Condensadores en Régimen Transitorio: Carga y Conmutación

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APUNTES ANÁLISIS DE CIRCUITOS Grado en Ingeniería Electrónica de Telecomunicación Universidad Politécnica de Cataluña AprenAI 2026-2027 Resumen de transitorios en circuitos RC: equivalente de Norton, ecuación diferencial, constante de tiempo tau y fórmula general de carga y descarga.

APREN.AI Índice 1 Respuesta dinámica del condensador y circuito equivalente de Norton Modelado de un circuito lineal conectado a un condensador Ecuación diferencial y resolución Condiciones dinámicas y cálculo de la constante de integración 2 Fórmula general de conmutación y cálculo por intervalos Definición y propiedades del condensador ideal Fórmula de carga y descarga de primer orden Metodología paso a paso tras conmutaciones sucesivas Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones. Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante.

Condensadores en Régimen Transitorio: Carga y Conmutación 1 1 Respuesta dinámica del condensador y circuito equivalente de Norton AL ACABAR SABRÁS Obtener la ecuación diferencial de un circuito RC a partir de su equivalente de Norton. Calcular la tensión transitoria del condensador a partir de su condición inicial. PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Por qué un condensador conectado a una fuente de corriente continua no conduce corriente indefinidamente?

Modelado de un circuito lineal conectado a un condensador Un circuito lineal conectado a un condensador puede simplificarse desde sus terminales mediante su equivalente de Norton, formado por una fuente de corriente en paralelo junto a una resistencia . Esquema de simplificación de circuito lineal a equivalente Norton con condensador. Ecuación diferencial y resolución Al aplicar la ley de corrientes de Kirchhoff (KCL) en el nodo superior del condensador, se obtiene: Reordenando los términos para expresarla como una ecuación diferencial lineal de primer orden: Esta expresión corresponde al tipo estándar , donde los coeficientes son , y .

Su solución temporal general responde a la forma: I N R N I N R N v C C = dt dv C 0 R C + N dt dv C v = C R I N N a + 0 dt dv C a v = 1 C b a = 0 R C N a = 1 1 b = R I N N v (t) = C Ae + t a 0 a 1 = a 1 b Ae + R C N t R I N N Condensadores en Régimen Transitorio: Carga y Conmutación 2 DEFINICIÓN En condiciones estacionarias de corriente continua (DC), la tensión ya no varía con el tiempo: . Por consiguiente, la corriente en el condensador se anula ( ), comportándose como un circuito abierto. Condiciones dinámicas y cálculo de la constante de integración Esquema del circuito equivalente con interruptor de conexión en t = 0.

La tensión en un condensador es una magnitud continua que no puede cambiar de manera instantánea, por lo que . Para un condensador inicialmente descargado en , se cumple . Sustituyendo en la solución temporal, determinamos el valor de la constante : Sustituyendo la constante hallada en la ecuación general, la evolución de la tensión resulta: ERROR FRECUENTE Olvidar que la tensión en bornes de un condensador es forzosamente continua ante conmutaciones. Nunca supongas una discontinuidad de tensión entre y a menos que existan impulsos de corriente infinitos. COMPRUEBA 2 ¿Por qué la corriente que atraviesa un condensador es nula cuando se alcanza el régimen estacionario de continua?

= dt dv C 0 i = C 0 v (0 ) = C v (0 ) C + t = 0 v (0 ) = C 0 t = 0 A A = v (0) C R I = N N R I N N v (t) = C R I + N N (v (0) C R I )e = N N R C N t R I N N R I e N N R C N t t = 0 t = 0+ Condensadores en Régimen Transitorio: Carga y Conmutación 3 PROCESO Resolución analítica de la tensión en el condensador 1 Equiva lente Norton Reducir la red a fuente de corriente y resis tencia en paralelo. 2 Plantea miento KCL Sumar corrientes en el nodo para obtener la ecuación diferencial. 3 Condición inicial Determinar vC(0) apli cando continuidad en tre 0- y 0+. 4 Solución temporal Obtener la función ex ponencial de evolu ción de la tensión.

IDEAS CLAVE Cualquier red lineal conectada a un condensador puede simplificarse con un circuito equivalente de Norton en paralelo. La ecuación de nodo del circuito produce una ecuación diferencial lineal de primer orden para la tensión. En régimen permanente de corriente continua, la derivada temporal se anula y el condensador no conduce corriente. La continuidad de la tensión en el condensador fija el valor de la constante de integración para instantes posteriores a la conmutación. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 3. ¿Cuál es la expresión de la ecuación diferencial resultante al aplicar KCL al condensador con el equivalente Norton? 4.

