Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario

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APUNTES ANÁLISIS DE CIRCUITOS Grado en Ingeniería Electrónica de Telecomunicación Universidad Politécnica de Cataluña AprenAI 2026-2027 Apuntes completos de Análisis de Circuitos: método nodal, amplificadores operacionales, transitorios de 1er orden en DC, Laplace, estabilidad, RPS y resonancia.

APREN.AI Índice Circuitos resistivos 1 Fundamentos y análisis nodal Modelado abstracto e hipótesis de parámetros concentrados Comportamiento de circuitos resistivos puros Método sistemático de análisis nodal Tratamiento de fuentes en el análisis nodal 2 El amplificador operacional y configuraciones básicas El amplificador operacional y sus fundamentos Zonas de operación y cortocircuito virtual Configuraciones lineales fundamentales Circuitos de cálculo analógico y procesado de señal Efecto de carga y conexión de etapas en cascada 3 Elementos dinámicos y transitorios de primer orden en DC Elementos dinámicos y noción de memoria El condensador ideal El inductor ideal Respuesta canónica en circuitos de primer orden en DC 4 Dominio de Laplace — Impedancia operacional y cálculo de respuestas Transición al dominio operacional de Laplace Impedancia y admitancia operacional Metodología de resolución y cálculo de residuos Comportamiento en circuitos resonantes LC y RLC 5 Función de red, respuesta dinámica y análisis de estabilidad Función de red y propiedades algebraicas Componentes de la respuesta temporal: libre y forzada Dinámica de la respuesta libre: primer y segundo orden Criterios de estabilidad en sistemas lineales Verificación práctica de estabilidad y régimen permanente 6 Régimen permanente sinusoidal — Fasores, resonancia y simulación Respuesta permanente ante excitación sinusoidal y evaluación de la función de red Representación fasorial y el circuito transformado fasorial (CTF) Impedancia y admitancia compleja Resonancia en circuitos lineales Medida experimental: el oscilograma Simulación fasorial en SPICE Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 1 7 Formulario Circuitos resistivos y amplificador operacional Circuitos de primer orden en continua (transitorios) Dominio transformado de Laplace Función de red, estabilidad y dinámica de segundo orden Régimen permanente sinusoidal (RPS) y resonancia Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 2 1 Fundamentos y análisis nodal AL ACABAR SABRÁS Justificar los límites de validez de la hipótesis de parámetros concentrados. Relacionar la tensión de entrada y de salida mediante la ganancia en circuitos resistivos lineales. Formular el sistema de ecuaciones nodales mediante la ley de corrientes de Kirchhoff (KCL). Integrar correctamente fuentes independientes y dependientes en el análisis nodal.

PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Por qué un mismo circuito eléctrico puede funcionar perfectamente a 50 Hz pero fallar completamente al transmitir señales a varios gigahercios? El análisis de señales y sistemas analógicos requiere simplificaciones clave para abordar redes eléctricas complejas de forma matemática y sistemática. La teoría de circuitos sustituye los dispositivos físicos por modelos abstractos ideales cuyas leyes de interconexión rigen el comportamiento de las magnitudes eléctricas.

ESQUEMA Estructura del análisis de circuitos resistivos Circuitos resistivos 1 Fundamentos y análisis nodal 2 El amplificador operacional y configuraciones básicas Fundamentos y simplificaciones Modelos ideales y parámetros concentrados Comportamiento resistivo Relación vo(t) = k · vg(t) Análisis nodal Ecuaciones mediante KCL y tensiones nodales Tratamiento de fuentes Fuentes de corriente y tensión, libres y controladas Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 3 Modelado abstracto e hipótesis de parámetros concentrados Los dispositivos físicos reales, tales como resistencias, bobinas o condensadores, se representan mediante modelos matemáticos denominados elementos de circuito ideales (resistor lineal ideal, inductor ideal y condensador ideal).

Cada uno de estos modelos aproxima las propiedades físicas fundamentales del dispositivo real bajo condiciones bien delimitadas. Para analizar estos elementos prescindiendo de su geometría espacial concreta, se adopta la hipótesis de parámetros concentrados. Bajo esta aproximación, solo interesan los componentes y la forma en que se encuentran conectados entre sí, no su distribución geométrica en el espacio tridimensional. Esta hipótesis es rigurosamente válida únicamente cuando las dimensiones físicas del circuito son mucho menores que la longitud de onda de las señales involucradas.

Por esta razón, el modelo concentrado estándar no se aplica directamente a frecuencias elevadas en el rango de los gigahercios (GHz), donde los efectos de propagación electromagnética y la longitud de onda se vuelven comparables al tamaño de los componentes físicos. COMPRUEBA 2 ¿Bajo qué condición fundamental deja de ser válida la hipótesis de parámetros concentrados en un circuito? Comportamiento de circuitos resistivos puros Un circuito resistivo lineal puro está formado por resistencias, fuentes independientes, fuentes dependientes y amplificadores operacionales lineales (véase «Circuitos resistivos — El amplificador operacional y configuraciones básicas»).

En estas redes no existen retardos temporales ni almacenamiento de energía. La relación entre la señal de salida y la señal de entrada es instantánea y estrictamente proporcional: El parámetro es una constante puramente real que depende exclusivamente de los elementos que integran el circuito y de la topología de sus conexiones: Si , el circuito produce una amplificación de la señal de entrada. Si (o expresado como ), la red introduce una atenuación de dicha señal. COMPRUEBA 3 ¿Qué implica que un circuito resistivo tenga una ganancia constante k en relación temporal con la entrada?

Método sistemático de análisis nodal El objetivo del análisis nodal consiste en determinar las tensiones nodales de la red. Una tensión nodal se define como la diferencia de potencial eléctrico existente entre un nodo cualquiera del circuito y un nodo tomado como referencia común (o masa). v (t) o v (t) g v (t) = o k v (t) g k k > 1 k < 1 k 1 Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 4 La metodología exige plantear tantas ecuaciones algebraicas independientes como tensiones nodales incógnitas existan, aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff (KCL). Cuanto menor sea el número de incógnitas elegidas, más sencilla resulta la resolución del sistema algebraico resultante.

En cada nodo seleccionado donde se plantea KCL, el balance de corrientes se formula de forma sistemática como: Las corrientes que escapan a través de los resistores conectados al nodo se expresan en función de las tensiones nodales adyacentes divididas por los valores de resistencia correspondientes (ley de Ohm).

