Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari

I 0 flashcards i 24 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS CÀLCUL EN UNA VARIABLE Grau en Matemàtiques Universitat Politècnica de Catalunya AprenAI 2026-2027 Apunts complets de Càlcul en una Variable per a Matemàtiques (UPC): nombres reals, límits, continuïtat, derivació, integral de Riemann, Taylor i sèries.

APREN.AI Índex Els nombres reals 1 Axiomàtica i completesa La insuficiència de Q i la irracionalitat d'arrel de 2 Estructura algebraica i d'ordre dels nombres reals Fites, suprem, ínfim i extrems d'un conjunt Completesa dels nombres reals 2 Propietats mètriques i representació decimal Propietats algebraiques bàsiques i ordenació La part entera d'un nombre real Densitat dels racionals i dels irracionals Topologia i classificació dels intervals Valor absolut i distància euclidiana Punts aïllats, punts d'acumulació i Teorema de Bolzano-Weierstrass Representació decimal dels nombres reals 3 Funcions i successions — Conceptes fonamentals Funcions reals de variable real: conjunts associats Classificació d'aplicacions i invertibilitat Àlgebra de funcions, composició i estructures analítiques Monotonia i fitació en funcions i successions Successions de nombres reals Successions i límits 4 Convergència i àlgebra de límits Límit d'una successió i convergència Unicitat i fitació de les successions convergents Límits infinits per a successions Àlgebra de límits finits i criteris de comparació Àlgebra de límits infinits i determinació d'indeterminacions 5 El nombre e, subsuccessions i Cauchy Teorema de convergència monòtona Construcció del nombre e i les successions associades Fita de l'error i prova de la irracionalitat de e Subsuccessions i el teorema de Bolzano-Weierstrass Límit superior i límit inferior Successions de Cauchy i completesa mètrica Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 1 6 Límits de funcions — Definició, límits laterals i a l'infinit Definició formal de límit en un punt Caracterització seqüencial del límit (Criteri de Heine) Límits a l'infinit i límits infinits Límits laterals i existència del límit Àlgebra de límits i fallada en la composició 7 Continuïtat de funcions — Propietats bàsiques i continuïtat uniforme Definició de continuïtat i caracterització analítica Àlgebra de funcions contínues i composició Classificació de les discontinuïtats Continuïtat uniforme 8 Teoremes de funcions contínues — Bolzano i Weierstrass El Teorema de Bolzano El Teorema dels Valors Intermedis i la Imatge d'un Interval Monotonia, Continuïtat de la Inversa i l'Arrel n-èsima Fites en Intervals Tancats i el Teorema de Weierstrass 9 Funcions elementals transcendents — Exponencials, logaritmes i trigonometria Funció exponencial i les seves propietats algebraiques Funció logarítmica i canvi de base L'elecció natural de la base e i límits fonamentals Funcions hiperbòliques: cosinus i sinus hiperbòlics Angles en radians i construcció analítica de les funcions trigonomètriques Identitats trigonomètriques fonamentals i paral·lelisme hiperbòlic Funcions trigonomètriques inverses Límits trigonomètrics fonamentals 10 Derivabilitat — Definició, propietats i càlcul de derivades Definició de derivada i interpretació geomètrica Relació entre derivabilitat i continuïtat Derivades d'ordre superior i classes de diferenciabilitat Àlgebra de derivades Regla de la cadena i derivada de la funció inversa Derivades de les funcions elementals 11 Teoremes del càlcul diferencial — Rolle, Valor Mitjà i Cauchy Extrems locals i condició necessària de Fermat El teorema de Rolle El teorema de Cauchy o del valor mitjà generalitzat Teorema del Valor Mitjà de Lagrange i les seves conseqüències 12 Càlcul diferencial — Regla de L'Hôpital Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 2 Fonament teòric: Teorema de Cauchy i la regla de L'Hôpital Demostració del cas 0/0 mitjançant el Teorema de Cauchy Extensió a límits per la dreta i límits a l'infinit Indeterminacions del tipus infinit dividit per infinit Àlgebra de transformació per a indeterminacions associades 13 Aplicacions de les derivades — Optimització, infinitesims i curvatura Monotonia, punts singulars i optimització global Comparació asimptòtica: infinitèsims, notació de Landau i ordre de contacte Convexitat, concavitat i relació amb les tangents Criteris de la segona derivada i punts d'inflexió 14 La integral de Riemann — Definició i propietats analítiques Particions d'un interval i sumes de Darboux Refinament de particions i les integrals de Darboux Funció integrable i criteri d'integrabilitat de Riemann Classes de funcions integrables Propietats analítiques i àlgebra de la integral 15 Teorema Fonamental del Càlcul i primitives Primitiva d'una funció El Teorema Fonamental del Càlcul: Regla de Barrow La funció integral com a operació inversa El Teorema del Valor Mitjà per a integrals Mètode d'integració per parts Mètode de canvi de variable (substitució) 16 Càlcul de primitives — Racionals i racionals trigonomètriques Integració de funcions racionals i divisió polinòmica Mètode de descomposició segons els factors del denominador Càlcul sistemàtic de primitives de fraccions simples Funcions racionals trigonomètriques i canvi universal 17 Construcció analítica del logaritme i l'exponencial Definició analítica del logaritme natural Propietats algebraiques fonamentals del logaritme Monotonia, recorregut i bijectivitat del logaritme El límit fonamental i la connexió amb el nombre e La funció exponencial com a inversa analítica Teorema d'existència i unicitat per a bases generals 18 Integrals impròpies — Tipus, criteris de convergència i convergència absoluta Classificació i definició de les integrals impròpies Integrals de referència: les p-integrals de Riemann Criteri de Cauchy i convergència absoluta Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 3 Criteris de comparació per a funcions no negatives 19 Polinomis de Taylor — Teoria, residu de Lagrange i desenvolupaments Representació de polinomis en potències de (x - a) El Polinomi de Taylor i la versió bàsica de Peano Formes del residu: residu integral i residu de Lagrange Àlgebra de polinomis de Taylor Desenvolupaments de Maclaurin de referència 20 Aplicacions de Taylor — Aproximació numèrica i classificació de punts crítics Aproximació numèrica i acotació de l'error mitjançant el residu de Lagrange Estudi local i posició respecte a la recta tangent Classificació de punts singulars d'ordre superior Limitacions teòriques de Taylor: la funció plana de Cauchy 21 Sèries numèriques — Conceptes bàsics, sèrie geomètrica i condició necessària Sèries numèriques i sumes parcials Condició necessària de convergència i la sèrie harmònica Propietats algebraiques i la sèrie geomètrica Criteri de Cauchy i convergència absoluta 22 Sèries de termes positius i sèries alternades — Criteris de convergència Sèries de termes no negatius i convergència monòtona Criteris de comparació directa i per límit Criteri de la integral i sèries harmòniques generalitzades Criteri de Pringsheim Criteris de l'arrel (Cauchy), del quocient (d'Alembert) i de Raabe Sèries alternades: Criteri de Leibniz i fita de l'error 23 Sèries de potències — Radi i interval de convergència Definició i naturalesa funcional El lema d'Abel i el radi de convergència de Cauchy-Hadamard Càlcul pràctic del radi i estudi dels extrems 24 Propietats de les sèries de potències — Convergència uniforme, derivació i integració Convergència uniforme i el criteri de Cauchy funcional Convergència uniforme i continuïtat de les sèries de potències Derivació i integració terme a terme Desenvolupaments en sèrie de funcions elementals Extensió als complexos i deducció de la fórmula d'Euler 25 Formulari per repassar Límits, continuïtat i el nombre e Càlcul diferencial i teoremes fonamentals Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 4 Integració de Riemann i càlcul de primitives Taylor, sèries numèriques i sèries de potències Errors típics a l'examen Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 5 1 Axiomàtica i completesa EN ACABAR SABRÀS Demostrar formalment la irracionalitat d'arrel quadrada de 2 per reducció a l'absurd. Enunciar i classificar els axiomes de cos, d'ordre, arquimedià i de completesa. Distingir rigorosament entre fita superior, suprem i màxim absolut d'un subconjunt de R. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Per què els nombres racionals no són suficients per descriure totes les mesures geomètriques de la recta?

