Circuitos Equivalentes y Fuentes: Formulario y Teoría

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APUNTES COMPONENTES Y CIRCUITOS ELECTRÓNICOS Grado en Ingeniería Electrónica de Telecomunicación Universidad Politécnica de Cataluña AprenAI 2026-2027 Repasa transformación de fuentes, asociación de resistores y generadores y el teorema de Kennelly (estrella-triángulo) para Componentes y Circuitos.

APREN.AI Índice 1 Concepto de equivalencia y transformación de fuentes Principios de la equivalencia en redes de dos terminales Conversión entre fuentes reales de tensión y de corriente 2 Asociación de componentes: resistores y generadores Asociación de resistencias en serie y en paralelo Asociación de fuentes independientes de tensión Asociación de fuentes independientes de corriente 3 Transformación Estrella-Triángulo (Teorema de Kennelly) Equivalencia de redes de tres terminales Formulación matemática de la conversión 4 Formulario para repasar Transformación de fuentes reales Asociación de resistencias Asociación de fuentes independientes Transformación Estrella – Triángulo (Teorema de Kennelly) Errores típicos Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Circuitos Equivalentes y Fuentes: Formulario y Teoría 1 1 Concepto de equivalencia y transformación de fuentes AL ACABAR SABRÁS Definir el criterio electrotécnico de equivalencia entre dipolos. Calcular los parámetros del modelo serie o paralelo en transformaciones de fuentes. Identificar la correcta disposición topológica de la resistencia interna en cada modelo. PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Puede una fuente que suministra corriente comportarse exactamente igual que una batería de voltaje fijo ante cualquier carga?

Principios de la equivalencia en redes de dos terminales En el análisis de circuitos, es fundamental distinguir con precisión entre dos redes que resultan idénticas internamente y dos redes que se comportan de forma equivalente. Dos circuitos son equivalentes respecto a sus terminales externos cuando comparten exactamente la misma relación entre tensión y corriente en dichos extremos. DEFINICIÓN Dos dipolos son equivalentes si, al someterlos a una misma diferencia de potencial entre sus bornes, absorben o entregan idéntica intensidad. De manera recíproca, al conectarse a una red externa arbitraria, producen la misma caída de tensión y suministran exactamente la misma corriente.

Por tanto, una equivalencia no implica igualdad de estructura interna, ni la disipación de la misma potencia global dentro del dipolo, sino una perfecta coincidencia de efectos vistos desde el exterior. COMPRUEBA 2 ¿Significa la equivalencia entre dos dipolos que sus componentes internos disipan idéntica energía? Conversión entre fuentes reales de tensión y de corriente Una fuente de tensión real puede modelarse como una fuente ideal de tensión conectada en serie con una resistencia interna . Por otro lado, una fuente real de corriente se constituye mediante un generador ideal de corriente en paralelo con una resistencia .

e R s j R p Circuitos Equivalentes y Fuentes: Formulario y Teoría 2 Esquema de transformación recíproca entre fuentes de tensión y corriente. Ambos esquemas representan exactamente el mismo comportamiento en sus terminales externos siempre que se verifiquen dos relaciones cuantitativas directas: El valor óhmico de ambas resistencias coincide: .

La magnitud del voltaje y de la corriente se vinculan mediante la ley de Ohm: A partir de esta segunda condición, la conversión en sentido inverso para determinar la corriente del generador en paralelo adopta la forma: ERROR FRECUENTE Un error reiterado en exámenes consiste en olvidar que la fuente equivalente de tensión siempre lleva su resistencia en serie, mientras que el generador equivalente de corriente requiere su resistencia en paralelo. Si se ubica la resistencia en la configuración topológica contraria, las ecuaciones de nudo y malla resultantes arrojarán valores completamente incorrectos.