Tratamiento de fuentes en el análisis nodal La formulación de las ecuaciones nodales varía según el tipo de generador presente en cada rama del circuito: Tipo de generador Tratamiento en el análisis nodal Efecto sobre el sistema de ecuaciones Fuente de corriente independiente Se incorpora directamente al término independiente de la ecuación de KCL del nodo (con signo positivo si entra, negativo si sale). No añade incógnitas adicionales; define directamente la inyección de corriente. Fuente de corriente dependiente Se incluye en el balance de corrientes de KCL y se añade una ecuación auxiliar que relacione su variable de control con las tensiones nodales.

Mantiene el número de nodos, pero requiere expresar la variable de control en función de tensiones nodales. Fuente de tensión independiente Si está conectada entre un nodo y la referencia, fija directamente la tensión de ese nodo. Si conecta dos nodos no referenciados, forma un supernodo. Reduce las incógnitas nodales libres o requiere plantear KCL en la frontera del supernodo junto con la relación . Fuente de tensión dependiente Impone una diferencia de tensión entre sus dos terminales gobernada por una variable interna. Se trata mediante supernodo o fijación relativa. Añade la ecuación de control que vincula la tensión entre nodos con la magnitud de control del circuito.

Existe una propiedad fundamental respecto a los circuitos con fuentes controladas: si una red contiene únicamente fuentes dependientes y carece por completo de fuentes independientes, todas las tensiones nodales y el resto de variables del circuito son idénticamente nulas. i = salientes por resistencias i inyectadas por fuentes v A v = B V s Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 5 ERROR FRECUENTE Intentar escribir una ecuación de KCL estándar en un nodo que contiene una fuente de tensión (independiente o dependiente) conectada a él sin considerar que la corriente que atraviesa dicha fuente es a priori desconocida.

Para evitarlo, si la fuente está conectada a la referencia, se asigna directamente el valor de la tensión al nodo; si está situada entre dos nodos esenciales distintos de la referencia, se debe aislar el conjunto en un supernodo o utilizar la ecuación de rama , evitando plantear KCL en los terminales individuales de la fuente. COMPRUEBA 4 ¿Qué valor toman todas las tensiones nodales en una red resistiva que no posee fuentes independientes y solo contiene fuentes dependientes? IDEAS CLAVE Los elementos de circuito ideales modelan dispositivos reales abstrayendo su geometría bajo la hipótesis de parámetros concentrados.

La validez del modelo de parámetros concentrados exige dimensiones físicas mucho menores que la longitud de onda de trabajo. En redes resistivas lineales puras, la respuesta de salida es proporcional e instantánea respecto a la entrada: . El análisis nodal aplica KCL para hallar las diferencias de potencial de cada nodo respecto al nodo de referencia. Si un circuito carece de fuentes independientes y solo posee fuentes dependientes, todas las tensiones nodales son nulas. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 5. ¿Por qué no se aplica directamente la hipótesis de parámetros concentrados a frecuencias en el rango de los GHz? 6. ¿Cómo se equilibra el balance de KCL al aplicar el método nodal en un nodo?

v A v = B V s v (t) = o k v (t) g Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 6 CIRCUITOS RESISTIVOS 2 El amplificador operacional y configuraciones básicas AL ACABAR SABRÁS Deducir el principio de cortocircuito virtual a partir de las hipótesis de funcionamiento del AO ideal en zona lineal. Calcular analíticamente la ganancia y la resistencia de entrada en topologías inversoras, no inversoras y diferenciales. Explicar el desacoplo de impedancias y el cálculo en cascada de etapas activas sin efecto de carga.

PIÉNSALO ANTES DE LEER 7 ¿Por qué entre los terminales de entrada de un amplificador operacional en zona lineal no cae tensión a pesar de no existir un cable que los una físicamente? El amplificador operacional y sus fundamentos El amplificador operacional (AO) es un componente activo multiterminal que amplifica la diferencia de potencial entre dos entradas. Posee un terminal no inversor con potencial , un terminal inversor con potencial y una salida con tensión referida a masa. Como elemento activo, requiere polarización externa: puede conectarse a una alimentación simétrica (fuentes de y ) o asimétrica (entre y ).

La relación en lazo abierto describe la salida en función de la tensión diferencial : En este comportamiento intervienen tres parámetros físicos principales: Resistencia de entrada ( ): medida entre los bornes de entrada, con órdenes típicos de o superiores. Resistencia de salida ( ): vista desde el terminal de salida hacia masa, del orden de . Ganancia en lazo abierto ( ): amplificación intrínseca continua, típicamente de o superior a bajas frecuencias. Cuando los resistores externos del circuito se encuentran en la escala de los , se cumple de forma natural que las resistencias externas son muy inferiores a y muy superiores a .

Esto permite recurrir a la abstracción del AO ideal, donde , y . Zonas de operación y cortocircuito virtual El amplificador operacional puede operar en dos regímenes principales: 1. Zona de saturación: ocurre cuando la salida alcanza los límites de alimentación, fijándose en o en . Si el componente trabaja en lazo abierto o incorpora realimentación positiva v + v v o +V cc V cc V cc 0 V v = d v + v v = o A v = o d A (v o + v ) R in MΩ R o Ω A o 106 kΩ R in R o R in R o 0 A o v = o v sat+ v = o v sat Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 7 neta, pasará de inmediato a saturación. 2.

Zona lineal: el nivel de salida permanece estrictamente acotado entre las tensiones de saturación ( ). Para garantizar este régimen, el circuito debe contar con realimentación negativa dominante. DEFINICIÓN Bajo realimentación negativa y en zona lineal con , la diferencia de potencial entre bornes se anula: . A esta igualdad se la denomina cortocircuito virtual, pues fuerza v_+ = v_- sin que exista contacto físico entre ambos terminales.

A partir del cortocircuito virtual y de una impedancia de entrada infinita se deducen las dos ecuaciones fundamentales del AO ideal: ERROR FRECUENTE Al aplicar el método de tensiones nodales (véase «Circuitos resistivos — Fundamentos y análisis nodal»), jamás debe formularse la ley de corrientes de Kirchhoff (KCL) en el nudo de salida del amplificador operacional. Por dicho terminal fluye una corriente de salida desconocida suministrada internamente por las fuentes de polarización. COMPRUEBA 8 ¿Por qué no es posible asumir el principio de cortocircuito virtual cuando el AO carece de realimentación negativa?