L'anàlisi matemàtica requereix un marc numèric continu per mesurar magnituds com distàncies o temps. Els conjunts dels nombres naturals , els enters i els racionals resulten insuficients per cobrir tots els punts de la recta geomètrica.

ESQUEMA Estructura dels nombres reals Els nombres reals 1 Axiomàtica i completesa 2 Propietats mètriques i representació decimal N Z Q Nombres reals R Cos ordenat arquimedià complet Cos commutatiu Axiomes algebraics de suma i producte Ordre total Relació d'ordre compatible Arquimedianitat Absència d'elements infinits Completesa Axioma del suprem sense forats Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 6 La insuficiència de Q i la irracionalitat d'arrel de 2 Si considerem un quadrat de costat unitari, el teorema de Pitàgores estableix que la seva diagonal mesura . No obstant això, cap fracció no pot representar exactament aquesta longitud.

PROPOSICIÓ: IRRACIONALITAT DE No existeix cap nombre racional que compleixi . És a dir, . Per demostrar-ho per reducció a l'absurd, suposem que . Aleshores podem expressar-lo com una fracció irreduïble , amb i , sense factors comuns. Aquest resultat contradiu que fos una fracció irreduïble. Per tant, no és racional i la recta conté forats que no pot omplir. COMPROVA-HO 2 Per què la igualtat p² = 2q² obliga que p sigui parell? Estructura algebraica i d'ordre dels nombres reals El sistema dels nombres reals es construeix a partir d'una llista d'axiomes que n'estableixen l'àlgebra, l'ordre i la continuïtat.

Axiomes de cos commutatiu (R1-R9) L'addició i la multiplicació a satisfan: Associativitat de la suma (R1): per a tot . Element neutre de la suma (R2): existeix un element tal que per a tot . Element oposat (R3): per a cada , existeix tal que . Commutativitat de la suma (R4): per a tot . Les propietats (R1)-(R4) fan de un grup commutatiu. Associativitat del producte (R5): per a tot . Element neutre del producte (R6): existeix un element (amb ) tal que per a tot . Commutativitat del producte (R7): per a tot . Distributivitat (R8): per a tot . Amb (R1)-(R8), el conjunt és un anell commutatiu. Element invers (R9): per a tot , existeix tal que .

El conjunt de propietats (R1)-(R9) defineix com un cos commutatiu. 2 2 x Q x = 2 2 2 / Q 2 Q p/q p, q Z q = 0 Elevant al quadrat la igualtat , obtenim , d'on . 1 = 2 p/q 2 = p /q 2 2 p = 2 2q2 Com que és parell, deduïm que també ha de ser múltiple de 2. Per tant, podem escriure per a algun enter . 2 p2 p p = 2k k Substituint aquest valor, tenim , la qual cosa implica o bé . 3 (2k) = 2 2q2 4k = 2 2q2 q = 2 2k2 Això significa que és múltiple de 2, de manera que també ha de ser parell.

4 q2 q p/q 2 Q (R, +, , ) R x + (y + z) = (x + y) + z x, y, z R 0 R x + 0 = x x R x R x R x + ( x) = 0 x + y = y + x x, y R (R, +) x (y z) = (x y) z x, y, z R 1 R 1 = 0 x 1 = x x R x y = y x x, y R x (y + z) = x y + x z x, y, z R x = 0 x 1 R x x = 1 1 (R, +, ) Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 7 Axiomes d'ordre total compatible (R10-R15) La relació dota d'una ordenació lineal coherent amb les operacions: Reflexiva (R10): per a tot . Antisimètrica (R11): si i , aleshores . Transitiva (R12): si i , aleshores . Ordre total (R13): per a qualsevol parell, es compleix o bé . Compatibilitat amb la suma (R14): si , aleshores per a tot .

Compatibilitat amb el producte (R15): si i , aleshores . Propietat arquimediana i el subcos racional Els axiomes restants connecten els nombres reals amb els naturals i els racionals: Propietat arquimediana (R16): donats dos nombres reals positius ( ), existeix un nombre natural tal que nx > y. Això impedeix l'existència d'elements infinitament grans o infinitament petits. Subcos ordenat (R17): és un subcos ordenat de . El cos dels racionals satisfà tots els axiomes des de (R1) fins a (R16). Per tant, cal una propietat addicional per distingir de . COMPROVA-HO 3 Quins axiomes comparteixen els racionals Q i els reals R?

Fites, suprem, ínfim i extrems d'un conjunt Per establir el darrer axioma, cal formalitzar com es limiten els conjunts reals. FITES SUPERIORS I INFERIORS Sigui un subconjunt no buit: Un nombre és una fita superior de si per a tot . En aquest cas, és fitat superiorment. Un nombre és una fita inferior de si per a tot . En aquest cas, és fitat inferiorment. Diem que és un conjunt fitat si ho és superiorment i inferiorment alhora. Definició i caracterització de suprem i ínfim El suprem és la menor de les fites superiors d'un conjunt, mentre que l'ínfim és la major de les fites inferiors. Si existeixen, són únics.

R x x x R x y y x x = y x y y z x z x y y x x y x + z y + z z R x 0 y 0 x y 0 x, y R x, y > 0 n N (Q, +, , ) (R, +, , ) Q R Q A R α R A α x x A A α R A α x x A A A Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 8 Concepte Condició de fita Condició d'aproximació amb Suprem: per a tot Si , existeix tal que (és a dir, per a tot , existeix amb ). Ínfim: per a tot Si , existeix tal que (és a dir, per a tot , existeix amb ).

PROCÉS Jerarquia de fites i extrems d'un conjunt 1 Conjunt fitat Té fites superiors i inferiors 2 Suprem o Ínfim Fita superior mínima o fita inferior màxima 3 Pertinença al conjunt Es comprova si la fita pertany a A 4 Màxim o Mínim Extrems absoluts si pertanyen a A Màxim i mínim absolut Quan la fita òptima pertany al propi conjunt, rep un nom específic: Un element és el màxim de ( ) si i per a tot . Un element és el mínim de ( ) si i per a tot . La relació fonamental és directa: si un conjunt té màxim, aleshores . Recíprocament, si , aleshores és el màxim del conjunt. El mateix raonament s'aplica a l'ínfim i al mínim. ERROR FREQÜENT Confondre el suprem amb el màxim.

El suprem sempre existeix per a conjunts no buits fitats superiorment, però no cal que pertanyi al conjunt. Per exemple, per a l'interval obert tenim i , però el conjunt no té ni màxim ni mínim perquè . Afirmar que és un error greu d'examen. COMPROVA-HO 4 Quina és la diferència clau entre el suprem d'un conjunt i el seu màxim? Completesa dels nombres reals La diferència estructural entre i es formula mitjançant el darrer axioma fonamental. AXIOMA DEL SUPREM (R18) Si és un subconjunt no buit i fitat superiorment, aleshores existeix un nombre real tal que = A.

ε > 0 α = sup A α x x A α < α x A α < x α ε > 0 x A x > α ε α = inf A α x x A α > α x A α x < α ε > 0 x A x < α + ε M R A M = max A M A M x x A m R A m = minA m A m x x A max A = supA supA A A = (0, 1) supA = 1 inf A = 0 0, 1 / A max(0, 1) = 1 Q R A R α R α sup Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 9 Aquest axioma garanteix la completesa de la recta real. En canvi, el conjunt és un conjunt de racionals fitat superiorment que no té suprem dins de , ja que . De manera equivalent, la completesa també es pot expressar afirmant que tota successió de Cauchy és convergent (concepte analitzat a «Successions i límits — El nombre e, subsuccessions i Cauchy»).