Si un condensador está inicialmente descargado en , ¿cuánto vale la constante de integración ? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 5. ¿Qué comportamiento presenta un condensador ideal en régimen estacionario de corriente continua? 6. ¿Qué propiedad asegura que la tensión sea igual justo antes y justo después de un cambio? t = 0 A Disipa energía en forma de calor a) Actúa como circuito abierto b) Actúa como cortocircuito permanente c) Duplica la tensión aplicada d) La linealidad de la resistencia a) La continuidad de la tensión b) La ley de Ohm estricta c) La resistencia equivalente nula d) Condensadores en Régimen Transitorio: Carga y Conmutación 4 7.

¿Cuál es el coeficiente independiente del tiempo b en la forma estándar de la ecuación diferencial? 8. ¿Cómo se define la constante de integración A según la condición inicial? 2 Fórmula general de conmutación y cálculo por intervalos AL ACABAR SABRÁS Aplicar la fórmula general de carga y descarga a circuitos de primer orden con condensadores. Resolver la respuesta temporal de un condensador ante maniobras con interruptores y conmutadores. PIÉNSALO ANTES DE LEER 9 ¿Puede la tensión entre los terminales de un condensador cambiar de forma instantánea al accionar un interruptor?

Definición y propiedades del condensador ideal El condensador ideal se rige por su relación constitutiva fundamental: De esta relación se desprenden dos comportamientos cruciales: La tensión varía gradualmente en el tiempo, sin discontinuidades bruscas. En régimen de corriente continua (DC), . Los circuitos reales integran a menudo elementos de conmutación que modifican la topología en instantes determinados: Símbolo esquemático de un interruptor eléctrico simple.

RN · C a) C · vC b) IN / RN c) RN · IN d) A = vC(0) - RN · IN a) A = RN · IN / vC(0) b) A = vC(0) · RN · C c) A = vC(0) + RN · IN d) i = C C dt dv C v (t) C i (t) = C 0 Condensadores en Régimen Transitorio: Carga y Conmutación 5 Símbolo esquemático de un conmutador de dos posiciones. Esquema de circuito lineal con conmutadores conectado a un condensador. Fórmula de carga y descarga de primer orden Para resolver la evolución de la tensión en cualquier intervalo entre conmutaciones se emplea la expresión general de carga y descarga: En esta expresión: (o ) es la tensión inicial al inicio del intervalo analizado. (o ) representa el valor asintótico al que tiende la tensión cuando .

es la constante de tiempo, donde es la resistencia equivalente vista desde los terminales del condensador. v (t) = C v + C (v C0 v ) C e R C eq t v C0 v (0) C v C v ( ) C t τ = R C eq R eq Condensadores en Régimen Transitorio: Carga y Conmutación 6 CRONOLOGÍA Segmentación temporal por conmutaciones sucesivas Metodología paso a paso tras conmutaciones sucesivas Cuando un circuito cuenta con varias conmutaciones ordenadas temporalmente en , , , etc., se aplica un procedimiento sistemático para cada intervalo: PARA RECORDARLO La tensión se conserva a lo largo de cada frontera de conmutación: , y . Este valor final del tramo anterior es siempre el valor inicial del tramo siguiente.

ERROR FRECUENTE Calcular la resistencia equivalente considerando una posición de los conmutadores errónea o mezclar las condiciones asintóticas de tramos temporales distintos. Cada intervalo temporal exige calcular su propia y su propia . COMPRUEBA 10 Si ocurre una conmutación en t = t1, ¿cómo se obtiene la tensión inicial para el tramo t > t1? t < 0 Régimen previo para determinar la tensión inicial vC(0-). t = 0 Primera conmutación; se cumple vC(0-) = vC(0+). (0,t1) Evolución temporal según Req y vC_inf del primer tramo. t = t1 Segunda conmutación asegurando continuidad vC(t1-) = vC(t1+). (t1,t2) Nuevo transitorio con parámetros propios de este intervalo.

t = 0 t = t 1 t = t 2 Definición del intervalo: Dividir el eje temporal en tramos independientes delimitados por cada maniobra. 1 Origen de tiempos local: Tomar el instante del cambio como origen de tiempos ( ) o aplicar un cambio de variable mediante traslación temporal. 2 t = 0 Resistencia equivalente: Calcular el valor de entre bornes del condensador para la topología activa en dicho tramo. 3 R eq Constante temporal: Determinar correspondiente al tramo. 4 τ = R C eq Tensiones de referencia: Determinar el valor inicial por continuidad ( ) y el valor asintótico de régimen permanente ( ).