Configuraciones lineales fundamentales Combinando el AO ideal con redes resistivas se obtienen etapas amplificadoras con respuestas instantáneas de la forma . v < sat v < o v sat+ A o v = d v + v = 0 v = + v , i = + i = 0 i o v (t) = o k v (t) g Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 8 ESQUEMA Topologías lineales con amplificador operacional 1. Seguidor de tensión (búfer) El terminal de salida se conecta de forma directa a la entrada inversora ( ), mientras que la señal de excitación se aplica en el borne no inversor ( ). Por cortocircuito virtual: Proporciona ganancia unitaria sin demandar corriente del generador, actuando como aislador de etapas. 2.

Amplificador inversor La señal entra al terminal inversor mediante un resistor y se realimenta negativamente con desde la salida. El terminal no inversor se conecta a referencia ( ). En consecuencia, (masa virtual). Planteando el balance de corrientes en el nudo inversor: 3. Amplificador no inversor La señal se aplica directamente al terminal positivo ( ). La realimentación negativa se establece con un divisor resistivo constituido por conectado a masa y conectado a la salida.

Dado que : Configuraciones básicas Etapas elementales de amplificación Seguidor de tensión Ganancia unitaria y Rin infinita Inversor Ganancia negativa con Rin = R1 No inversor Ganancia positiva mayor que 1 Procesado analógico Operaciones matemáticas de señales Sumadores Suma ponderada inversora o no Diferencial Resta simétrica de dos señales Integrador Integración temporal continua v = v o v = + v g v = o v , R = g in R 1 R 2 v = + 0 v = 0 + R 1 v 0 g = R 2 v 0 o 0 v = o v , R = R 1 R 2 g in R 1 v = + v g R 1 R 2 v = v = + v g + R 1 v g = R 2 v v g o 0 v = o 1 + v , R = ( R 1 R 2 ) g in Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 9 COMPRUEBA 9 ¿Qué diferencia fundamental existe entre la impedancia de entrada de un amplificador inversor y la de uno no inversor?

Circuitos de cálculo analógico y procesado de señal La linealidad del componente permite superponer entradas o introducir elementos dinámicos para operaciones matemáticas. Sumador inversor Incorpora múltiples fuentes conectadas al nudo inversor a través de resistencias independientes ( ), con una resistencia de realimentación . Con el terminal no inversor a masa, el balance nodal genera: Sumador no inversor Las fuentes y se conectan al borne no inversor mediante resistencias y .

La ganancia del bloque viene dictada por la red no inversora ( hacia masa y de realimentación): Integrador analógico Sustituyendo el resistor de realimentación de la topología inversora por un condensador de capacidad , la relación diferencial del condensador conduce a la integración en el tiempo: Amplificador diferencial (restador) Aplica una señal en la rama inversora (con resistencias y ) y una señal en la no inversora (con un divisor formado por y ). La expresión de salida general es: Bajo la condición de simetría , la expresión se simplifica a la diferencia pura de señales, cancelando el modo común: Convertidor de impedancia negativa (NIC) Introduce realimentación mixta.

La salida se conecta a la entrada no inversora mediante una resistencia , cerrando a tierra con , lo que impone una tensión de salida .

Si se conecta un resistor de referencia entre la salida y la entrada excitadora, la impedancia de entrada neta se invierte: R , R 1 2 R f v = o v R 1 R f 1 v , R = R 2 R f 2 in,1 R , R = 1 in,2 R 2 v 1 v 2 R 1 R2 R a R b v = o 1 + v + v , R = ( R a R b ) ( R + R 1 2 R 2 1 R + R 1 2 R 1 2) in,1 R + 1 R , R = 2 in,2 R + 1 R 2 C v (t) = o v (τ) dτ, R = R C 1 1 t g in R 1 v 1 R 1 R f v 2 R 2 R g v = o 1 + v ( R 1 R f ) ( R + R 2 g R g ) 2 v R 1 R f 1 = R 2 R g R 1 R f v = o (v R 1 R f 2 v ), R = 1 in,1 R , R = 1 in,2 R + 2 R g R 2 R 1 v = o 1 + v ( R 1 R 2 ) g R 3 R Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 10 Topología Tensión de salida ( ) Resistencia de entrada ( ) Seguidor de tensión Amplificador inversor Amplificador no inversor Diferencial equilibrado Convertidor imp.

negativa COMPRUEBA 10 ¿Qué condición geométrica de resistencias debe cumplir un amplificador diferencial para restar de forma simétrica? Efecto de carga y conexión de etapas en cascada Al interconectar dos subcircuitos en cascada, la tensión disponible en el nodo intermedio puede variar respecto a su condición en vacío. Este fenómeno se conoce como efecto de carga. EJEMPLO Si un divisor de tensión con resistencias y genera una tensión en circuito abierto , al conectar directamente en cascada un amplificador inversor con resistencia de entrada , la carga drena corriente y altera la tensión nodal: .

Para evitar esta atenuación, se requeriría (por ejemplo, ) o intercalar un seguidor de tensión con . Debido a que el modelo ideal del AO presenta una resistencia de salida nula ( ), el potencial de salida de una etapa basada en AO no depende de la corriente absorbida por la siguiente etapa conectada a él.

En consecuencia, en etapas con operacionales acopladas en cascada no existe efecto de carga, permitiendo calcular la ganancia total como el producto directo de las ganancias individuales: Esta propiedad permite simplificar esquemas reemplazando subredes reconocibles por fuentes de tensión controladas equivalentes: R = in R 3 R 2 R 1 v o R in v g v R 1 R 2 g R 1 1 + v ( R 1 R 2 ) g (v R 1 R f 2 v ) 1 R = in,1 R , R = 1 in,2 R + 2 R g 1 + v ( R 1 R 2 ) g R 3 R 2 R 1 R a R b v = x v R +R a b R b g R 1 v = x v R +R a b R b g R 1 R b R > 1 100R b R = in R = o 0 A = total A 1 A 2 A n Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 11 Esquema de simplificación de una etapa activa mediante fuente dependiente equivalente.

En el circuito superior se identifica una subred no inversora ( ) que excita al resto a través de su salida de baja impedancia. Sustituyendo el bloque por su equivalente unifilar de ganancia fija , el análisis se reduce a resolver el circuito pasivo desacoplado resultante en el esquema inferior. IDEAS CLAVE Un amplificador operacional ideal en zona lineal con realimentación negativa opera con cortocircuito virtual ( e ). La configuración inversora ofrece ganancia negativa e impedancia de entrada fijada por . La configuración no inversora tiene impedancia de entrada infinita y una ganancia positiva siempre mayor o igual a la unidad ( ).