Com a conclusió fonamental d'aquesta estructura: és l'únic cos ordenat arquimedià complet que conté els racionals com a subcos ordenat (llevat d'isomorfisme). IDEES CLAU El conjunt dels racionals té llacunes perquè equacions senzilles com no hi tenen solució. compleix els axiomes de cos commutatiu (R1-R9) i d'ordre total compatible (R10- R15). La propietat arquimediana (R16) assegura que no hi ha elements infinitament grans ni infinitament petits respecte a altres. El suprem és la menor fita superior i l'ínfim és la major fita inferior; si pertanyen al conjunt, coincideixen respectivament amb el màxim i el mínim.

L'axioma de completesa (R18) postula l'existència del suprem per a tot conjunt no buit i fitat superiorment, caracteritzant de forma única. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 5. Per què el conjunt A = {x Q : x² < 2} demostra que Q no és complet? 6. Si un conjunt té màxim M, pot tenir un suprem diferent de M? ELS NOMBRES REALS 2 Propietats mètriques i representació decimal EN ACABAR SABRÀS Calcular la part entera de qualsevol nombre real positiu o negatiu. Demostrar la densitat dels nombres racionals i irracionals a la recta real. Aplicar les desigualtats triangulars directa i inversa del valor absolut. Classificar punts aïllats i punts d'acumulació i enunciar el Teorema de Bolzano-Weierstrass.

PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 7 Quants nombres racionals i quants nombres irracionals hi ha compresos entre 1,41 i 1,42? {x Q : x < 2 2} Q 2 / Q (R, +, , ) Q x = 2 2 (R, +, , ) R Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 10 Propietats algebraiques bàsiques i ordenació A partir dels axiomes que defineixen els nombres reals com a cos ordenat arquimedià complet (vegeu «Els nombres reals — Axiomàtica i completesa»), se'n dedueixen totes les regles de càlcul habituals. Recordem que un nombre real és positiu si compleix , i s'anomena negatiu quan . El valor 0 no és ni positiu ni negatiu; per això, les condicions i descriuen els nombres no negatius i no positius respectivament.

Entre les conseqüències algebraiques immediates dels axiomes d'anell i d'ordre destaquen les següents propietats per a qualsevol terna : Si , aleshores necessàriament (unicitat de l'element neutre sumatori). Si i , aleshores . El producte pel zero anul·la qualsevol element: . D'aquí es dedueix que si , necessàriament o bé . El signe oposat correspon al producte per menys u: . Inversió del sentit de la desigualtat: si , aleshores ; i si , aleshores . Regla dels signes: si i , el producte és ; si ambdós són negatius ( i ), el producte resulta . Monotonia del producte i de la potència: si i , tenim . Així mateix, si i , es verifica .

Com a resultat directe de la completesa, si un subconjunt no buit està fitat inferiorment, admet un ínfim . A més, tot subconjunt finit i no buit de nombres reals assoleix sempre un màxim i un mínim. La part entera d'un nombre real DEFINICIÓ Donat un nombre real qualsevol , existeix un únic nombre enter tal que compleix la doble desigualtat: Aquest enter rep el nom de part entera de x i es denota habitualment per o bé . La demostració d'aquest resultat combina la propietat arquimediana i el principi del bon ordre dels enters. Per a la unicitat, si dos enters satisfan la desigualtat, implica ; per simetria, , d'on .

Per a l'existència, quan , la propietat arquimediana garanteix un enter positiu estrictament major que , de manera que el conjunt és finit i no buit (conté el zero), per la qual cosa té un màxim que constitueix precisament . Si i , es pren i s'obté . COMPROVA-HO 8 Quina és la part entera de -3,25 segons la definició formal?

x x > 0 x < 0 x 0 x 0 x, y, z R x + y = x y = 0 x = 0 xy = x y = 1 0 x = 0 xy = 0 x = 0 y = 0 ( 1) x = x x > 0 x < 0 x < y y < x x < 0 y > 0 xy < 0 x < 0 y < 0 xy > 0 x y z 0 xz yz 0 x < y n N x < n yn A R α = inf A R x R n Z n x < n + 1 n [x] x n , n 1 2 Z n < 1 n + 2 1 n 1 n 2 n 2 n 1 n = 1 n 2 x > 0 x {m N : m x} [x] x < 0 x / Z m = [ x] [x] = m 1 Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 11 Densitat dels racionals i dels irracionals La recta real es divideix en dos conjunts disjunts: el cos dels nombres racionals i el conjunt dels nombres irracionals . Ambdós conjunts s'entrellacen íntimament al llarg de tota la recta.

DEFINICIÓ Un subconjunt és dens a la recta real si per a qualsevol parella d'elements amb , existeix com a mínim un element tal que . La densitat de a es demostra utilitzant la propietat arquimediana: com que , existeix un enter positiu tal que , és a dir, . Prenent , es dedueix immediatament que el nombre racional satisfà estrictament . Aquest fet permet constatar la incompletsa de : el conjunt és no buit i fitat superiorment a , però el seu suprem a és , el qual no pertany a . Per tant, no compleix l'axioma del suprem. De la mateixa manera, el conjunt dels irracionals és dens a . Donats , considerem els reals . Per la densitat de , existeix un racional no nul tal que .

Dividint per l'irracional , s'obté el nombre irracional , el qual compleix . Com a conseqüència d'aquests dos resultats, entre dos nombres reals diferents existeixen infinits nombres racionals i infinits nombres irracionals. Topologia i classificació dels intervals Un subconjunt és un interval si verifica la propietat d'entremig: sempre que i , aleshores . Conjunts com els punts únics o els intervals habituals en són exemples, mentre que , o no ho són.

Interval Definició conjuntista Obert / Tancat Fitat Longitud Conjunt buit Obert i tancat Fitat 0 Tancat, no obert Fitat Obert, no tancat Fitat Ni obert ni tancat Fitat Ni obert ni tancat Fitat Tancat, no obert No fitat Infinit Obert, no tancat No fitat Infinit Tancat, no obert No fitat Infinit Obert, no tancat No fitat Infinit Obert i tancat No fitat Infinit Q R Q D R x, y R x < y d D x < d < y Q R y x > 0 n N n > y x 1 n(y x) > 1 m = [nx] + 1 α = n m x < α < y Q A = {x Q : x 2 2} Q R α = 2 Q (Q, +, , ) R x < y x < 2 y 2 Q α Q x < 2 α < y 2 2 β = 2 α x < β < y I R x, y I x z y z I {5} Q R {0} {x R : x > 2 2} [a, b] {x R : a x b} b a (a, b) {x R : a < x < b} b a [a, b) {x R : a x < b} b a (a, b] {x R : a < x b} b a ( , b] {x R : x b} ( , b) {x R : x < b} [a, + ) {x R : a x} (a, + ) {x R : a < x} R ( , + ) Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 12 COMPROVA-HO 9 Per què el conjunt format pels racionals Q no és un interval de la recta real?

Valor absolut i distància euclidiana El valor absolut d'un nombre real es defineix a trossos: Aquesta operació gaudeix de propietats fonamentals per a l'anàlisi: ERROR FREQÜENT En acotar diferències en denominadors o estimacions de límits, és habitual oblidar el mòdul exterior de la desigualtat triangular inversa i escriure erròniament sense considerar que pot ser negatiu. La forma correcta que acota la magnitud absoluta de la diferència és ""a" - "b"" "a - b". Una funció és una distància (o mètrica) sobre un conjunt si és no negativa i s'anul·la només entre punts idèntics ( i ), és simètrica ( ) i compleix la desigualtat triangular ( ).