R = s R p e = R × p j (1) j = R s e (2) Circuitos Equivalentes y Fuentes: Formulario y Teoría 3 PROCESO Procedimiento de conversión de tensión a corriente 1 Identificar parámetros Extraer la fem e y la resistencia serie Rs 2 Fijar resis tencia paralela Establecer Rp exacta mente igual a Rs 3 Calcular corriente j Determinar j mediante el cociente e / Rs 4 Disponer en paralelo Conectar el generador ideal en paralelo con Rp IDEAS CLAVE Dos circuitos son equivalentes si mantienen la misma relación tensión-corriente en sus bornes externos. La equivalencia garantiza efectos eléctricos idénticos hacia cualquier circuito externo conectado.

Para transformar una fuente real de tensión a corriente, el valor de la resistencia no cambia: . El parámetro de excitación del generador equivalente responde a la relación de Ohm: o . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 3. ¿Qué par de condiciones deben cumplirse para convertir una fuente ideal de tensión con resistencia serie en una fuente de corriente en paralelo? 4. ¿Por qué la igualdad de dos circuitos no equivale estrictamente a su equivalencia? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 5. ¿Qué condición garantiza la equivalencia entre dos redes de dos terminales? 6. En la transformación de fuentes, ¿cómo se conecta la resistencia en la fuente de corriente?

R = s R p e = R × p j j = e/R s e R s Contar con idéntico número de mallas a) Disipar idéntica potencia en cada componente b) Tener la misma resistencia interna únicamente c) Misma relación tensión-corriente en bornes d) En serie con el generador a) En paralelo con el generador b) En triángulo con los bornes c) Aislada de la referencia d) Circuitos Equivalentes y Fuentes: Formulario y Teoría 4 7. Si una fuente real tiene e = 12 V y Rs = 4 Ω, ¿cuánto vale su fuente de corriente equivalente? 8. ¿Cuál es la expresión que calcula la tensión equivalente e conociendo j y Rp?

2 Asociación de componentes: resistores y generadores AL ACABAR SABRÁS Calcular la resistencia equivalente de agrupaciones serie, paralelo y combinaciones elementales. Aplicar el concepto de conductancia en la resolución de agrupaciones paralelas. Determinar la validez y el resultado de la conexión de generadores en serie y paralelo. PIÉNSALO ANTES DE LEER 9 ¿Por qué no es posible conectar dos fuentes ideales de tensión de distinto valor en paralelo? Asociación de resistencias en serie y en paralelo La simplificación de agrupaciones resistivas permite consolidar múltiples ramas en un único parámetro resistivo de valor , preservando las variables en los terminales del dipolo.

j = 3 A en serie con 4 Ω a) j = 8 A en paralelo con 16 Ω b) j = 3 A en paralelo con 4 Ω c) j = 48 A en paralelo con 4 Ω d) e = Rp · j a) e = Rp + j b) e = Rp / j c) e = j / Rp d) R eq Circuitos Equivalentes y Fuentes: Formulario y Teoría 5 Esquema de asociación serie de resistencias con corriente idéntica. En una conexión de resistores en serie, la corriente que circula por cada elemento es idéntica. Por la segunda ley de Kirchhoff, la tensión total es la suma de las tensiones parciales, obteniéndose: Esquema de resistores en paralelo y formulación por conductancias.

N R = eq R k=1 N k (3) Circuitos Equivalentes y Fuentes: Formulario y Teoría 6 En una agrupación de resistores en paralelo, la tensión aplicada a todos los terminales es constante, mientras que la corriente total se ramifica. El cálculo se formula de modo natural mediante la conductancia : De forma directa para la resistencia equivalente: CASO PARTICULAR: DOS RESISTENCIAS EN PARALELO Cuando se asocian únicamente dos resistencias ( y ) en paralelo, la suma de inversos se simplifica como el producto dividido entre la suma: COMPRUEBA 10 ¿Cómo se obtiene rápidamente la resistencia equivalente de dos elementos en paralelo sin sumar inversos uno a uno?