El amplificador diferencial rechaza la tensión en modo común si se satisface el balance resistivo . La impedancia de salida nula del AO ideal elimina el efecto de carga entre etapas en cascada, haciendo que la ganancia global sea el producto de las ganancias individuales. R , R a b k = 1 + R a R b v = + v i = + i = 0 R /R 2 1 R 1 1 + R /R 2 1 R /R = g 2 R /R f 1 Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 12 COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 11. ¿Por qué no se debe formular la ley de corrientes de Kirchhoff en el nudo de salida del amplificador operacional? 12. ¿Cómo elimina un amplificador operacional ideal el efecto de carga al conectar varias etapas en serie?

Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 13. ¿Cuándo es válida la hipótesis de parámetros concentrados en circuitos? 14. ¿Qué relación vincula entrada y salida en un circuito resistivo puro? 15. En el análisis nodal, ¿qué define formalmente una tensión nodal? 16. ¿Cuál es la respuesta de un circuito que solo contiene fuentes dependientes? 17. ¿Qué condición garantiza el funcionamiento del amplificador operacional en zona lineal? 18. ¿Cuál es la resistencia de entrada de un amplificador inversor ideal?

Cuando no existen resistencias en el circuito a) A frecuencias extremadamente altas en gigahercios b) Con dimensiones mucho menores que la longitud de onda c) Únicamente en circuitos con inductores ideales d) Derivada temporal de la señal de entrada a) Proporcionalidad instantánea con factor de ganancia k b) Integración continua de la tensión de entrada c) Desfase cuadrático dependiente de la frecuencia d) La tensión diferencial entre dos fuentes activas a) La caída de tensión en la resistencia de entrada b) La diferencia de potencial respecto al nodo de referencia c) La corriente que sale hacia las resistencias d) Oscilaciones sostenidas de alta frecuencia a) Tensiones y corrientes nodales todas nulas b) Respuesta gobernada únicamente por la ganancia k c) Tensiones nodales infinitas por realimentación d) Presencia exclusiva de realimentación positiva a) Resistencias externas del orden de megaohmios b) Funcionamiento en lazo completamente abierto c) Realimentación negativa sin saturar la salida d) Infinita a) Cero b) R2 c) R1 d) Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 13 19.

¿Qué relación debe cumplirse en un restador para anular el modo común? 20. ¿Cuál es la ganancia global de varias etapas con AO ideal en cascada? 3 Elementos dinámicos y transitorios de primer orden en DC AL ACABAR SABRÁS Aplicar las leyes de continuidad de tensión en condensadores y de corriente en inductores para resolver circuitos en t0+. Modelar condensadores e inductores en régimen permanente bajo excitación continua (DC). Calcular la constante de tiempo determinando la resistencia equivalente de Thévenin sin anular fuentes dependientes. Formular la evolución temporal de cualquier variable de un circuito de primer orden mediante la ecuación canónica.

PIÉNSALO ANTES DE LEER 21 ¿Por qué un interruptor que abre bruscamente un circuito inductivo suele generar chispas en sus contactos? Los circuitos puramente resistivos carecen de memoria temporal: su salida en un determinado instante depende en exclusiva de la entrada en ese mismo momento exacto, cumpliendo una relación de proporcionalidad directa (véase «Circuitos resistivos — Fundamentos y análisis nodal»). En cambio, la introducción de elementos capaces de almacenar energía altera por completo esta dinámica, provocando que .

R1 = Rf y R2 = 0 a) Rg = R1 y Rf = R2 b) Rg / R2 = Rf / R1 c) Rf / R2 = Rg / R1 d) El producto de ganancias individuales a) La ganancia de la primera etapa b) La suma de ganancias individuales c) El promedio de las ganancias parciales d) t v (t) = o kv (t) g v (t) = o kv (t) g Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 14 ESQUEMA Análisis de circuitos con elementos dinámicos Elementos dinámicos y noción de memoria Se denominan elementos dinámicos o con memoria a aquellos componentes cuyas variables de tensión o corriente dependen de la evolución histórica previa del circuito. Los dos elementos dinámicos lineales concentrados fundamentales son el condensador ideal y el inductor ideal.

A diferencia de las resistencias, ambos son elementos pasivos no disipativos: la energía neta que absorben del circuito no se transforma en calor, sino que queda acumulada internamente en forma de campo eléctrico o magnético. El condensador ideal En un condensador ideal de capacidad , la corriente instantánea que lo atraviesa resulta proporcional a la tasa de variación temporal de la tensión entre sus terminales: Si se despeja la tensión mediante integración temporal desde el pasado remoto hasta un instante dado , se pone de manifiesto su cualidad de almacenamiento: El término constituye la condición inicial que compendia toda la trayectoria de corriente anterior a .

Puesto que una variación brusca y discontinua de la tensión requeriría un pulso infinito de corriente, se impone el principio de continuidad física: Elementos dinámicos Condensador e inductor con memoria Condensador ideal Continuidad en tensión y energía electrostática Inductor ideal Continuidad en corriente y energía magnética Circuitos de 1er orden en DC Respuesta canónica temporal Valor inicial y final Cálculo en t0+ e infinito Constante de tiempo Req de Thévenin sin apagar dependientes Orden superior o entrada no DC Análisis mediante transformada de Laplace C i(t) = C dt dv(t) t v(t) = i(τ) dτ = C 1 t v(0) + i(τ) dτ C 1 0 t v(0) t = 0 Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 15 DEFINICIÓN La tensión en bornes de un condensador ideal no puede cambiar de forma instantánea.

Se cumple rigurosamente que v(t^+) = v(t^-) ante cualquier perturbación o conmutación. Por su parte, la energía acumulada en el campo electrostático del condensador es siempre no negativa: El inductor ideal En una bobina o inductor ideal de inductancia , la diferencia de potencial que aparece entre sus extremos es proporcional a la velocidad de cambio de la corriente que circula por él: Integrando dicha relación constitutiva se obtiene la corriente en función de la tensión aplicada a lo largo del tiempo: El valor resume el historial energético previo acumulado por el componente hasta . DEFINICIÓN La corriente que recorre un inductor ideal no admite saltos discontinuos.

Se verifica de manera estricta que i(t^+) = i(t^-). La energía magnética retenida en el inductor satisface: Elemento Relación constitutiva Variable continua Energía almacenada Condensador ( ) Tensión: Inductor ( ) Corriente: COMPRUEBA 22 ¿Por qué la tensión en un condensador no puede cambiar instantáneamente ante una conmutación abrupta?