L'aplicació d(x, y) = "y - x" compleix aquestes propietats i defineix l'espai mètric estàndard . ESQUEMA Classificació dels punts d'un subconjunt real a R a = { a a si a 0 si a 0 No-negativitat i separació: per a tot , i si i només si . 1 a 0 a a = 0 a = 0 Multiplicativitat: . 2 ab = a b Caracterització de fites simètriques: per a , si i només si . En particular, . 3 c 0 a c c a c a a a Desigualtat triangular directa: per a qualsevol parell de reals, . Com a variant directa, .

4 a + b a + b a b a + b Desigualtat triangular inversa: mesura la variació entre mòduls: 5 a b a b a b a b a b d : E × E R E d(x, y) 0 d(x, y) = 0 x = y d(x, y) = d(y, x) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (R, d) Punts de la recta real Respecte a un conjunt A Punts d'acumulació Entorns amb infinits punts de A Interiors o frontera Poden o no pertànyer a A Punts aïllats Existeix un entorn sense altres punts de A Punts pertanyents a A Sempre formen part del conjunt A Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 13 Punts aïllats, punts d'acumulació i Teorema de Bolzano-Weierstrass Sigui un subconjunt de nombres reals: Un punt és un punt aïllat de si existeix un radi tal que l'entorn foradat no conté punts de , és a dir, .

Un punt és un punt d'acumulació de si tot entorn foradat al seu voltant intersecta : per a tot es compleix . De manera equivalent, és d'acumulació si i només si tot interval obert conté infinits elements de . Cal notar que un punt d'acumulació no necessita pertànyer al propi conjunt . DEFINICIÓ Teorema de Bolzano-Weierstrass (primera versió per a conjunts): Tot subconjunt infinit i fitat té com a mínim un punt d'acumulació a . La demostració utilitza l'axioma del suprem. En ser fitat, . Es defineix el conjunt auxiliar . Aquest conjunt és no buit (ja que ) i està fitat superiorment per . Per completesa, existeix .

Es demostra per reducció a l'absurd que aquest suprem és forçosament un punt d'acumulació de . COMPROVA-HO 10 Pot un conjunt finit tenir punts d'acumulació a la recta real? Representació decimal dels nombres reals La construcció analítica de la representació en base 10 permet identificar cada nombre real positiu amb una seqüència de dígits decimals. Donat , per a cada enter es defineix , que és la part entera del nombre escalat. D'aquesta manera es defineixen els dígits decimals: Aquesta col·lecció indexada satisfà dues propietats essencials: Existeix un enter tal que per a tot es té , amb (els dígits a l'esquerra s'anul·len a partir d'una potència prou negativa).

Per a qualsevol enter , existeix algun enter posterior tal que . És a dir, la representació decimal oficial generada per les parts enteres no acaba mai en un període infinit de nous.

Recíprocament, qualsevol successió de dígits que compleixi aquestes dues condicions determina de forma unívoca un únic nombre real positiu , on cadascun dels talls finits ve donat per la suma: Aquesta correspondència permet caracteritzar completament la natura racional o irracional d'un nombre mitjançant la periodicitat dels seus dígits: A R a A A δ > 0 A (a δ, a + δ) A = {a} a R A A δ > 0 ((a δ, a + δ) {a}) A = a (a δ, a + δ) A A A R R A [a, b] B = {c R : [c, + ) cont infinits elements de A} e ˊ B a B b β = supB β A x > 0 n Z p = n [10 x] n d = n p n 10p n 1 {0, 1, 2, …

, 9} (d ) n n Z n 0 n n 0 d = n 0 d = n +1 0 0 n m > n d = m 9 (d ) n n Z x = sup{x : n n Z} x = n k n 10k d k Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 14 PER RECORDAR-HO Un nombre real positiu pertany a si i només si la seva representació decimal és finita o periòdica a partir d'un cert dígit. Els nombres irracionals són exactament aquells que presenten una cua decimal infinita i aperiòdica. Aquesta propietat es comprova mitjançant l'algorisme de la divisió euclidiana entre el numerador i el denominador : com que els possibles residus no nuls de la divisió sencera per són com a màxim , necessàriament algun residu es repeteix, generant un cicle periòdic de decimals.

IDEES CLAU La recta real conté el conjunt dens dels nombres racionals i el conjunt dens dels nombres irracionals . La funció part entera assigna a cada real l'únic enter tal que . La distància euclidiana estàndard a la recta real es defineix com i satisfà la desigualtat triangular directa i inversa. El Teorema de Bolzano-Weierstrass estableix que qualsevol subconjunt infinit i fitat de nombres reals té com a mínim un punt d'acumulació. La representació decimal canònica evita cues infinites de nous i caracteritza els racionals com a decimals finits o periòdics. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 11. Com es demostra que entre dos nombres reals diferents x < y existeix un nombre irracional? 12.

Quina condició sobre els dígits distingeix els nombres racionals dels irracionals en la seva expansió decimal? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 13. Per quina raó fonamental sabem que l'arrel quadrada de 2 no és un nombre racional? 14. Quin dels següents axiomes distingeix els nombres reals R dels racionals Q? x > 0 Q p q q q 1 Q R Q [x] n x < n + 1 d(x, y) = y x Perquè és un valor estrictament negatiu. a) Genera una contradicció sobre la irreduïbilitat de p/q. b) Perquè té infinits decimals periòdics. c) Perquè l'axioma del suprem ho prohibeix. d) La propietat arquimediana (R16). a) L'associativitat de la suma (R1). b) L'existència de suprem per a fitats (R18).

c) La compatibilitat de l'ordre amb la suma. d) Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 15 15. Donat el conjunt A = (0, 1), quin és el seu suprem i el seu màxim a R? 16. Què afirma la propietat arquimediana per a dos reals positius x i y? 17. Quant val la part entera de x = -1,05? 18. Quina propietat assegura que entre dos reals qualssevol existeix un nombre racional? 19. Quin dels següents conjunts conté com a mínim un punt d'acumulació a la recta real? 20. Què afirma la primera versió del Teorema de Bolzano-Weierstrass per a conjunts?

3 Funcions i successions — Conceptes fonamentals EN ACABAR SABRÀS Distingir i calcular el domini, codomini i recorregut d'una funció real. Analitzar la injectivitat, exhaustivitat i bijectivitat d'aplicacions per determinar la seva inversa. Verificar les condicions de monotonia i fitació en funcions i successions numèriques. Calcular termes de successions definides tant de forma explícita com per recurrència. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 21 En què es diferencia, formalment, una successió de nombres reals de qualsevol altra funció real?

L'estudi de l'anàlisi matemàtica es fonamenta en la descripció precisa de com es relacionen els conjunts numèrics mitjançant transformacions i correspondències estructurades. Suprem 1 i no té màxim. a) No té suprem ni màxim. b) Suprem 0 i mínim 0. c) Suprem 1 i màxim 1. d) Que x és sempre menor que y. a) Que el producte xy ha de ser racional. b) Que tot nombre real té arrel quadrada. c) Que existeix n natural tal que nx > y.

d) -1,05 a) 0 b) -2 c) -1 d) Completsa de Cauchy a) Separabilitat discreta b) Compacitat d'intervals c) Densitat de Q a R d) L'interval obert (0, 1) a) Els naturals N b) Els enters Z c) El conjunt {1, 2, 3} d) Tot conjunt obert és connex a) Tota successió monòtona divergeix b) Tot conjunt infinit i fitat té acumulació c) Tot conjunt fitat té màxim d) Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 16 ESQUEMA Estructura del Capítol 2: Funcions, successions i límits Funcions reals de variable real: conjunts associats Una relació funcional assigna a cada element d'un conjunt de partida un únic element d'un conjunt d'arribada.

Quan ambdós conjunts formen part de la recta real, parlem pròpiament de funcions reals de variable real. DEFINICIÓ: FUNCIÓ REAL, DOMINI I IMATGE Una funció real d'una variable real és una aplicació que fa correspondre a cada nombre un únic valor real . El subconjunt s'anomena domini de la funció. El subconjunt és el codomini. Si no s'especifica de manera explícita, hom pren per conveni habitual .

