando el exponente es un número irracional , nos encontramos ante una función potencia irracional, definida formalmente por la regla de correspondencia . Dado que las potencias de exponente irracional en la base real se fundamentan en límites de aproximaciones racionales y en funciones trascendentes reales, su definición en los reales demanda bases no negativas. Por consiguiente, se establece universalmente que su dominio es .

x = 0 Dom(f) = R {0} y = x 1 x = y 1 y Ran(f) = R {0} x = 0 y = 0 f(x) = x = m/n n xm m Z n N m n R R R [0, + [ [0, + [ [0, + [ p f(x) = xp Dom(f) = [0, + [ Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 20 PARA RECORDARLO Para determinar el dominio de una potencia racional irreducible x^(m/n), fíjate siempre en el denominador n: si n es impar, el dominio abarca todos los reales ; si n es par, el dominio queda restringido exclusivamente a [0, + [. COMPRUEBA 34 ¿Cuál es el dominio y el rango de la función f(x) = x^(4/5)? Funciones racionales con discontinuidades evitables Una función racional se expresa como el cociente de dos expresiones polinomiales .

El primer paso ineludible consiste en determinar el dominio directamente sobre la regla original sin modificar. Si el denominador se anula para ciertos valores reales, dichos puntos no pertenecen al dominio, aun si algebraicamente se puede cancelar un factor compartido. ERROR FRECUENTE Simplificar la expresión algebraica cancelando factores comunes ANTES de declarar el dominio de la función. Si cancelas primero, incluirás por error valores de x donde la función original no está definida, perdiendo los puntos de discontinuidad evitable (huecos en la gráfica). El dominio se calcula siempre sobre la fórmula inicial.

Cuando un factor lineal divide simultáneamente a y , la gráfica resultante coincide de forma idéntica con la del polinomio cociente simplificado, con una excepción geométrica: existe una discontinuidad evitable o punto removible (un hueco o punto vacío) en las coordenadas , donde representa el valor que toma el polinomio simplificado al ser evaluado en .

PROCESO Procedimiento de análisis de funciones racionales simplificables f(x) = Q(x) P (x) (x c) P (x) Q(x) (c, L) L x = c Dominio original Restringir valores que anulan el denominador original Q(x) = 0 1 Factorización Descomponer numerador y denominador en factores primos 2 Cancelación Simplificar los factores compartidos indicando la restricción 3 Punto removible Calcular la ordenada límite evaluando el factor cancelado 4 Trazado y rango Graficar la curva simplificada dibujando un punto vacío en el hueco 5 Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 21 EJEMPLO Analicemos el dominio, simplificación, gráfica y rango de la función racional: COMPRUEBA 35 Si una función simplificada toma un valor y = b en el punto excluido x = c, ¿se debe quitar automáticamente b del rango?

f(x) = x 1 x + x 5x + 3 3 2 Determinación del dominio original: El denominador no puede ser nulo, por lo que . De aquí resulta . 1 x 1 = 0 x = 1 Dom(f) = R {1} Factorización del numerador: Evaluando en mediante división sintética, se obtiene . 2 x = 1 x + 3 x 2 5x + 3 = (x 1)(x + 2 2x 3) Simplificación algebraica válida en el dominio: Para toda , se cancela el factor común: Completando cuadrados para hallar la forma canónica de esta parábola (véase «Gráfica de una función y funciones polinómicas elementales»): El vértice teórico de la parábola se localiza en .

3 x = 1 f(x) = x + 2 2x 3 f(x) = (x + 1) 2 4 ( 1, 4) Coordenadas del punto removible: Evaluando la expresión continua en el punto excluido : El hueco de la gráfica se sitúa con precisión en las coordenadas . 4 x = 1 y = (1 + 1) 2 4 = 2 2 4 = 0 (1, 0) Cálculo del rango por análisis gráfico y algebraico: Dado que la parábola abre hacia arriba, su vértice define un valor mínimo absoluto de ordenada , con imágenes teóricas continuas en el intervalo . Dado que la rama pasa de nuevo por la ordenada en otra abscisa perteneciente al dominio (concretamente al resolver se obtiene , el cual sí está en el dominio pues ), el valor cero sí forma parte de las imágenes efectivas.