W (t) = C i(τ)v(τ) dτ = t Cv (t) 2 1 2 0 L v(t) = L dt di(t) i(t) = v(τ) dτ = L 1 t i(0) + v(τ) dτ L 1 0 t i(0) t = 0 W (t) = L i(τ)v(τ) dτ = t Li (t) 2 1 2 0 C i(t) = C dt dv(t) v(t ) = + v(t ) W = C Cv (t) 2 1 2 0 L v(t) = L dt di(t) i(t ) = + i(t ) W = L Li (t) 2 1 2 0 Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 16 Respuesta canónica en circuitos de primer orden en DC Un circuito es de primer orden cuando contiene una única variable de estado independiente, es decir, un solo elemento dinámico ( o ) inmerso en una red resistiva.

Cuando las excitaciones aplicadas son constantes en el tiempo (fuentes de continua o DC), la evolución temporal de cualquier magnitud (sea tensión o corriente) a partir del instante de conmutación responde a la ecuación canónica: Esta expresión canónica requiere calcular con precisión tres parámetros característicos: PROCESO Procedimiento canónico de tres parámetros C L y(t) t 0 y(t) = y( ) + y(t ) y( ) e , t [ 0 + ] τ t t 0 t 0 + Valor inicial : se halla analizando el circuito en el instante inmediatamente posterior a la maniobra.

Gracias a la continuidad, en el condensador se sustituye por una fuente ideal de tensión independiente de valor , mientras que el inductor se reemplaza por una fuente ideal de corriente independiente de valor . Con estos modelos se resuelven las restantes variables del circuito. 1 y(t ) 0 + t 0 + v(t ) 0 i(t ) 0 Valor en régimen permanente : cuando bajo excitación continua, todas las tensiones y corrientes del circuito se estabilizan y sus derivadas se anulan. De este modo, en el condensador presenta corriente nula ( ) y se comporta como un circuito abierto; el inductor presenta caída de tensión nula ( ) y actúa como un cortocircuito.

2 y( ) t t i( ) = 0 v( ) = 0 Constante de tiempo : cuantifica la rapidez con la que el circuito evoluciona hacia el nuevo estado estacionario. Se determina a través de la resistencia equivalente de Thévenin, , observada directamente desde los terminales del elemento dinámico.

Dependiendo del tipo de componente: 3 τ R eq τ = R C (para circuitos RC), τ = eq (para circuitos RL) R eq L Estado inicial t0- Determinar v(t0-) en C o i(t0-) en L 1 Circuito en t0+ Sustituir C por tensión fija y L por corriente fija 2 Circuito en infinito Condensador abierto e inductor cortocircuitado 3 Cálculo de tau Hallar Req apagando solo fuentes independientes 4 Fórmula canónica Combinar inicial, permanente y tau exponencial 5 Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 17 ERROR FRECUENTE Al calcular para obtener , es un fallo crítico anular todas las fuentes del circuito por igual.

Las fuentes independientes deben desactivarse (las de tensión se cortocircuitan y las de corriente se abren), pero las fuentes dependientes deben mantenerse siempre conectadas y activas. Apagar fuentes dependientes altera la resistencia equivalente del circuito y conduce a una constante de tiempo errónea. Este procedimiento sistemático permite estudiar transitorios habituales como los originados por el cierre de un interruptor en una red RC o la apertura de un interruptor en una red RL. COMPRUEBA 23 ¿Cómo se modelan un condensador y un inductor cuando el circuito alcanza el régimen permanente en DC ( )?

IDEAS CLAVE Los elementos dinámicos almacenan energía sin disiparla, otorgando memoria temporal al circuito. La tensión en bornes de un condensador cumple y la corriente por un inductor cumple . Bajo excitación continua en , el condensador equivale a un circuito abierto y el inductor a un cortocircuito. La respuesta temporal de primer orden en DC adopta la forma canónica . La constante de tiempo se calcula con o , apagando solo fuentes independientes y manteniendo activas las dependientes. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 24. ¿Por qué un condensador en se puede sustituir por una fuente independiente de tensión? 25.

¿Qué regla debe seguirse con las fuentes al hallar la resistencia equivalente para la constante de tiempo ? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 26. ¿Qué variable no puede cambiar de forma instantánea en un inductor ideal? R eq τ t v(t ) = + v(t ) i(t ) = + i(t ) t y(t) = y( ) + [y(t ) 0 + y( )]e (t t )/τ 0 τ = R C eq τ = L/R eq t 0 + R eq τ La tensión entre sus terminales a) La corriente que lo atraviesa b) La derivada de la corriente c) La potencia instantánea absorbida d) Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 18 27. En régimen permanente con fuentes DC, ¿cómo se comporta un condensador ideal? 28.

Al calcular la resistencia equivalente Thévenin para determinar tau, ¿qué ocurre con las fuentes dependientes? 29. ¿Cuál es la expresión de la constante de tiempo en un circuito RL de primer orden?

4 Dominio de Laplace — Impedancia operacional y cálculo de respuestas AL ACABAR SABRÁS Modelar resistencias, condensadores e inductores en el dominio s con y sin condiciones iniciales Plantear y resolver algebraicamente las ecuaciones del circuito transformado de Laplace Calcular residuos sobre polos reales y complejos conjugados para obtener la respuesta temporal PIÉNSALO ANTES DE LEER 30 ¿Por qué la presencia de bobinas y condensadores convierte un circuito lineal en una ecuación diferencial en el tiempo, pero en una simple ecuación algebraica en el dominio de Laplace?

Transición al dominio operacional de Laplace El estudio temporal directo mediante ecuaciones diferenciales se vuelve inviable cuando el sistema contiene múltiples elementos reactivos o las excitaciones no son constantes. Para solventar esta dificultad, se emplea la transformada unilateral de Laplace: donde es la variable compleja. La gran ventaja reside en transformar operaciones de derivación e integración temporal en relaciones puramente algebraicas.

Las leyes fundamentales de interconexión se mantienen inalteradas en el nuevo dominio, ya que la integración lineal conserva las sumas algebraicas directas: Como una fuente de corriente a) Como un cortocircuito b) Como una resistencia nula c) Como un circuito abierto d) Se dividen por la constante tau a) Se sustituyen por cortocircuitos b) Se dejan completamente activas c) Se sustituyen por circuitos abiertos d) tau = 1 / (R_eq · L) a) tau = L / R_eq b) tau = R_eq / L c) tau = R_eq · L d) F (s) = L{f(t)} = f(t)e dt 0 st s = σ + jω Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 19 Primera Ley de Kirchhoff (KCL): Segunda Ley de Kirchhoff (KVL): Asimismo, las fuentes del circuito se sustituyen por sus correspondientes transformadas de Laplace.