El recorregut o imatge de la funció correspon al conjunt d'elements de l'arribada assolits per algun punt del domini: Tenint en compte subconjunts arbitraris de la recta real i , es defineixen respectivament la imatge directa i la imatge recíproca o antiimatge: Dues funcions elementals de referència són la funció constant, en la qual existeix una constant tal que per a tot , i la funció identitat sobre un conjunt , denotada per , que verifica per a cada element del domini.

Conceptes fonamentals Funcions, successions, monotonia i operacions Límits de successions Convergència, àlgebra de límits i unicitat Propietats profundes de successions El nombre e, subsuccessions i criteris de Cauchy Límits de funcions Definicions formals, límits laterals i a l'infinit f : A R B R x A f(x) B A B B = R Im f = f(A) = {y R : existeix x A tal que f(x) = y} = {f(x) : x A} A 1 A B 1 B f(A ) = 1 {f(x) : x A } 1 B f (B ) = 1 1 {x A : f(x) B } 1 A c R f(x) = c x A A I : A A A I (x) = A x Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 17 COMPROVA-HO 22 Quina diferència conceptual existeix entre el codomini i la imatge d'una funció?

Classificació d'aplicacions i invertibilitat Les correspondències funcionals es classifiquen atenent al comportament puntual de les imatges i a la cobertura del conjunt d'arribada. Tipus de propietat Condició matemàtica formal Interpretació Injectiva Elements diferents tenen imatges diferents. Exhaustiva Tot element del codomini és imatge d'almenys un element del domini. Bijectiva És simultàniament injectiva i exhaustiva Correspondència exacta un a un entre i . La bijectivitat és el requisit indispensable per construir aplicacions recíproques plenament definides. DEFINICIÓ: FUNCIÓ INVERSA Si una aplicació és bijectiva, existeix una única aplicació anomenada funció inversa, .

Aquesta assigna a cada l'únic punt tal que . Per a la funció identitat , aquesta és bijectiva de manera trivial sobre el propi conjunt i coincideix amb la seva pròpia inversa: . COMPROVA-HO 23 Per què una funció no exhaustiva no admet funció inversa sobre tot el codomini? Àlgebra de funcions, composició i estructures analítiques A partir de funcions existents sobre un mateix domini es poden generar noves aplicacions mitjançant les operacions habituals del cos dels nombres reals. DEFINICIÓ: OPERACIONS PUNTUALS AMB FUNCIONS Donades dues funcions i un nombre real : Producte per un escalar: per a tot . Suma de funcions: per a tot . Producte de funcions: per a tot .

Quocient de funcions: Suposant a tot el domini , . x, y A, x = y f(x) = f(y) f(A) = B A B f : A R B R f : 1 B R A R y B x = f (y) 1 A f(x) = y I A A (I ) = A 1 I A f, g : A R R λ R (λf)(x) = λf(x) x A (f + g)(x) = f(x) + g(x) x A (fg)(x) = f(x)g(x) x A g(x) = 0 A (x) = (g f ) g(x) f(x) Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 18 Una operació estructural fonamental és l'encadenament d'aplicacions. Siguin i dues aplicacions tals que la imatge de la primera queda continguda en el domini de la segona ( ).

La composició de amb és la funció definida mitjançant: PROCÉS Flux de composició i inversió de funcions 1 Element inicial x Pertany al domini A 2 Aplicació f Transforma x en la imatge f(x) a B 3 Aplicació g Rep f(x) i produeix g(f(x)) 4 Inversió f ¹ Retorna des de f(x) al punt inicial x La noció de funció inversa es pot reescriure en termes de composició: si és bijectiva, la seva inversa és l'única aplicació que satisfà: A partir d'aquestes operacions es construeixen les famílies bàsiques d'estudi: Funcions polinòmiques: S'obtenen mitjançant sumes i productes finits de la funció identitat i funcions constants. Prenen la forma general amb coeficients i . El seu domini natural és tot .

Funcions racionals: S'originen a partir del quocient de dos polinomis, . El seu domini queda restringit al conjunt de nombres reals on el denominador no s'anul·la: . ERROR FREQÜENT Compte amb l'ordre de composició: l'escriptura denota l'avaluació de sobre el resultat de , aplicant en primer lloc l'acció de i després la de . Confondre l'ordre i calcular porta a resultats completament diferents. COMPROVA-HO 24 Quin és el domini de definició d'una funció racional ? Monotonia i fitació en funcions i successions Les nocions d'ordre i mida en el cos dels nombres reals permeten analitzar el creixement i els límits de variació de les funcions.

DEFINICIÓ: FITACIÓ DE FUNCIONS Una funció és dita fitada superiorment (o respectivament fitada inferiorment) si el seu recorregut és un subconjunt fitat superiorment (o inferiorment) a (sobre aquestes propietats, vegeu «Els nombres reals — Axiomàtica i completesa»). Diem que és fitada si el recorregut està fitat tant superiorment com inferiorment.

f : A R R g : B R R f(A) B f g g f : A R R (g f)(x) = g(f(x)) f : A B f 1 g : B A g f = I i f A g = I B P (x) = a + 0 a x + 1 + a x n n a i R n N R f(x) = Q(x) P (x) {x R : Q(x) = 0} (g f)(x) g f(x) f g f(g(x)) f(x) = Q(x) P (x) f : A R R f(A) R Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 19 La monotonia descriu com es preserva o inverteix l'ordre numèric sota l'acció d'una funció: Creixent: si per a qualsevol parella amb es compleix . Estrictament creixent: si implica . Decreixent: si per a qualsevol parella amb es compleix . Estrictament decreixent: si implica . Monòtona: si és creixent o decreixent (i estrictament monòtona si és estrictament creixent o decreixent).

Quan una funció bijectiva és creixent (o decreixent), la seva inversa conserva exactament aquest mateix sentit de monotonia. Successions de nombres reals Una successió és un cas particular fonamental de funció on el domini no és un interval real continu, sinó el conjunt dels nombres naturals. DEFINICIÓ: SUCCESSIÓ NUMÈRICA Una successió de nombres reals és una funció . La imatge es denota habitualment per a_n i rep el nom de terme n-èsim o terme general. La successió sencera se sol designar per la notació .

Les successions es poden introduir mitjançant diversos mètodes: Atesa la seva naturalesa funcional, una successió és creixent si i només si per a tot (i anàlogament per a la resta de modalitats de monotonia). Així mateix, és fitada si el conjunt dels seus termes té fita superior i fita inferior a . Finalment, si es considera una successió i una funció real , la composició genera de forma natural una nova successió numèrica amb terme general donat per . COMPROVA-HO 25 Quina condició necessària i suficient simplifica comprovar el creixement en una successió?

x < y f(x) f(y) x < y f(x) < f(y) x < y f(x) f(y) x < y f(x) > f(y) f : A B f : 1 B A a : N R R a(n) (a ) n Expressió explícita: El terme es dóna directament per una fórmula en funció de l'índex, per exemple . Quan l'expressió analítica presenta restriccions (com ara , on el terme per a no està definit), hom indexa la família a partir d'un natural base: o, més generalment, per a cert . 1 a = n n +1 2 n 1 a = n 1 + ( n 1 ) n n = 0 (a ) n n 1 (a ) n n k k N Definició per recurrència: Els nous termes es construeixen a partir dels immediatament anteriors.

Un cas paradigmàtic és la successió de Fibonacci, fixada per les condicions inicials , i la regla iterativa: 2 a = 0 1 a = 1 1 a = n a + n 1 a per a tot n n 2 2 (a ) n a n a n+1 n N R a : N A f : A R b = f a (b ) n b = n f(a ) n Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 20 IDEES CLAU Una funció real relaciona un subconjunt domini amb el codomini , tenint per imatge el conjunt efectiu de valors assolits. Una aplicació té inversa ben definida si i només si és bijectiva, complint i . Les funcions racionals són quocients de polinomis i el seu domini exclou exclusivament les arrels del denominador.

