Pràctica de laboratori: Fenòmens ondulatoris, interferència i xarxes de difracció

Context

Aquesta sessió de laboratori té com a objectiu l'anàlisi de la propagació ondulatòria i els fenòmens d'interferència i difracció tant en el camp acústic (ultrasons de 40 kHz) com en l'òptic (llum làser). S'empren les relacions fonamentals d'ona plana $v = \lambda f$ i la condició de màxims per a la doble escletxa o xarxa de difracció:

$$d \sin \theta = \frac{dx}{\sqrt{x^2 + D^2}} = n\lambda$$

a partir de la qual la posició del primer màxim ($n = 1$) o la separació entre ranures $d$ es relaciona amb la distància a la pantalla $D$ mitjançant:

$$\Delta x = \frac{\lambda D}{\sqrt{d^2 - \lambda^2}} \iff d = \frac{\lambda \sqrt{\Delta x^2 + D^2}}{\Delta x}$$

Exercici previ 2.1. Determinació de la velocitat del so

Calculeu la velocitat de propagació d'una ona acústica si sabem que la seva freqüència d'emissió és de $f = 40\text{ kHz}$ i que presenta una longitud d'ona de $\lambda = 8{,}5\text{ mm}$.

Context

Aquesta sessió de laboratori té com a objectiu l'anàlisi de la propagació ondulatòria i els fenòmens d'interferència i difracció tant en el camp acústic (ultrasons de 40 kHz) com en l'òptic (llum làser). S'empren les relacions fonamentals d'ona plana $v = \lambda f$ i la condició de màxims per a la doble escletxa o xarxa de difracció:

$$d \sin \theta = \frac{dx}{\sqrt{x^2 + D^2}} = n\lambda$$

a partir de la qual la posició del primer màxim ($n = 1$) o la separació entre ranures $d$ es relaciona amb la distància a la pantalla $D$ mitjançant:

$$\Delta x = \frac{\lambda D}{\sqrt{d^2 - \lambda^2}} \iff d = \frac{\lambda \sqrt{\Delta x^2 + D^2}}{\Delta x}$$

2. Exercici previ 2.2. Experiment de la doble escletxa de Young

En un assaig de doble escletxa de Young amb un emissor d'ultrasons de freqüència $40\text{ kHz}$ i longitud d'ona $\lambda = 8{,}5\text{ mm}$, es detecten dos màxims d'interferència d'ordre $1$ distribuïts simètricament a banda i banda del màxim central a una distància $x_1 = x_2 = 6\text{ cm}$. La distància entre el pla de les escletxes i la línia de mesura del receptor és $D = 20\text{ cm}$.

Determineu quina és la separació $d$ existent entre els centres de les dues escletxes.

3. Exercici previ 2.3. Mesura de la distància entre les pistes d'un CD

S'utilitza la superfície d'un disc compacte (CD) com a xarxa de difracció per transmissió, fent-hi incidir un feix làser de longitud d'ona $\lambda = 670\text{ nm}$. Sobre una pantalla situada a una distància $D = 15{,}5\text{ cm}$ del disc, s'observa el màxim central acompanyat de dos màxims laterals de primer ordre separats d'aquest una distància $\Delta x = 7{,}2\text{ cm}$.

Calculeu l'espaiat o distància $d$ existent entre dues pistes consecutives del CD.

Procediment 3.3. Determinació de la velocitat del so

A partir del muntatge amb emissor i receptor d'ultrasons alineats sobre el regle graduat:

Procediment 3.2. Determinació de la freqüència de treball

Seguint el procediment experimental descrit al guió de laboratori:

a.

Connecteu el generador de funcions amb el connector en T a l'oscil·loscopi i ajusteu un senyal sinusoïdal d'uns 40 kHz amb una tensió pic a pic de $V_{pp} = 20\text{ V}$. Per què és crucial mantenir fix aquest valor de tensió durant la resta de l'assaig?

b.