Por ejemplo, un escalón unitario pasa a ser , mientras que funciones sinusoidales conmutadas como y se expresan como y respectivamente. Las fuentes dependientes conservan intacta su relación de proporcionalidad: . COMPRUEBA 31 ¿Por qué se pueden aplicar KCL y KVL en el dominio de Laplace exactamente igual que en continua? Impedancia y admitancia operacional Para determinar las relaciones constitutivas de los componentes, se analiza el comportamiento de cada rama cuando se asumen condiciones iniciales nulas ( ).

DEFINICIÓN La impedancia operacional es el cociente entre la tensión transformada y la corriente transformada en bornes de un bipolo pasivo bajo condiciones iniciales nulas: La admitancia operacional se define como la inversa algebraica de la impedancia: En el circuito transformado, asume el mismo papel formal que las resistencias en continua, mientras que actúa de forma análoga a la conductancia.

Elemento Relación temporal v-i Impedancia Z(s) Admitancia Y(s) Modelo con condición inicial Resistencia Sin memoria previa ( ) Inductor ideal en paralelo con generador de corriente Condensador ideal en serie con generador de tensión Si las condiciones iniciales son no nulas, el condensador incorpora en serie una fuente de tensión independiente de valor , proveniente de transformar . Análogamente, el inductor con memoria previa suma en paralelo una fuente de corriente de valor , derivada de transformar . I (s) = n n 0 V (s) = m m 0 v (t) = g u(t) V (s) = g s 1 sin(ω t)u(t) 0 cos(ω t)u(t) 0 s +ω 2 0 2 ω 0 s +ω 2 0 2 s Y (s) = fuente k X(s) c.i.

= 0 Z(s) Z(s)\Deltaq I(s) V (s) c.i.=0 Y (s) Y (s)\Deltaq = Z(s) 1 V (s) I(s) c.i.=0 Z(s) Y (s) v(t) = R i(t) Z (s) = R R Y (s) = R R 1 V (s) = RI(s) v(t) = L dt di(t) Z (s) = L L s Y (s) = L L s 1 Z (s) L s i(0) i(t) = C dt dv(t) Z (s) = C C s 1 Y (s) = C C s Z (s) C s v(0) s v(0) v(t) = v(0) + i(τ)dτ C 1 0 t s i(0) i(t) = i(0) + v(τ)dτ L 1 0 t Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 20 ERROR FRECUENTE Al modelar condiciones iniciales, es habitual olvidar dividir el valor inicial entre la variable . Recuerda que e son magnitudes escalares constantes en el tiempo asociadas a escalones a partir de , por lo que su representación transformada exige obligatoriamente la forma o .

COMPRUEBA 32 ¿Cómo se representa un condensador ideal cargado a una tensión previa V en el dominio operacional? Metodología de resolución y cálculo de residuos Para resolver cualquier red dinámicamente compleja en el dominio operacional, se sigue un procedimiento sistemático estructurado en tres fases: PROCESO Resolución de circuitos mediante Laplace s v(0) i(0) t = 0 s v(0) s i(0) Circuito temporal Identificar componentes, fuentes y condiciones iniciales en t=0. 1 Circuito operacional Sustituir por impedancias Z(s) y generadores ficticios asociados. 2 Álgebra en s Aplicar leyes de Kirchhoff y despejar la variable de salida.

3 Fracciones simples Factorizar denominador y calcular los residuos de cada polo. 4 Antitransformada Obtener la respuesta analítica temporal f(t) para t >= 0. 5 Construcción del circuito operacional: Se reemplazan los componentes pasivos por sus impedancias , las condiciones iniciales por sus fuentes ficticias equivalentes y los generadores independientes por sus correspondientes transformadas de Laplace. 1 Z(s) Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 21 El cálculo de los residuos depende de la naturaleza algebraica de las raíces del denominador: Raíces reales simples Si posee una raíz real en , se plantea la fracción simple .

El residuo real se calcula aislando la raíz y evaluando: Su antitransformada directa resulta: Raíces complejas conjugadas Cuando el denominador incluye factores cuadráticos con raíces complejas de la forma , la descomposición genera términos conjugados: El residuo complejo se obtiene evaluando: Al ser un número complejo, se escribe en módulo y fase como . La suma de ambas fracciones se antitransforma de manera compacta en una única oscilación amortiguada: Para determinar el módulo y la fase de a partir de cocientes complejos, se aplican las identidades: Módulo: El módulo del cociente es el módulo del numerador dividido entre el módulo del denominador.

Fase: La fase del cociente equivale al ángulo del numerador menos el ángulo del denominador. Resolución algebraica: Se aplican las técnicas habituales aprendidas para redes resistivas (divisores de tensión y corriente, reducción por Thévenin y Norton, análisis nodal o de mallas) con el fin de despejar la variable de salida buscada, o , expresándola como una función racional: Se normalizan numerador y denominador para que el término de mayor orden en tenga coeficiente unitario. 2 V (s) o I (s) o V (s) = o D(s) N(s) s Transformación inversa: Se descompone la función racional en fracciones simples identificando las raíces de y se calculan sus residuos para retornar al dominio temporal.

3 D(s) D(s) s = p s p A A A = V (s) (s p) o s=p L = 1 { s p A } Ae u(t) pt s = σ ± jω + s (σ + jω) B s (σ jω) B B B = V (s) [s (σ + jω)] o s=σ+jω B = B ej B L + = 1 { s (σ + jω) B s (σ jω) B } 2 B e cos(ωt + σt B)u(t) B Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 22 COMPRUEBA 33 Si un polo complejo genera un residuo B = 4 e^{j /4} con raíz en s = -3 + j5, ¿cuál es la respuesta temporal asociada? Comportamiento en circuitos resonantes LC y RLC La formulación operacional permite ilustrar con claridad las oscilaciones y pérdidas en sistemas de segundo orden: Circuito LC puro: La combinación sin disipación genera raíces imaginarias puras ( ).