Asociación de fuentes independientes de tensión Para agrupar fuentes independientes de tensión, la configuración determina de manera estricta la viabilidad y el valor final del generador sustituto: Esquema de fuentes de tensión asociadas en serie. Conexión en serie: Al circular una corriente común a lo largo de la rama, la fuente equivalente resultante es la suma algebraica de los voltajes individuales: (tomando en cuenta la polaridad de cada fuente dentro del trayecto).

G = k R k 1 G = eq = R eq 1 G k=1 N k (4) R = eq k=1 N R k 1 1 (5) R 1 R 2 R = eq R + R 1 2 R × R 1 2 (6) e eq e = eq e k=1 N k (7) Circuitos Equivalentes y Fuentes: Formulario y Teoría 7 Esquema de fuentes de tensión idénticas conectadas en paralelo. Conexión en paralelo: La tensión entre los nudos comunes debe ser estrictamente idéntica para evitar contradicciones físicas.

Por tanto, todas las fuentes conectadas en paralelo han de tener el mismo valor , resultando: Asociación de fuentes independientes de corriente El comportamiento de los generadores ideales de corriente sigue una pauta dual a la descrita para las fuentes de tensión: Esquema de fuentes de corriente de idéntico valor en serie. Conexión en serie: Para no vulnerar la continuidad de la corriente en la rama, todas las fuentes en serie deben suministrar idéntica intensidad. La fuente resultante tendrá dicho valor común: e k e = eq e k (8) j = eq j k (9) Circuitos Equivalentes y Fuentes: Formulario y Teoría 8 Esquema de asociación de fuentes de corriente en paralelo.

Conexión en paralelo: Al converger sobre un mismo par de nudos, las intensidades se combinan directamente según el principio de conservación de la carga: Elemento Asociación en Serie Asociación en Paralelo Resistencia Fuente de tensión (suma algebraica) Requiere idénticos: Fuente de corriente Requiere idénticos: (suma algebraica) ERROR FRECUENTE Conectar idealmente en paralelo fuentes de tensión de distinto valor o en serie fuentes de corriente con diferente magnitud constituye una inconsistencia física irresoluble con componentes ideales. En los ejercicios, nunca intentes sumar en paralelo tensiones distintas: antes debes transformar cada rama mediante su resistencia interna.

ESQUEMA Reglas de combinación de fuentes ideales j = eq j k=1 N k (10) R = eq R k R = eq 1 R k 1 e = eq e k e k e = eq e k j k j = eq j k j = eq j k Fuentes de tensión Comportamiento según conexión Tensión en serie Suma algebraica de voltajes Tensión en paralelo Exige voltajes idénticos Fuentes de corriente Comportamiento según conexión Corriente en paralelo Suma algebraica de corrientes Corriente en serie Exige intensidades idénticas Circuitos Equivalentes y Fuentes: Formulario y Teoría 9 IDEAS CLAVE Las resistencias en serie se suman de forma directa, mientras que en paralelo se suman algebraicamente sus conductancias.

Para dos resistencias en paralelo, la relación equivalente se calcula como producto dividido por suma. Las fuentes de tensión en serie suman sus voltajes; en paralelo exigen tener idéntico potencial. Las fuentes de corriente en paralelo suman sus intensidades; en serie requieren tener obligatoriamente el mismo valor. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 11. ¿Qué restricción fundamental presentan las fuentes ideales de corriente dispuestas en serie? 12. ¿Cuál es la conductancia equivalente de tres resistores conectados en paralelo con conductancias , y ? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 13. ¿Cuál es la resistencia equivalente de dos resistores de 6 Ω en paralelo? 14.

Al asociar fuentes de tensión en serie, ¿qué operación determina la fuente equivalente? 15. ¿Qué exigencia teórica tienen las fuentes de tensión asociadas en paralelo? 16.