Col·loqueu l'emissor davant del receptor a 4 cm i ajusteu lleugerament la freqüència del generador fins a trobar la ressonància (màxima amplitud a l'oscil·loscopi). Registreu aquest valor de freqüència de treball $f$.

Procediment 3.3. Determinació de la velocitat del so

A partir del muntatge amb emissor i receptor d'ultrasons alineats sobre el regle graduat:

a.

Expliqueu el mètode utilitzat per mesurar la longitud d'ona $\lambda$ mitjançant la visualització simultània dels senyals de l'emissor i del receptor a l'oscil·loscopi en mode dual.

b.

Completeu la taula de registre anotant la posició inicial en fase $x_0$, la posició final després de $n$ cicles en fase $x_n$ (amb $10 < n < 20$), i deduïu el valor experimental de la velocitat del so $v$ mitjançant $v = \lambda f$:

Paràmetre · Valor experimental

Posició inicial, $x_0$

Posició final, $x_n$

Nombre de cicles de fase, $n$

Longitud d'ona calculada, $\lambda = \frac{|x_n - x_0|}{n}$

Velocitat del so, $v = \lambda f$

Procediment 3.3. Determinació de la velocitat del so

A partir del muntatge amb emissor i receptor d'ultrasons alineats sobre el regle graduat:

Procediment 3.4. Doble escletxa de Young amb ultrasons

Disposeu el sistema format per l'emissor i la doble escletxa segons la configuració geomètrica de la figura:

a)

Mesureu directament amb el regle la distància física $d^{\text{mes}}$ entre els centres de les dues ranures i la distància $D$ des de les escletxes fins al regle de desplaçament del receptor. Indiqueu els valors típics mesurats:

b)

Desplaçant el receptor lateralment en passos de $0{,}5\text{ cm}$ i mesurant el voltatge eficaç $V_{\text{ef}}$ al multímetre, determineu les coordenades $x_1$ i $x_2$ dels dos primers màxims secundaris i calculeu $\Delta x = \frac{|x_2-x_1|}{2}$.

c)

Calculeu la separació entre escletxes $d^{\text{cal}}$ mitjançant la fórmula teòrica emprant la $\lambda$ obtinguda anteriorment ($8{,}5\text{ mm}$): $$d^{\text{cal}} = \frac{\lambda\sqrt{\Delta x^2 + D^2}}{\Delta x}$$

Procediment 3.5. Mesura de la longitud d'ona d'un làser amb xarxa de difracció

Es munta una xarxa de difracció plana transmissiva sobre el suport vertical sota un feix làser vermell:

a)

Sabent que la densitat de ratlles de la xarxa és de $N_{\text{lín}} = 500\text{ línies/mm}$, calculeu la distància entre escletxes consecutives $d$.

b)

Es mesura la distància vertical des de la xarxa fins a la base, $D = 15{,}0\text{ cm}$, així com la posició dels màxims secundaris d'ordre 1 respecte al punt central, resultant $\Delta x = 5{,}2\text{ cm}$. Calculeu el valor de la longitud d'ona $\lambda$ del làser: $$\lambda = \frac{d\Delta x}{\sqrt{\Delta x^2 + D^2}}$$

Procediment 3.6. Mesura de la distància entre les pistes d'un CD

Se substitueix la xarxa de difracció per un disc compacte (CD) al qual se li ha retirat la capa metàl·lica reflectant, il·luminant-lo normalment amb el làser:

a) & b)

Fixant $D = 15{,}0\text{ cm}$ i mesurant una separació mitjana del primer màxim de $\Delta x = 6{,}7\text{ cm}$, calculeu la distància mitjana entre pistes $d^{\text{CD}}$ utilitzant el valor de $\lambda$ obtingut anteriorment ($655\text{ nm}$): $$d^{\text{CD}} = \frac{\lambda\sqrt{\Delta x^2 + D^2}}{\Delta x}$$