El circuito responde mediante oscilaciones sinusoidales sostenidas de frecuencia . La energía oscila indefinidamente entre el campo eléctrico y el magnético. Circuito RLC (o LCr con pérdidas): La resistencia real disipa energía en forma de calor. Las raíces adquieren una parte real negativa ( ), lo que produce un término exponencial decreciente . La respuesta consiste en oscilaciones amortiguadas que se extinguen hacia cero al desconectar la excitación. En el software de simulación temporal con directivas SPICE, este comportamiento transitorio se analiza con el comando .TRAN , fijando las condiciones iniciales de inductores y condensadores mediante el modificador UIC (Use Initial Conditions).

IDEAS CLAVE La impedancia operacional se define como Z(s) = V(s)/I(s) evaluada estrictamente bajo condiciones iniciales nulas. Un condensador con tensión previa v(0) se modela mediante su impedancia (s) = 1/(C · s) en serie con una fuente v(0)/s. Un inductor con corriente inicial i(0) equivale a su impedancia (s) = L · s en paralelo con una fuente i(0)/s. Las leyes de Kirchhoff y los métodos de análisis estático se transfieren directamente al dominio s sustituyendo elementos por impedancias. Dos fracciones con polos complejos conjugados se antitransforman conjuntamente como 2"B" e^{ t} ( t + B) u(t). COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 34.

¿Por qué es imprescindible suponer condiciones iniciales nulas al definir la impedancia operacional Z(s)? 35. ¿Cómo se combinan los términos conjugados procedentes de polos complejos para evitar trabajar con exponenciales imaginarias en el tiempo? π σ = 0 ω = 0 LC 1 σ < 0 eσt Z C Z L σ cos ω Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 23 Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 36. ¿Cuál es la admitancia operacional Y(s) de un condensador ideal? 37. Al transformar un inductor con corriente inicial i(0), ¿qué generador ficticio aparece en paralelo con (s)? 38. ¿Qué forma temporal produce un par de polos complejos conjugados con parte real negativa? 39.

En el cálculo de residuos para una raíz real simple en s = p, ¿cómo se obtiene la constante A? 5 Función de red, respuesta dinámica y análisis de estabilidad AL ACABAR SABRÁS Calcular la función de red H(s) de un circuito bajo condiciones iniciales nulas identificando sus polos y ceros. Distinguir formalmente la componente libre de la componente forzada a partir de la descomposición en fracciones simples. Clasificar el régimen transitorio de un circuito de segundo orden en función del coeficiente de amortiguamiento zeta. Determinar la estabilidad estricta, marginal o inestabilidad de un circuito a partir de la ubicación de sus polos.

C · s a) 1 / (C · s) b) s / C c) C / s d) Z L Tensión de valor L · i(0) a) Corriente de valor L · s · i(0) b) Tensión de valor i(0) / s c) Corriente de valor i(0) / s d) Escalón constante a) Oscilación sostenida pura b) Crecimiento exponencial puro c) Oscilación con decaimiento amortiguado d) Derivando (s) respecto de s a) V o Multiplicando (s) por (s - p) y evaluando en s = p b) V o Evaluando (s) / (s - p) en s = p c) V o Igualando el denominador a cero d) Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 24 PIÉNSALO ANTES DE LEER 40 ¿Por qué un circuito lineal conectado a una batería de continua puede llegar a oscilar de manera permanente?

En el análisis de redes dinámicas, la relación entre una excitación aplicada y la señal resultante se describe mediante operadores en la frecuencia compleja. A diferencia de los circuitos puramente resistivos donde la salida reproduce la entrada escalada por una constante real, la presencia de condensadores e inductores introduce dependencias temporales y dinámicas internas propias. ESQUEMA Estructura del análisis de dinámica de circuitos Función de red y propiedades algebraicas La función de red relaciona la transformada de Laplace de la salida con la de la entrada cuando el sistema parte del reposo energético.

DEFINICIÓN Para una entrada y una salida , la función de red se formaliza como el cociente: donde c.i. indica que todas las condiciones iniciales de los elementos acumuladores de energía son nulas. De forma general, adopta la forma de una función racional de polinomios con coeficientes reales: Los parámetros estructurales que caracterizan esta expresión son: Función de red H(s) Cociente salida/entrada con c.i.

nulas Polos y ceros Singularidades en el plano complejo Descomposición temporal Separación de componentes de salida Respuesta libre Modos gobernados por polos del circuito Respuesta forzada Respuesta dictada por la excitación externa Criterios de estabilidad Comportamiento asintótico según los polos Estricta y marginal Semiplano izquierdo frente a eje imaginario X(s) Y (s) H(s) = X(s) Y (s) c.i.=0 H(s) H(s) = k = s + … m s + … n k (s p )(s p ) … (s p ) 1 2 m (s z )(s z ) … (s z ) 1 2 n Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 25 Orden del circuito: corresponde al máximo entre el grado del numerador y el grado del denominador .

Habitualmente, el orden es menor o igual al número total de elementos dinámicos independientes (bobinas y condensadores). En redes resistivas puras, el orden es 0 y se reduce a una constante. Ceros: son las raíces finitas del numerador , tales que . Polos: son las raíces del denominador , donde . Determinan por completo la dinámica interna y la estabilidad del circuito. Diagrama de polos y ceros: representación de los valores (mediante cruces) y (mediante círculos) sobre el plano complejo . Dado que los componentes de la red presentan valores reales, los polinomios poseen coeficientes estrictamente reales.

Como consecuencia matemática, las raíces deben ser reales o presentarse obligatoriamente en pares complejos conjugados. COMPRUEBA 41 ¿Puede una función de red real tener un único polo complejo en s = -2 + j3? Componentes de la respuesta temporal: libre y forzada Al aplicar una excitación arbitraria a un circuito inicialmente descargado, la salida en el dominio transformado se obtiene como . Mediante descomposición en fracciones simples (véase «Dominio de Laplace — Impedancia operacional y cálculo de respuestas»): Esta descomposición pone de manifiesto dos contribuciones diferenciadas en la respuesta: Respuesta libre o propia ( ): generada por los polos propios del circuito .

Su forma de onda temporal depende exclusivamente de la arquitectura del circuito y el valor de sus componentes, siendo completamente independiente de la señal de excitación externa. Respuesta forzada ( ): originada por los polos de la excitación . Reproduce la forma funcional de la entrada (escalón, rampa o senoide). Dos casos de excitación canónica revisten particular interés conceptual: Dinámica de la respuesta libre: primer y segundo orden En redes de primer orden, la función de red cuenta con un único polo real . La evolución temporal viene gobernada por el factor exponencial , definiendo la constante de tiempo estándar .