En una conexión en paralelo de fuentes de corriente, la corriente total resultante es: G eq G 1 G 2 G 3 1,5 Ω a) 36 Ω b) 3 Ω c) 12 Ω d) El producto de tensiones a) El valor de la mayor b) La suma algebraica de valores c) La media armónica d) Poseer exactamente idéntico voltaje a) Suministrar la misma corriente b) Tener polaridades opuestas c) Tener resistencias nulas distintas d) La suma de intensidades a) El cociente de intensidades b) El valor común obligatorio c) Cero en todo momento d) Circuitos Equivalentes y Fuentes: Formulario y Teoría 10 3 Transformación Estrella-Triángulo (Teorema de Kennelly) AL ACABAR SABRÁS Identificar configuraciones de tres terminales en estrella (T) y en triángulo (π).

Aplicar el teorema de Kennelly para transformar redes estrella a triángulo y viceversa. Calcular rápidamente valores en redes equilibradas usando el factor multiplicador o divisor 3. PIÉNSALO ANTES DE LEER 17 ¿Cómo se puede simplificar un circuito de resistencias que no están conectadas ni en serie ni en paralelo? Equivalencia de redes de tres terminales Existen configuraciones de tres terminales que no se encuentran en serie simple ni en paralelo simple. Para resolver estas redes se emplea la transformación entre una red en estrella (también llamada configuración en T) y una red en triángulo (o configuración en π), fundamentada en el teorema de Kennelly.

Esquema de las topologías en estrella (o T) y triángulo (o π). La condición básica de equivalencia establece que la resistencia medida entre cualquiera de los tres pares de terminales externos (1-2, 2-3 y 3-1) debe ser rigurosamente idéntica en ambos circuitos. COMPRUEBA 18 ¿Cuál es el criterio físico que garantiza la equivalencia entre las redes estrella y triángulo? Formulación matemática de la conversión Sean los terminales exteriores indexados como 1, 2 y 3. En la estrella, las resistencias se nombran habitualmente como , y (conectadas al centro común). En el triángulo, las resistencias se denotan , y ubicadas frente a los nodos o entre ramas.

R 1 R 2 R 3 R A R B R C Circuitos Equivalentes y Fuentes: Formulario y Teoría 11 Para obtener los elementos del triángulo a partir de los de la estrella, se calcula la suma de todos los productos dobles dividido por la resistencia opuesta de la estrella: Transformación Caso General Caso Simétrico (resistencias iguales) Estrella a Triángulo ( ) Si , entonces Triángulo a Estrella ( ) Si , entonces PARA RECORDARLO En redes equilibradas donde todos los resistores son iguales, la resistencia de la forma en triángulo es siempre el triple que la de la estrella ( ). De manera inversa, pasar de triángulo a estrella consiste en dividir el valor entre 3 ( ).

ERROR FRECUENTE Al convertir de estrella a triángulo en un circuito equilibrado, muchos estudiantes dividen erróneamente entre 3 en lugar de multiplicar. Recuerda siempre que el triángulo conecta terminales exteriores directamente en anillo, por lo que su valor individual equilibrado debe ser mayor: .

PROCESO Conversión simétrica entre estrella y triángulo 1 Red en es trella (Y) Tres ramas con resis tencia RY idéntica 2 Multiplicar por 3 R triángulo = 3 · RY para pasar a triángulo 3 Red en triángulo (Δ) Tres ramas con resis tencia R triángulo 4 Dividir por 3 RY = R triángulo / 3 para volver a estrella R = A R 1 R × R + R × R + R × R 1 2 2 3 3 1 (11) R = B R 2 R × R + R × R + R × R 1 2 2 3 3 1 (12) R = C R 3 R × R + R × R + R × R 1 2 2 3 3 1 (13) Y R = tri R opuesta R R j k R = 1 R = 2 R 3 R = 3 × R Y Y R = Y R R adyacentes R = A R = B R C R = Y 3 R R = 3R Y R = Y R /3 R = A 3R 1 Circuitos Equivalentes y Fuentes: Formulario y Teoría 12 IDEAS CLAVE El teorema de Kennelly permite transformar topologías en T (estrella) a esquemas en π (triángulo) y viceversa.