Una successió real és una funció amb domini en els nombres naturals ( ), que pot descriure's explícitament o per recurrència. La monotonia i la fitació s'apliquen de manera idèntica a successions que a funcions genèriques gràcies a l'ordre de la recta real. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 26. Com es defineix formalment que una funció real sigui estrictament decreixent en el seu domini? 27. Quina propietat de monotonia posseeix la funció inversa d'una bijecció creixent? 28. Com s'expressa el terme general quan una successió es compon amb una funció ? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 29.

Com s'anomena la funció que a cada element del domini li assigna exactament ell mateix? 30. Quina condició és imprescindible per poder definir la funció inversa sobre el codomini complet? 31. Quin és el domini natural d'una funció racional f(x) = P(x) / Q(x)? 32. Quina definició caracteritza la successió de Fibonacci per a n 2?

A R B R f 1 f = I A f f = 1 I B a : N R f 1 b n (a ) n f Funció identitat a) Funció constant b) Funció inversa c) Funció periòdica d) Que sigui fitada a) Que sigui monòtona creixent b) Que sigui només exhaustiva c) Que sigui bijectiva d) Només els nombres positius a) Tots els nombres reals b) Els reals tals que P(x) 0 c) Els reals tals que Q(x) 0 d) = ( )² a) a n a n 1 = + b) a n a n 1 a n 2 = 2 + 1 c) a n a n 1 = · d) a n a n 1 a n 2 Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 21 4 Convergència i àlgebra de límits EN ACABAR SABRÀS Definir amb precisió formal el límit d'una successió mitjançant el llindar èpsilon-n0.

Demostrar la unicitat del límit i que tota successió convergent és fitada. Aplicar les regles de l'àlgebra de límits finits i infinits en el càlcul de límits. Identificar i distingir les formes indeterminades bàsiques d'operacions determinades. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 33 Si una successió satisfà < per a tot nombre natural n, pot donar-se el cas que ambdues tinguin exactament el mateix límit? Límit d'una successió i convergència Una successió de nombres reals és una aplicació que assigna a cada nombre natural un valor real (vegeu «Funcions i successions — Conceptes fonamentals»).

L'estudi del seu comportament asimptòtic consisteix a determinar si els termes s'aproximen a un valor fix a mesura que l'índex creix sense límit. DEFINICIÓ Diem que una successió és una successió convergent cap a un nombre real si per a tot existeix un índex tal que: En aquest cas, anomenem el límit de la successió i escrivim o bé . Geomètricament, la condició equival a afirmar que . Per tant, una successió convergeix a si i només si, fixat qualsevol entorn de radi al voltant de , com a molt un nombre finit de termes en queda fora, mentre que infinits termes s'acumulen a l'interior.

Successions i límits 4 Convergència i àlgebra de límits 5 El nombre e, subsuccessions i Cauchy a n b n n N a n a n (a ) n L R ε > 0 n 0 N a n L < ε per a tot n n 0 L lim a = n L a n L a n L < ε a n (L ε, L + ε) L ε L Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 22 EXEMPLE Tota successió constant per a tot convergeix cap a , ja que per a qualsevol . De la mateixa manera, per a la successió tenim : donat , n'hi ha prou de triar per assegurar que per a tot .

Unicitat i fitació de les successions convergents Dues propietats estructurals fonamentals regeixen el comportament de les successions amb límit finit: el límit no pot prendre dos valors diferents i els termes de la successió no poden escapar-se a l'infinit. PER RECORDAR-HO Unicitat del límit: El límit d'una successió, si existeix, és únic. Per demostrar la unicitat per reducció a l'absurd o per separació d'èpsilons, suposem que i . Donat un arbitrari, existeixen índexs tals que per a i per a . Prenent i aplicant la desigualtat triangular: Com que la distància és estrictament inferior a qualsevol quantitat positiva , deduïm forçosament que , d'on . Tota successió convergent a R és fitada.

Aquest resultat estableix una condició necessària per a la convergència. Si , fixem . Llavors existeix un índex a partir del qual per a tot . Emprant la desigualtat triangular: Per controlar els termes anteriors a aquest llindar, definim la fita global: Aleshores, per a tot , demostrant que la successió és fitada. El recíproc és fals: la successió alternada és fitada superiorment i inferiorment però oscil·la indefinidament i no convergeix. COMPROVA-HO 34 Per què una successió amb límit necessita només un nombre finit de termes per comprovar la fitació fora de l'entorn de convergència?

Límits infinits per a successions Quan els termes d'una successió creixen o decreixen sense límit, la successió no és convergent a , sinó que presenta divergència cap a valors infinits. a = n c n N c c c = 0 < ε n 0 a = n 1/n lim(1/n) = 0 ε > 0 n > 0 1/ε 1/n 0 = 1/n < ε n n 0 lim a = n L 1 lim a = n L 2 ε > 0 n , n 1 2 N a n L < 1 ε/2 n n 1 a n L < 2 ε/2 n n 2 n max{n , n } 1 2 L 1 L = 2 L 1 a + n a n L 2 a n L + 1 a n L < 2 + 2 ε = 2 ε ε L 1 L 2 ε L 1 L = 2 0 L = 1 L 2 lim a = n L ε = 1 n 0 a n L < 1 n n 0 a = n a n L + L a n L + L < 1 + L per a tot n n 0 M = max{ a , a , …

, a , 1 + 0 1 n 0 L } a n M n N a = n ( 1)n R Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 23 Divergència a : Escrivim si per a tot valor existeix un índex tal que per a tot . Divergència a : Escrivim si per a tot existeix un índex tal que per a tot . Límit infinit sense signe determinat ( ): Escrivim si per a tot existeix un índex tal que per a tot . Cap successió que divergeixi cap a , o no pot ser fitada, ja que supera qualsevol fita prefixada . Àlgebra de límits finits i criteris de comparació Siguin i dues successions convergents amb límits i .

L'operació algebraica habitual és compatible amb el pas al límit: PER RECORDAR-HO Propietat d'infinitèsim per fitada: Si i la successió és fitada en valor absolut per una constant , aleshores el producte convergeix a zero: . El criteri de compressió (conegut com a teorema de l'enclusa) permet calcular límits delimitant la successió objectiu entre dues fites convergents al mateix valor: PER RECORDAR-HO Siguin , i tres successions tals que per a tot . Si es verifica que , aleshores la successió compresa és convergent i té límit .

PROCÉS Mecanisme del criteri de compressió (enclusa) 1 Fita inferior Successió an amb límit L 2 Successió intermèdia an cn bn per a tot n 3 Fita superior Successió bn amb límit L 4 Conclusió obligada cn convergeix necessàriament a L + lim a = n + N > 0 n 0 N a > n N n n 0 lim a = n N > 0 n 0 N a < n N n n 0 lim a = n N > 0 n 0 N a > n N n n 0 + N (a ) n (b ) n lim a = n L 1 lim b = n L 2 Suma de successions: La successió suma convergeix a la suma de límits: . 1 lim(a + n b ) = n L + 1 L2 Producte per un escalar: Donat , es compleix . 2 λ R lim(λa ) = n λL 1 Producte de successions: La successió producte convergeix a .

3 lim(a b ) = n n L L 1 2 Quocient de successions: Si per a tot i a més , llavors . 4 b = n 0 n L = 2 0 lim(a /b ) = n n L /L 1 2 Conservació del valor absolut: Si , aleshores . 5 lim a = n L lim a = n L Translació nul·la: si i només si . 6 lim a = n L lim(a n L) = 0 lim a = n 0 (b ) n M lim(a b ) = n n 0 (a ) n (b ) n (c ) n a n c n b n n N lim a = n lim b = n L (c ) n lim c = n L Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 24 Pel que fa a les relacions d'ordre, si per a tot , aleshores . La demostració per reducció a l'absurd és directa: si suposem que , podem prendre el punt mitjà .