5 v (t ) = C k v (t ) C k + v C Evaluación analítica: Sustituir los parámetros obtenidos en la fórmula general de carga y descarga. 6 v (0 ) = C v (0 ) C + v (t ) = C 1 v (t ) C 1 + v (t ) = C 2 v (t ) C 2 + R eq R eq v C Condensadores en Régimen Transitorio: Carga y Conmutación 7 IDEAS CLAVE La corriente a través de un condensador ideal es siempre proporcional a la derivada temporal de su tensión. La constante de tiempo tau es el producto de la resistencia equivalente vista por el condensador y su capacidad. La respuesta temporal general depende únicamente de la condición inicial vC0, el valor asintótico final vCinf y la constante tau.

En conmutaciones múltiples, el análisis se fragmenta en intervalos sucesivos garantizando la continuidad de la tensión en cada salto. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 11. ¿Cuál es la expresión genérica de la tensión de carga/descarga en función del tiempo para un condensador? 12. ¿Qué relación guardan las tensiones en los límites inmediatos de una conmutación en ? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 13. ¿Cómo se define la constante de tiempo tau en un circuito con condensador? 14. ¿Qué valor toma la corriente en bornes de un condensador ideal bajo tensión constante continua? 15. En la fórmula de carga/descarga, ¿qué representa el término vC_inf? 16.

Al pasar de un intervalo temporal al siguiente tras conmutar, ¿qué magnitud permanece idéntica? t = t 1 tau = C / Req a) tau = 1 / (Req · C) b) tau = Req / C c) tau = Req · C d) Cero a) Req · C b) vC / Req c) Infinito d) La tensión inicial antes de conmutar a) La derivada inicial de la corriente b) La tensión para t tendiendo a infinito c) La caída en la resistencia equivalente d) La tensión en el condensador a) La resistencia equivalente del circuito b) La corriente en el condensador c) La derivada temporal dvC/dt d) Condensadores en Régimen Transitorio: Carga y Conmutación 8 Soluciones de las preguntas de repaso 1.

Porque a medida que se carga, la derivada de la tensión respecto al tiempo disminuye hasta anularse por completo en el régimen estacionario. 2. Porque la relación de corriente es proporcional a la derivada temporal de la tensión. Al estabilizarse la tensión en continua, su derivada es cero y la corriente se hace nula. 3. La ecuación diferencial es . 4. La constante toma el valor . 5. b) Actúa como circuito abierto. Al ser constante la tensión en continua, su derivada es cero y por tanto la corriente es nula. 6. b) La continuidad de la tensión. La tensión en el condensador no puede cambiar instantáneamente porque implicaría corrientes infinitas. 7. d) RN · IN.

Al multiplicar por la resistencia Norton toda la ecuación de nudos, el término independiente resulta ser el producto RN por IN. 8. a) A = vC(0) - RN · IN. Evaluando en t = 0 la expresión temporal vC(0) = A + RN·IN, se despeja inmediatamente que A = vC(0) - RN·IN. 9. No, la tensión debe ser continua en el tiempo porque un salto brusco exigiría una corriente infinita según la relación ic = C · (dvc/dt). 10. Se obtiene evaluando la función de tensión del tramo anterior justo en t = t1-, garantizando la continuidad vC(t1+) = vC(t1-). 11. La expresión es . 12. Son exactamente idénticas debido a la continuidad de la tensión: . 13. d) tau = Req · C.

La constante temporal de un circuito de primer orden RC equivale directamente al producto de la resistencia equivalente por la capacidad. 14. a) Cero. Dado que ic = C · dvc/dt, si la tensión es constante su derivada vale cero, anulando la corriente. 15. c) La tensión para t tendiendo a infinito. vC_inf simboliza el valor límite al que tiende la tensión en régimen estacionario cuando el tiempo tiende a infinito. 16. a) La tensión en el condensador. Por el principio de continuidad de la carga eléctrica, la tensión del condensador no puede sufrir saltos discontinuos.

R C + N dt dv C v = C R I N N A = R I N N v (t) = C v + C (v C0 v ) C e R C eq t v (t ) = C 1 v (t ) C 1 + Condensadores en Régimen Transitorio: Carga y Conmutación 9