Por consiguiente: 5 y = 4 [ 4, + [ y = 0 (x + 1) 2 4 = 0 x = 3 3 = 1 Ran(f) = [ 4, + [ Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 22 IDEAS CLAVE La función raíz cuadrada f(x) = x genera geométricamente una semiparábola horizontal con vértice en el origen, restringida a valores x 0 e y 0. El inverso multiplicativo f(x) = 1/x posee como gráfica una hipérbola equilátera con asíntotas en los ejes cartesianos y dominio y rango iguales a - {0}. Para potencias racionales irreducibles, la paridad del índice n condiciona el dominio a [0, + [ si n es par, o a si n es impar.

La función potencia irracional exige un dominio restricted a [0, + [ para garantizar imágenes reales bien definidas. En funciones racionales simplificables, los ceros del denominador original deben excluirse del dominio antes de simplificar, generando puntos removibles (huecos). COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 36. ¿Cuál es la razón analítica por la que el dominio de la función potencia irracional f(x) = se restringe al intervalo [0, + [? 37. En la función f(x) = ( - 4)/(x - 2), ¿cuáles son las coordenadas del hueco o punto removible en su gráfica? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 38. ¿Cuál es la gráfica correspondiente a la función raíz cuadrada básica f(x) = x?

39. ¿Qué asíntotas determinan el trazado de la función inverso multiplicativo f(x) = 1/x? 40. ¿Qué dominio y rango caracterizan a f(x) = cuando m es par y n es impar (primos entre sí)? xm/n xp xp x2 Una semiparábola horizontal a) Una hipérbola equilátera simétrica b) Una recta con pendiente unitaria c) Una parábola vertical abierta hacia arriba d) Las rectas oblicuas y = x e y = -x a) No presenta asíntotas en su trazado b) Únicamente la recta vertical x = 1 c) Los ejes cartesianos x = 0 e y = 0 d) xm/n Dom(f) = , Ran(f) = [0, + [ a) Dom(f) = [0, + [, Ran(f) = [0, + [ b) Dom(f) = , Ran(f) = c) Dom(f) = - {0}, Ran(f) = - {0} d) Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 23 41.

¿Cuándo se produce una discontinuidad evitable al analizar una función racional? 5 Funciones especiales: valor absoluto, signo, escalón y mayor entero AL ACABAR SABRÁS Definir analíticamente las funciones valor absoluto, signo, escalón unitario y máximo entero. Determinar dominios y rangos en funciones compuestas con operadores especiales. Resolver desigualdades asociadas al máximo entero en raíces y cocientes. PIÉNSALO ANTES DE LEER 42 ¿Por qué al redondear hacia abajo un número como -1,2 obtenemos -2 y no -1? Las funciones especiales son reglas de correspondencia definidas mediante condiciones lógicas o aritméticas particulares.

Se emplean ampliamente para modelar discontinuidades, cambios bruscos de estado y procesos de redondeo. Función valor absoluto La función valor absoluto asigna a cada número real su distancia euclidiana respecto al origen sobre la recta numérica. Por este motivo, su salida nunca toma valores negativos. DEFINICIÓN La función valor absoluto se denota por y se define analíticamente como una función a trozos: El dominio es el conjunto de los números reales ( ), mientras que su recorrido o rango corresponde al intervalo no negativo . Su representación gráfica adopta la forma de una letra «V» con vértice en el punto coordenado .

Cuando se aplica el valor absoluto sobre una curva completa, como en , cualquier sección de la gráfica que quede situada por debajo del eje horizontal se refleja simétricamente hacia arriba. Cuando el grado del numerador es estrictamente menor a) Al compartir numerador y denominador un factor anulable b) Al anularse el numerador sin anular el denominador c) Cuando el denominador carece de raíces reales d) f(x) = x x = { x, x, si x 0 si x < 0 R [0, + [ (0, 0) g(x) = h(x) Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 24 Gráfica de una parábola reflejada positivamente mediante el valor absoluto. EJEMPLO Analicemos la función cuadrática bajo valor absoluto dada por .

Igualamos el argumento a cero para encontrar los puntos de cambio: . En consecuencia: El rango resultante es y el vértice inferior que antes alcanzaba -4 queda invertido en el punto . COMPRUEBA 43 ¿Por qué el rango de una expresión de la forma f(x) = "p(x)" nunca incluye números reales negativos? Función escalón unitario de Heaviside La función escalón unitario, identificada habitualmente como o función de Heaviside, representa el encendido o activación de un fenómeno a partir de un umbral específico.