Com que i , a partir d'un cert índex comú tindrem simultàniament i , d'on resultaria , contradient la hipòtesi. ERROR FREQÜENT No deduïu mai una desigualtat estricta entre límits a partir d'una desigualtat estricta entre termes. Si per a tot , la conclusió correcta és , ja que el pas al límit pot relaxar la desigualtat estricta a una igualtat. Per exemple, si prenem i , és clar que per a tot índex natural, però . COMPROVA-HO 35 Si una successió compleix per a tot natural, quin és el seu límit i quin criteri ho justifica?

Àlgebra de límits infinits i determinació d'indeterminacions Quan s'operen termes que tendeixen a infinit o a zero, certs comportaments queden totalment determinats, mentre que d'altres depenen de la velocitat relativa de creixement dels components. Condicions sobre Condicions sobre Operació Resultat determinat ( ) ( ) ( ) ( ) és fitada ( ) ( ) eventualment és fitada 0 eventualment ( ) eventualment eventualment 0 Quan la informació dels límits individuals no permet conèixer el valor del límit conjunt sense una anàlisi addicional de l'expressió, ens trobem davant d'una indeterminació.

Les formes indeterminades bàsiques sorgides de les operacions de successions són: a n b n n N L 1 L 2 L < 2 L 1 M = (L + 1 L )/2 2 a n L 1 b n L 2 a > n M b < n M a > n b n a < n b n n lim a n lim b n a = n 0 b = n 1/n a < n b n lim a = n 0 = lim b n 0 < a < n 2/n (a ) n (b ) n a n + λ > 0 λa n + a n + λ < 0 λa n + (a ) n b n + a + n b n + a n + b n + a + n b n + a n b n a + n b n a n k > 0 b n a b n n (a ) n b n a /b n n a n k > 0 b n 0 b = n 0 a /b n n b n a n k > 0 b /a n n b n 0 a n k > 0 b /a n n Suma de signes oposats: , que s'origina en fer el límit de quan i (o viceversa). 1 a + n b n a n + b n Producte d'infinitèsim per infinit: , produïda pel producte quan i .

2 0 a b n n a n 0 b n Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 25 COMPROVA-HO 36 Per què l'expressió es classifica com una indeterminació i no s'assigna directament a zero? IDEES CLAU La convergència d'una successió exigeix que tots els seus termes, excepte com a molt un nombre finit, estiguin continguts dins de qualsevol entorn de radi al voltant del límit. El límit d'una successió convergent és únic a . Tota successió convergent és necessàriament fitada, tot i que no tota successió fitada és convergent. El pas al límit conserva les desigualtats amples ( ), però no preserva les desigualtats estrictes.

El producte d'una successió que tendeix a zero per una successió fitada dóna com a resultat una successió amb límit zero. Les operacions que confronten ritmes oposats generen les quatre formes bàsiques d'indeterminació: , , i . COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 37. Com es demostra formalment que una successió convergent no pot tenir dos límits diferents? 38. Per quina raó una successió com no contradiu la propietat que tota successió convergent és fitada? 39. Si per a tot es compleix , per quin motiu no es pot assegurar que ? Quocient de zeros: , quan es divideixen dues successions que tendeixen a zero ( , ).

3 0 0 a n 0 b n 0 Quocient d'infinits: , quan ambdues successions divergeixen en mòdul cap a infinit ( , ). 4 a n b n 0 ε R a n b n lim a n lim b n 0 0/0 / a = n ( 1)n n 1 a < n b n lim a < n lim b n Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 26 SUCCESSIONS I LÍMITS 5 El nombre e, subsuccessions i Cauchy EN ACABAR SABRÀS Aplicar el teorema de convergència monòtona per determinar límits de successions fitades. Demostrar analíticament la convergència cap al nombre e i la seva condició d'irracional. Extreure subsuccessions convergents mitjançant el teorema de Bolzano-Weierstrass. Utilitzar el criteri de Cauchy per caracteritzar la convergència i la completesa de R.

PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 40 Com podem demostrar que una successió té límit real si no en sabem calcular el valor exacte per avançat? Teorema de convergència monòtona La convergència d'una successió sovint es pot garantir sense conèixer per endavant el valor exacte del seu límit. El teorema de convergència monòtona estableix que tota successió monòtona i fitada és convergent a . Aquest resultat clau és una conseqüència directa de la completesa dels nombres reals (vegeu «Els nombres reals — Axiomàtica i completesa»). TEOREMA DE CONVERGÈNCIA MONÒTONA Sigui una successió de nombres reals. Si és monòtona creixent i fitada superiorment, aleshores és convergent i el seu límit és .

Si és monòtona decreixent i fitada inferiorment, aleshores és convergent i compleix . Vegem la demostració per al cas creixent. Considerem el conjunt no buit d'elements de la successió . Com que està fitada superiorment, l'axioma de completesa assegura que existeix el suprem . Fixem ara un radi arbitrari . Per la caracterització del suprem, ha d'existir com a mínim un terme que satisfaci la desigualtat . Atès que la successió és creixent, per a qualsevol índex posterior es manté que . Això implica directament que , de manera que . Quan una successió monòtona creixent no està fitada superiorment, es compleix immediatament que .

De manera simètrica, una successió decreixent no fitada inferiorment divergeix cap a . COMPROVA-HO 41 Per què una successió creixent que no estigui fitada superiorment divergeix necessàriament a més infinit? R (a ) n n 0 (a ) n lim a = n sup{a : n n N} (a ) n lim a = n inf{a : n n N} A = {a : n n N} (a ) n α = supA R ε > 0 a n 0 α ε < a n 0 α n n 0 α ε < a n 0 a n α < α + ε a n α < ε lim a = n α lim a = n + Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 27 Construcció del nombre e i les successions associades Una de les aplicacions analítiques més rellevants del teorema anterior és la definició formal de la base dels logaritmes naturals.

Considerem les successions reals i donades per: La successió és estrictament creixent, ja que en cada pas sumem un terme estrictament positiu . A més, es troba fitada superiorment observant que per a tenim , d'on obtenim: En ser monòtona i fitada, és convergent a un límit estrictament inferior o igual a 3. D'altra banda, desenvolupem mitjançant la fórmula del binomi de Newton: Cada factor és positiu i creix quan augmentem cap a . Per tant, els termes sumats augmenten individualment i n'afegim un de nou positiu, cosa que demostra que és creixent. Atès que cada factor és menor que 1, és clar que . Per tant, també és fitada i convergent, complint-se .

Per demostrar la igualtat dels dos límits, fixem un enter arbitrari . Per a qualsevol , considerem la suma truncada: Fent el límit quan amb fix, cadascun dels parèntesis tendeix a 1, donant . D'aquí es dedueix que per a tot , i prenent el límit quan obtenim . Tenint ambdues desigualtats, els dos límits coincideixen de manera unívoca. EL NOMBRE E El nombre e és el límit comú de les successions i : COMPROVA-HO 42 Quina relació d'ordre hi ha entre els termes s_n i t_n per a un mateix n > 1? (s ) n n 0 (t ) n n 1 s = n = k=0 n k! 1 1 + 1 + + 2! 1 + 3! 1 + n! 1 t = n 1 + ( n 1 ) n (s ) n 1/(n + 1)! > 0 k 1 k!