La condición de equivalencia impone resistencias idénticas medidas entre cada par de terminales homólogos. En redes simétricas, cada resistencia del triángulo equivale al triple de la resistencia de la estrella: . Para pasar de triángulo simétrico a estrella, el valor unitario se divide entre tres: . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 19. Si una red en estrella simétrica tiene tres resistencias de 10 Ω cada una, ¿cuánto vale cada resistor del triángulo equivalente? 20. Si un circuito en triángulo equilibrado con resistencias de 45 Ω se transforma a estrella, ¿cuál es su valor resultante? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 21.

¿Qué otro nombre recibe la conexión en estrella en topología de circuitos? 22. ¿Qué relación guardan R triángulo y R estrella si todos los resistores son idénticos? 23. Al convertir un triángulo con RA = RB = RC = 18 Ω a estrella, ¿cuánto vale R1? 24. ¿Qué describe el numerador de la conversión general de estrella a triángulo?

R = 3R Y R = Y R /3 Red en T a) Red en π b) Red en cascada c) Red en puente cerrado d) R triángulo = 9 · R estrella a) R triángulo = R estrella / 3 b) R triángulo = R estrella c) R triángulo = 3 · R estrella d) 2 Ω a) 54 Ω b) 6 Ω c) 9 Ω d) La diferencia de resistencias a) El producto triple de todas b) La suma de los productos dobles c) La suma de resistencias d) Circuitos Equivalentes y Fuentes: Formulario y Teoría 13 4 Formulario para repasar Transformación de fuentes reales Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : fem de la fuente de tensión ideal. : resistencia interna en serie. : corriente de la fuente ideal. : resistencia interna en paralelo.

Conversión recíproca entre un modelo real serie (tensión) y un modelo paralelo (corriente). Asociación de resistencias Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : resistencia total equivalente. : valor de cada resistencia. Resistencias conectadas en serie (misma corriente). : conductancia individual. : conductancia equivalente. Resistencias conectadas en paralelo (misma tensión). : valores resistivos. Caso simplificado de exactamente dos resistencias en paralelo. Asociación de fuentes independientes Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : tensión neta equivalente. : tensión de cada fuente (con signo). Fuentes de tensión conectadas en serie.

: tensión obligatoriamente común. Fuentes de tensión en paralelo (deben ser de idéntico valor). R = s Rp e = R p j j = R s e e R s j R p R = eq R k=1 N k R eq R k G = eq G k=1 N k R = eq k=1 N R k 1 1 G = k 1/R k G eq R = eq R +R 1 2 R R 1 2 R , R 1 2 e = eq e k=1 N k e eq e k e = eq e k e k Circuitos Equivalentes y Fuentes: Formulario y Teoría 14 Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : intensidad idéntica obligatoria. Fuentes de corriente en serie (deben ser del mismo valor). : corriente total resultante. : intensidad de cada rama (con signo). Fuentes de corriente en paralelo.

Transformación Estrella – Triángulo (Teorema de Kennelly) Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : resistencia de rama en triángulo. : resistencias de la estrella. : resistencia central enfrentada a la rama calculada. Conversión general de red en estrella (T) a triángulo (π). : resistencia de una rama en estrella. : producto de las dos resistencias contiguas del triángulo. Conversión general de red en triángulo (π) a estrella (T). : valor de cada resistencia en triángulo. : valor común en estrella. Conversión simétrica estrella triángulo ( ). : valor simétrico de la estrella. : valor común del triángulo. Conversión simétrica triángulo estrella ( ).