DEFINICIÓN Dado un punto de conmutación , la traslación de la función escalón se define como: f(x) = x 2 4 x 2 4 = 0 x = ±2 f(x) = { x 4, 2 (x 4) = 4 x , 2 2 si x ] , 2] [2, + [ si x ] 2, 2[ [0, + [ (0, 4) u(x) a R u (x) = a u(x a) = { 0, 1, si x < a si x a Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 25 Su dominio abarca todo , mientras que su recorrido está constituido únicamente por dos elementos aislados: el conjunto discreto . Si la variable independiente se ve afectada por una expresión compuesta, el escalón toma el valor 1 siempre que dicho argumento sea mayor o igual que cero, y 0 si resulta estrictamente negativo.

Gráfica de la función escalón compuesta con saltos de discontinuidad simétricos. COMPRUEBA 44 Si tenemos la función f(x) = u(3 - x), ¿para qué valores de x toma la función el valor 1? Función signo (sgn) La función signo extrae el sentido algebraico de su argumento real, indicando exclusivamente si este es estrictamente positivo, negativo o nulo. DEFINICIÓN La regla de correspondencia de la función signo viene dada por: El dominio de la función signo estándar es y su conjunto imagen es el rango discreto formado por \ {-1, 0, 1\}. Para cualquier valor no nulo, se verifica la relación fundamental .

Cuando se evalúa el signo de un cociente racional , es imprescindible excluir los puntos donde se anula el denominador antes de analizar las regiones de positividad y negatividad mediante la regla de los signos.

Función especial Dominio básico Rango característico Propiedad gráfica principal Valor absoluto Curva continua en «V» no negativa Escalón unitario Salto de discontinuidad de 1 unidad en R {0, 1} sgn(x) = 1, 0, 1, si x < 0 si x = 0 si x > 0 R sgn(x) = = x x x x sgn (Q(x) P (x) ) x R [0, + [ u (x) a R {0, 1} x = a Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 26 Función especial Dominio básico Rango característico Propiedad gráfica principal Función signo Tres tramos horizontales con discontinuidad en el origen Máximo entero Sucesión infinita de peldaños semiabiertos COMPRUEBA 45 ¿Cuál es el dominio y el rango de la función f(x) = sgn(x / (x - 5))?

Función diente de sierra La función diente de sierra (o rampa periódica) describe un crecimiento lineal continuo a lo largo de un intervalo que cae bruscamente a cero al alcanzar el inicio del siguiente tramo. Gráfica periódica de la función rampa o diente de sierra con rango acotado. DEFINICIÓN Fijados los parámetros positivos de amplitud y longitud de paso , la regla de correspondencia para cada segmento con viene definida por: Para este modelo definido sobre los reales no negativos, el dominio es y el rango corresponde al intervalo acotado semiabierto . La pendiente constante de cada segmento inclinado es .

sgn(x) R { 1, 0, 1} x [[ ]] R Z b > 0 a > 0 n Z 0 f(x) = (x a b na), x [na, (n + 1)a[ [0, + [ [0, b[ m = a b Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 27 Función máximo entero La función máximo entero (o función piso) asigna a cada número real el mayor número entero menor o igual que dicho valor. DEFINICIÓN Para todo y , el operador máximo entero satisface: De esta definición analítica se deducen propiedades fundamentales: Desigualdad canónica acotada: . Extracción de constantes enteras: para todo . Identidad idempotente: . Gráficamente, la función genera una escalera con peldaños de longitud 1, con extremo izquierdo cerrado y extremo derecho abierto.

PROCESO Evaluación del operador máximo entero 1 Identificar x real Determinar el número decimal o fraccionario de entrada 2 Acotar entre ente ros Encontrar el entero n tal que n <= x < n+1 3 Asignar valor n Tomar la cota inferior entera como resultado final ERROR FRECUENTE Al determinar el dominio de una función con el operador máximo entero en el denominador, por ejemplo , un error muy habitual es excluir únicamente los puntos donde . El denominador se anula siempre que , lo cual ocurre en todo el intervalo completo donde 0 g(x) < 1. No excluir todo ese segmento provoca divisiones por cero.