2k 1 s n 1 + 1 + + 2 1 + 22 1 + = 2n 1 1 1 + < 1 1/2 1 (1/2)n 1 + 2 = 3 (s ) n t n t = n = k=0 n ( k n ) nk 1 1 1 … 1 k=0 n k! 1 ( n 1 ) ( n 2 ) ( n k 1 ) 1 j/n n n + 1 (t ) n t n s < n 3 (t ) n lim t n lim s n m N n m a = n 1 1 … 1 k=0 m k! 1 ( n 1 ) ( n 2 ) ( n k 1 ) t n n m lim a = n n s m s m lim t n m m lim s m lim t n (s ) n (t ) n e = = n lim k=0 n k! 1 1 + n lim ( n 1 ) n 2,718281828459... Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 28 Fita de l'error i prova de la irracionalitat de e La successió convergeix a amb gran rapidesa.

Podem estimar el residu sumant la cua d'inversos de factorials: Fitant cada denominador de la parèntesi per potències de , obtenim una sèrie geomètrica de raó : Aquesta expressió permet avaluar numèricament el valor de amb la precisió desitjada i, a més, permet demostrar la seva irracionalitat per reducció a l'absurd. DEMOSTRACIÓ DE LA IRRACIONALITAT DE E Suposem que el nombre e és un nombre racional, és a dir, amb positius. Triem un enter . Sabem que: on és clarament un nombre enter positiu. Multipliquem tota l'expressió per : Com que , la fracció és un enter múltiple de , de manera que el membre de l'esquerra és un enter.

Com que també és enter, la diferència hauria de ser forçosament un nombre enter. Ara bé, recuperant la fita del residu: Per tant, seria un enter estrictament comprès entre 0 i 1, cosa impossible. Aquesta contradicció demostra que . Subsuccessions i el teorema de Bolzano-Weierstrass SUBSUCCESSIÓ O SUCCESSIÓ PARCIAL Donada una successió , una subsuccessió o successió parcial és una successió de la forma , on els índexs formen una successió estrictament creixent de nombres naturals: Una propietat fonamental és la preservació del límit: si una successió convergeix cap a un límit (sigui finit o infinit), qualsevol subsuccessió convergeix també cap al mateix límit .

Per tant, si trobem dues subsuccessions amb límits diferents, podem concloure immediatament que la successió original no té límit. (s ) n e R = n e s n 0 < e s = n = k=n+1 k! 1 1 + + + … (n + 1)! 1 ( n + 2 1 (n + 2)(n + 3) 1 ) n + 1 1/(n + 1) e s n = (n + 1)! 1 j=0 ( n + 1 1 ) j 1 + < (n + 1)! 1 ( n 1 ) (n + 1)! 3 e e = p/q p, q N n max{q, 2} e = s + n R = n + n! A n R n A = n n!s n n! n!e = A + n n!R n n! = q p A + n n!R n n q n!/q (n 1)! n!(p/q) A n n!R n 0 < n!R < n n! = (n + 1)! 3 n + 1 3 = 3 3 1 n!R n e / Q (a ) n n 0 (a ) n k k 0 (n ) k n < 0 n < 1 n < 2 …

(a ) n L (a ) n k L Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 29 Tot i que una successió no sigui convergent, si està fitada sempre conté informació convergent al seu interior, tal com garanteix el següent resultat bàsic de l'anàlisi real. TEOREMA DE BOLZANO-WEIERSTRASS Tota successió fitada de nombres reals admet almenys una subsuccessió convergent. La demostració es construeix considerant l'interval tancat que fita la successió: per a tot . Definim el conjunt . Aquest conjunt no és buit (ja que ) i està fitat superiorment per .

Prenent , es comprova que qualsevol entorn conté infinits termes de la successió, la qual cosa permet extreure inductivament una successió parcial que convergeix cap a . COMPROVA-HO 43 Admet la successió a_n = (-1)^n alguna subsuccessió convergent? Què diu Bolzano- Weierstrass en aquest cas? Límit superior i límit inferior Per aprofundir en l'estructura dels límits parcials d'una successió, es defineixen el límit superior i el límit inferior.

Concepte Notació Definició Interpretació com a fita Límit superior Màxim del conjunt de tots els límits de subsuccessions de El valor més gran al voltant del qual s'acumulen infinits termes Límit inferior Mínim del conjunt de tots els límits de subsuccessions de El valor més petit al voltant del qual s'acumulen infinits termes Sempre es compleix la desigualtat bàsica . El resultat central que connecta aquests valors amb la convergència ordinària és el següent: una successió convergeix cap a un límit si i només si el límit inferior i el límit superior coincideixen i són finits: Si la successió no està fitada superiorment es pren per conveni , i si no està fitada inferiorment es defineix .

Successions de Cauchy i completesa mètrica Per comprovar la convergència segons la definició de límit cal proposar prèviament el valor límit . Augustin-Louis Cauchy va formular un criteri intrínsec que prescindeix d'aquest valor extern.

[a, b] a a n b n B = {c R : [c, + ) cont infinits termes de (a )} e ˊ n a B b β = supB (β ε, β + ε) β lim sup a n n (a ) n lim inf a n n (a ) n lim inf a n lim supa n (a ) n L a = n lim n L a = n lim inf n a = n lim sup n L lim supa = n + lim inf a = n L Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 30 SUCCESSIÓ DE CAUCHY Una successió s'anomena successió de Cauchy si per a tot existeix un llindar tal que per a qualsevol parell d'índexs es compleix: Aquesta condició descriu que els termes de la successió es concentren i s'acosten arbitràriament entre si a mesura que avancem cap a l'infinit.

ERROR FREQÜENT Un error molt habitual és creure que si la distància entre termes consecutius tendeix a zero ( ), la successió ja és de Cauchy. Això és fals. Un exemple clar és la successió de les sumes parcials de la sèrie harmònica : la diferència consecutiva tendeix a zero, però la successió divergeix cap a i no és de Cauchy. La definició de Cauchy exigeix el control sobre tots els parells d'índexs , no només els veïns immediats. En un cos ordenat arquimedià general, no tota successió de Cauchy té límit dins del mateix cos (per exemple, a la successió que aproxima el nombre és de Cauchy però no té límit racional).

L'equivalència entre convergència i la propietat de Cauchy és precisa i exclusiva dels espais complets. CARACTERITZACIÓ EQUIVALENT DE LA COMPLETESA (R18') En el cos dels nombres reals, l'axioma del suprem (R18) és lògicament equivalent a l'afirmació coneguda com a axioma de completesa de Cauchy (R18'): tota successió de Cauchy de nombres reals és convergent. (a ) n n 0 ε > 0 n 0 N m, n n 0 a m a < n ε Tota successió convergent és de Cauchy: Si , donat existeix tal que per a .

Per tant, aplicant la desigualtat triangular: 1 lim a = n L ε > 0 n 0 a n L < ε/2 n n 0 a m a n a m L + L a < n + 2 ε = 2 ε ε Tota successió de Cauchy està fitada: Prenent , existeix un terme de referència a partir del qual tots disten menys d'1; els termes anteriors són finits en nombre, de manera que el màxim absolut de les seves fites existeix. 2 ε = 1 a n 0 Tota successió de Cauchy a R és convergent: En ser fitada, per Bolzano-Weierstrass conté una subsuccessió convergent . Aleshores, la proximitat dels termes entre si (Cauchy) combinada amb la proximitat de la parcial cap a obliga a tota la successió a convergir cap al mateix punt .

3 a nk α α (a ) n α lim a n+1 a = n 0 a = n k=1 n k 1 a n+1 a = n 1/(n + 1) + m, n n 0 Q (s ) n e Apunts de Càlcul en una Variable: Teoria, Teoremes i Formulari 31 PROCÉS Cadena d'implicacions de completesa a la recta real 1 Axioma del suprem Propietat fonamental R18 de completesa en els reals 2 Convergència monòtona Tota successió creixent i fitada superiorment convergeix 3 Bolzano- Weierstrass Tota successió fitada admet una parcial convergent 4 Complets segons Cauchy Tota successió de Cauchy a R té límit real (R18') IDEES CLAU Tota successió de nombres reals monòtona i fitada és convergent cap al seu suprem (si creix) o cap al seu ínfim (si decreix). El nombre e…