Errores típicos Asociar en paralelo fuentes ideales de tensión con distinta fem o en serie fuentes ideales de corriente con diferente valor. Colocar la resistencia interna en serie al transformar a fuente de corriente, o en paralelo al transformar a fuente de tensión. Confundir el factor 3 en redes equilibradas: al pasar a triángulo la resistencia aumenta ( ); al pasar a estrella disminuye ( ).

j = eq j k j k j = eq j k=1 N k j eq j k R = R opuesta R R +R R +R R 1 2 2 3 3 1 R R , R , R 1 2 3 R opuesta R = Y R Radyacentes R Y R adyacentes R = 3 R Y R R Y R = 1 R = 2 R 3 R = Y 3 R R Y R R = A R = B R C 3R Y R /3 Circuitos Equivalentes y Fuentes: Formulario y Teoría 15 Soluciones de las preguntas de repaso 1. Sí, si se añade una resistencia en paralelo de valor idéntico a la que iría en serie con la batería, manteniendo la relación e = Rp · j. 2. No; la equivalencia garantiza únicamente idéntica relación de tensión y corriente en sus terminales externos frente a cualquier circuito conectado, sin importar los procesos energéticos internos. 3.

La resistencia en paralelo debe satisfacer y la intensidad entregada por el generador ideal debe valer . 4. Porque dos redes equivalentes pueden poseer arquitecturas internas y repartos de potencia internos totalmente distintos, coincidiendo únicamente en sus terminales externos. 5. d) Misma relación tensión-corriente en bornes. La equivalencia exige exactamente la misma curva o respuesta de tensión e intensidad desde sus terminales externos. 6. b) En paralelo con el generador. El modelo equivalente de Norton o fuente de corriente ubica la resistencia en paralelo con el generador ideal. 7. c) j = 3 A en paralelo con 4 Ω.

La resistencia se conserva (Rp = 4 Ω) y la corriente se calcula como j = e / Rs = 12 / 4 = 3 A. 8. a) e = Rp · j. La tensión del modelo serie resulta directamente del producto entre la corriente del modelo paralelo y la resistencia Rp. 9. Porque se impondrían dos diferencias de potencial distintas sobre los mismos dos nudos, violando la ley de tensiones de Kirchhoff. 10. Multiplicando ambos valores resistivos y dividiendo el resultado por su suma directa: Req = (R1 · R2) / (R1 + R2). 11. Deben poseer obligatoriamente la misma intensidad para no incumplir la ley de Kirchhoff de corriente en esa rama. 12. Es simplemente su suma directa: . 13. c) 3 Ω.

Aplicando el producto dividido por la suma: (6 · 6) / (6 + 6) = 36 / 12 = 3 Ω. 14. c) La suma algebraica de valores. Las tensiones en serie se suman algebraicamente teniendo en cuenta el sentido de sus polaridades. 15. a) Poseer exactamente idéntico voltaje. Dos fuentes de tensión ideales conectadas en paralelo deben presentar el mismo voltaje para evitar un cortocircuito ideal. 16. a) La suma de intensidades. Las fuentes de corriente en paralelo combinan linealmente sus corrientes según la ley de Kirchhoff de corriente. 17. Mediante la transformación estrella-triángulo (Kennelly), que redistribuye los nudos manteniendo inalteradas las relaciones externas. 18.

Presentar exactamente la misma resistencia equivalente vista entre cada par de terminales homólogos al dejar el tercero abierto. 19. Vale el triple, es decir, . 20. Se divide entre tres, resultando . 21. a) Red en T. La estrella de tres terminales es topológicamente equivalente a la configuración en T. 22. d) R triángulo = 3 · R estrella. En circuitos simétricos, la resistencia del triángulo es exactamente tres veces la resistencia de la estrella. R = p R s j = e/R s j k G = eq G + 1 G + 2 G 3 R = 3 × 10 = 30 Ω R = Y 45/3 = 15 Ω Circuitos Equivalentes y Fuentes: Formulario y Teoría 16 23. c) 6 Ω. En el caso equilibrado, RY = R triángulo / 3 = 18 / 3 = 6 Ω. 24.

c) La suma de los productos dobles. El numerador general es la suma de los productos tomados de dos en dos: R1·R2 + R2·R3 + R3·R1. Circuitos Equivalentes y Fuentes: Formulario y Teoría 17