EJEMPLO Determinemos el dominio analítico de la función : x R n Z x = [[ ]] n n x < n + 1 x [[ ]] x < x + [[ ]] 1 x + k = [[ ]] x + [[ ]] k k Z x = [[[[ ]]]] x [[ ]] [n, n) f(x) = g(x) [[ ]] 1 g(x) = 0 g(x) = [[ ]] 0 f(x) = 3x [[ ]] 1 Planteamos la restricción del denominador: . 1 3x = [[ ]] 0 Identificamos cuándo se anula el operador aplicando la definición: . 2 3x = [[ ]] 0 0 3x < 1 Despejamos la variable dividiendo por el coeficiente negativo e invirtiendo el sentido de la desigualdad: . 3 < 3 1 x 0 Concluimos que el dominio es .

4 Dom(f) = R , 0 ] 3 1 ] Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 28 COMPRUEBA 46 ¿Cuál es el valor exacto de [[-2,4]] y de [[4,99]] según la definición analítica? IDEAS CLAVE La función valor absoluto siempre devuelve números reales no negativos, produciendo reflexiones por encima del eje horizontal. La función escalón de Heaviside conmuta de 0 a 1 a partir del valor umbral indicado en su argumento. La función signo codifica el sentido positivo, neutro o negativo mediante el conjunto de valores discretos {-1, 0, 1}. El operador máximo entero asigna el mayor entero menor o igual que la entrada, satisfaciendo la equivalencia .

Al resolver denominadores con máximo entero es indispensable excluir todo el intervalo continuo donde el operador se anule, no solo valores aislados. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 47. ¿Por qué la igualdad [[x + k]] = [[x]] + k solo es válida si k es un número entero? 48. ¿Qué intervalo satisface la condición [[x]] = -2? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 49. ¿Cuál es el valor de la función signo evaluada en sgn(-7,8)? 50. Si u(x) es el escalón unitario, ¿cuánto vale u(x - 4) para x = 4? 51. ¿Cuál es el valor del máximo entero [[-1,1]]? 52. ¿Qué conjunto forma el rango de la función signo f(x) = sgn(x)?

x = [[ ]] n n x < n + 1 0 a) -7 b) -1 c) -8 d) 4 a) 0 b) Indefinido c) 1 d) -1 a) -2 b) 0 c) 1 d) {-1, 1} a) {-1, 0, 1} b) [-1, 1] c) [0, +inf[ d) Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 29 6 Simetría de funciones: paridad e imparidad AL ACABAR SABRÁS Comprobar la condición de simetría del dominio antes de clasificar la paridad de una función. Identificar y demostrar analíticamente si una función es par, impar o carece de paridad. Aplicar las reglas de paridad en el producto y cociente de funciones algebraicas y trigonométricas. Descomponer cualquier función real en la suma canónica de su componente par y su componente impar.

PIÉNSALO ANTES DE LEER 53 ¿Puede una curva simétrica respecto al eje X representar a una función matemática real? Simetría de funciones: conceptos de paridad e imparidad El estudio de la simetría simplifica notablemente el trazado gráfico y el análisis analítico de una función. Para determinar si una curva presenta regularidades geométricas respecto a los ejes de coordenadas o respecto al origen, se recurre a los conceptos de función par y función impar. Antes de evaluar cualquier regla de correspondencia (véase «Dominio, rango y evaluación de funciones»), es obligatorio verificar la simetría del conjunto de partida. Un conjunto es simétrico respecto al origen si cumple que .

Si esta condición previa falla para un solo elemento del dominio, la función carece automáticamente de paridad. DEFINICIÓN Sea una función cuyo dominio es simétrico respecto al origen: Una función es par si para todo se verifica que . Geométricamente, su gráfica presenta simetría especular con respecto al eje vertical . Una función es impar si para todo se cumple que . En términos geométricos, su gráfica posee simetría central o rotacional de respecto al origen de coordenadas .

En una función par, si el punto pertenece a la gráfica, el punto reflejado también forma parte de ella: D R x D x D f : Dom(f) R x Dom(f) f( x) = f(x) Y x Dom(f) f( x) = f(x) 180 (0,0) P (x, y) P ( x, y) Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 30 Gráfica de simetría de una función par respecto al eje vertical. Por el contrario, en una función impar, la presencia del par ordenado exige la existencia simultánea del punto opuesto sobre la curva: Gráfica de simetría de una función impar con respecto al origen. Un caso notable es la función nula definida sobre un dominio simétrico (por ejemplo, ).

Cumple y ; por consiguiente, es la única función que resulta simultáneamente par e impar. ERROR FRECUENTE Comprobar únicamente la igualdad algebraica olvidando verificar si el dominio es simétrico conduce a errores graves. Por ejemplo, dada con , la expresión algebraica sugiere paridad inmediata, pero como el valor pertenece al dominio y su opuesto , la función no es par ni impar. P (x, y) P ( x, y) f(x) = 0 R f( x) = 0 = f(x) f( x) = 0 = f(x) f( x) = f(x) f(x) = x2 Dom(f) = [ 2, 5] x = 5 5 / [ 2, 5] Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 31 COMPRUEBA 54 ¿Por qué la función f(x) = x³ con dominio en el intervalo [-3, 7] no puede clasificarse como función impar?

Criterios algebraicos y reglas operacionales Para determinar la paridad de funciones elementales expresadas como potencias enteras con , se aplica directamente el exponente: Si es un número entero par, entonces , por lo que la función es par (como en la función cuadrática estándar; véase «Gráfica de una función y funciones polinómicas elementales»). Si es un número entero impar, se obtiene , lo cual define una función impar. Del mismo modo, entre las razones trigonométricas básicas sobre , la función coseno satisface (función par), mientras que la función seno cumple (función impar).

Al operar algebraicamente mediante productos o cocientes con funciones que poseen paridad definida sobre dominios comunes, los signos resultantes siguen un patrón idéntico al producto de signos numéricos: Operación Naturaleza de f Naturaleza de g Resultado (f · g o f / g) Producto / Cociente Par Par Par Producto / Cociente Impar Impar Par Producto / Cociente Par Impar Impar Producto / Cociente Impar Par Impar La demostración formal del producto de dos funciones impares y sobre ilustra este principio: Como el valor devuelto coincide exactamente con la función original, el producto de dos funciones impares genera una función par.

f(x) = xn n Z n ( x) = n xn n ( x) = n xn R cos( x) = cos(x) sin( x) = sin(x) f g D = Dom(f) Dom(g) [(f g)]( x) = f( x) g( x) = [ f(x)] [ g(x)] = f(x) g(x) = (f g)(x) Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 32 ESQUEMA Álgebra del producto de funciones según paridad COMPRUEBA 55 Si multiplicamos una función par por el cociente de dos funciones impares, ¿qué tipo de paridad tiene la función resultante? Descomposición canónica y funciones definidas a trozos Toda función real cuyo dominio sea simétrico respecto al origen puede escribirse de forma única como la suma de una componente simétrica par y una componente simétrica impar: Denotando y , se comprueba fácilmente que y .

Esta identidad asegura que cualquier función sin paridad definida contiene, no obstante, partes bien estructuradas bajo simetrías elementales. Misma paridad Factores con simetrías iguales Par × Par Da como resultado una función par Impar × Impar Da como resultado una función par Distinta paridad Factores con simetrías opuestas Par × Impar Da como resultado una función impar Impar × Par Da como resultado una función impar f f(x) = + 2 f(x) + f( x) 2 f(x) f( x) f (x) = p 2 f(x)+f( x) f (x) = i 2 f(x) f( x) f ( x) = p f (x) p f ( x) = i f (x) i Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 33 EJEMPLO Consideremos la función polinómica con dominio .

Evaluamos el valor opuesto: Calculamos su componente par: Y calculamos su componente impar: La suma recupera exactamente la función inicial. En el análisis de funciones seccionadas (véase «Periodicidad y funciones con dominio partido»), la condición de paridad exige inspeccionar cómo se transforman los subdominios individuales al cambiar por . Para verificar la paridad en una función a trozos se sigue un procedimiento sistemático: COMPRUEBA 56 Si una función g(x) definida en es estrictamente par, ¿cuánto vale su componente impar g_i(x)?

f(x) = x 3 4x + 6 R f( x) = ( x) 3 4( x) + 6 = x + 3 4x + 6 f (x) = p = 2 (x 4x + 6) + ( x + 4x + 6) 3 3 = 2 12 6 f (x) = i = 2 (x 4x + 6) ( x + 4x + 6) 3 3 = 2 2x 8x 3 x 3 4x f (x) + p f (x) = i 6 + (x 3 4x) = x 3 4x + 6 x x Comprobar la simetría global del dominio: determinar si para cada intervalo o valor puntual del dominio, su conjunto opuesto simétrico también pertenece a la unión de subdominios. 1 Identificar las ramas opuestas: si pertenece a un subdominio , verificar en qué tramo cae el valor . 2 x A k A j x Evaluar la correspondencia funcional cruzada: sustituir en la regla del tramo correspondiente y comprobar si reproduce (para paridad) o (para imparidad) en todos los tramos.

Alternativamente, comprobar si la parte par en todo el dominio (lo que confirmaría imparidad estricta) o si (lo que confirmaría paridad). 3 x f(x) f(x) f (x) = p 0 f (x) = i 0 Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 34 IDEAS CLAVE Una función sólo puede poseer paridad si su dominio es simétrico respecto al origen, es decir, si . Una función par cumple y su representación gráfica es simétrica respecto al eje vertical . Una función impar satisface y exhibe simetría central con respecto al origen de coordenadas. El producto de dos funciones de igual paridad genera una función par, mientras que el producto de dos funciones de distinta paridad resulta impar.

Cualquier función definida sobre un dominio simétrico admite una descomposición única como suma de una parte par y una parte impar: . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 57. ¿Qué condición preliminar debe cumplir el dominio de una función para poder analizar si es par o impar? 58. ¿Por qué la función constante f(x) = 0 es simultáneamente par e impar? 59. ¿Cuál es la expresión general de la parte impar de cualquier función real f(x)? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 60. ¿Qué simetría geométrica caracteriza a la gráfica de una función impar? 61. ¿Cuál es el resultado de multiplicar dos funciones que son ambas impares? 62.

Dada f(x) = x en el dominio [-3, 5], ¿cuál es su clasificación de paridad? 63. ¿Qué valor toma la componente impar de una función estrictamente par?

7 Periodicidad y funciones con dominio partido x Dom(f) x Dom(f) f( x) = f(x) Y f( x) = f(x) f(x) = + 2 f(x)+f( x) 2 f(x) f( x) Simetría respecto al eje horizontal X a) Simetría respecto al eje vertical Y b) Simetría rotacional respecto al origen c) Simetría respecto a la recta y = 1 d) Siempre una función impar a) Una función sin paridad definida b) Siempre una función par c) Siempre la función idénticamente nula d) Ni par ni impar a) Par e impar a la vez b) Función impar c) Función par d) No está matemáticamente definida a) La propia función original b) El doble de la función original c) Cero en todo su dominio d) Cálculo en una Variable: Teoría y Propiedades de Funciones 35 AL ACABAR SABRÁS Identificar formalmente una función periódica y calcular su período fundamental algebraico.

Calcular el dominio y rango total de funciones definidas con dominio partido. Analizar la paridad y periodicidad simultánea en funciones escalonadas o por tramos. PIÉNSALO ANTES DE LEER 64 ¿Por qué un reloj convencional que marca las horas es el ejemplo más intuitivo de una función periódica? Periodicidad de funciones reales Una función describe un fenómeno recurrente si repite exactamente sus valores a intervalos regulares de su variable independiente. Esta propiedad algebraica y geométrica se conoce como periodicidad. DEFINICIÓN Sea una función con dominio . Decimos que es una función periódica si existe un número real constante tal que se cumplen simultáneamente dos condiciones: 1.

Si , entonces . 2. para todo . Al valor constante se le denomina período de la función. Si la relación se cumple para un intervalo de longitud , también se satisface para múltiplos enteros del mismo, tales como o en general con . De entre todos los posibles valores positivos de , denominamos período mínimo o fundamental al menor número real estrictamente positivo que satisface la igualdad. Periodicidad en las funciones trigonométricas fundamentales Las funciones trigonométricas circulares ejemplifican la noción de periodicidad elemental sobre toda la recta real.

Para verificar algebraicamente el período mínimo de la función seno, planteamos la identidad a partir de la fórmula de adición angular: Para que la igualdad se satisfaga de forma idéntica en todo , los coeficientes deben verificar el siguiente sistema: El menor valor estrictamente positivo que anula el seno y simultáneamente asigna valor…