Si el polo es negativo, la respuesta tiende asintóticamente a cero; si es nulo, se comporta como un escalón constante; si es positivo, la amplitud crece sin límite. n m H(s) z i H(z ) = i 0 p k H(p ) k ρ p k z i s = ρ + jρ X(s) Y (s) = H(s) X(s) Y (s) = + s p 1 A1 + + s p m A m + s s 1 B 1 + = s s n B n Y (s) + libre Y (s) forzada y (t) libre p k y (t) forzada s i Respuesta impulsional: cuando la entrada es un impulso unitario , su transformada es . En consecuencia, y la respuesta temporal coincide con la respuesta impulsional . 1 x(t) = δ(t) X(s) = 1 Y (s) = H(s) y(t) = h(t) Respuesta indicial: ante un escalón unitario , la transformada resulta .

La salida temporal corresponde a la integral de la respuesta impulsional: . 2 x(t) = u(t) X(s) = 1/s y(t) = h(τ)dτ 0 t p ept τ = 1/ p Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 26 Para sistemas de segundo orden, el denominador de la función de red se formula de manera canónica: donde representa la frecuencia natural y denota el coeficiente de amortiguamiento.

Las raíces del denominador valen: El comportamiento transitorio libre queda determinado por el valor de : Régimen Condición de Polos Forma analítica de Oscilador (imaginarios puros) Subamortiguado Amortiguamiento crítico (polo doble real) Sobreamortiguado (reales distintos negativos) Inestable Parte real estrictamente positiva Amplitud creciente divergente Diagrama de polos en el plano s según el factor de amortiguamiento. H(s) = s + 2ζω s + ω 2 o o 2 …

ω o ζ p = 1,2 ζω ± o ω o ζ 1 2 ρ ζ p 1,2 y (t) libre ζ = 0 ±jω o 2 A cos(ω t + o A)u(t) 0 < ζ < 1 ζω ± o jω o 1 ζ2 2 A e cos(ω t + ζω t o o 1 ζ2 A)u(t) ζ = 1 ω o (A e + 1 ω t o A te )u(t) 2 ω t o ζ > 1 σ , σ 1 2 (A e + 1 σ t 1 A e )u(t) 2 σ t 2 ζ < 0 Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 27 El lugar geométrico de las raíces ilustra la transición: para , los polos recorren una semicircunferencia de radio en el semiplano izquierdo. En convergen sobre el eje real en , y para se separan a lo largo del eje real negativo: uno se desplaza hacia el origen y el otro hacia .

COMPRUEBA 42 ¿Qué polo domina la duración del transitorio en un sistema sobreamortiguado con polos en s = -2 y s = -10? Criterios de estabilidad en sistemas lineales La estabilidad garantiza que una perturbación o señal de entrada admisible no provoque amplitudes divergentes que dañen los componentes o saturen los amplificadores del circuito. DEFINICIÓN Un sistema cumple con la condición de estabilidad BIBO (Bounded Input, Bounded Output) si cualquier señal de entrada acotada produce invariablemente una respuesta de salida también acotada.

Según la ubicación de las singularidades en el plano complejo, los circuitos se clasifican en: Estrictamente estables (EE): todos los polos poseen parte real estrictamente negativa ( ). La respuesta libre es puramente transitoria y se extingue asintóticamente en el tiempo ( ). Son indispensables para procesado de señales. Marginalmente estables (ME): presentan polos simples sobre el eje imaginario y ningún polo en el semiplano derecho. La respuesta libre oscila indefinidamente sin extinguirse pero manteniéndose acotada. Es el modelo operativo de los osciladores. Inestables (I): la respuesta libre diverge de forma ilimitada en el tiempo.

Ocurre cuando existe al menos un polo con parte real positiva o cuando existen polos múltiples situados sobre el eje . En circuitos físicos reales, los sistemas inestables saturan sus tensiones a los niveles de la alimentación. ERROR FRECUENTE Asumir que cualquier polo sobre el eje imaginario produce un circuito marginalmente estable. Si sobre el eje coexisten polos dobles o múltiples, la respuesta temporal adquiere términos de la forma que divergen hacia el infinito, convirtiendo al circuito en inestable.

Verificación práctica de estabilidad y régimen permanente Para determinar si una red es estrictamente estable sin factorizar raíces de grado elevado, se evalúan los coeficientes del polinomio característico del denominador de : En circuitos de primer orden, el polo único debe ser real y estrictamente negativo. En circuitos de segundo orden, al expresar el polinomio canónico , es condición necesaria y suficiente para estabilidad estricta que todos los coeficientes existan, sean no nulos y compartan el mismo signo (lo que garantiza y ).

0 < ζ < 1 ω o ζ = 1 ω o ζ > 1 Re(p ) < k 0 ρ y (t) = t ρ libre 0 jρ jρ jω jω tcos(ω t) o H(s) s + 2 a s + 1 a 0 ζ > 0 ω > o 2 0 Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 28 En todo circuito estrictamente estable, la respuesta global trasciende por dos etapas temporales: COMPRUEBA 43 ¿Un circuito pasivo formado exclusivamente por resistencias, bobinas y condensadores ideales puede ser inestable? IDEAS CLAVE La función de red describe la dinámica de un circuito lineal bajo condiciones iniciales nulas. Los polos de definen la respuesta libre o natural del sistema, mientras que los polos de la excitación determinan la respuesta forzada.

En sistemas de segundo orden, el coeficiente de amortiguamiento clasifica la respuesta en subamortiguada ( ), críticamente amortiguada ( ) o sobreamortiguada ( ). Un circuito es estrictamente estable si y solo si todos los polos de su función de red se localizan en el semiplano izquierdo estricto ( ). Los polos situados sobre el eje imaginario representan oscilaciones continuas (estabilidad marginal si son simples, inestabilidad si son múltiples). La duración del régimen transitorio en redes estables viene gobernada por el polo más cercano al eje imaginario, requiriendo típicamente un intervalo temporal de para extinguirse. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 44.

¿Cuál es la diferencia conceptual entre la respuesta libre y la respuesta forzada en un circuito lineal? 45. ¿Qué ocurre con la estabilidad si una función de red presenta un polo doble en el origen o sobre el eje imaginario? 46. En un sistema de segundo orden con ecuación característica , ¿cuál es el régimen de amortiguamiento y la duración del transitorio? Régimen transitorio: intervalo en el que la componente libre permanece apreciable. Su duración estándar se estima en 5 , donde viene fijada por el polo más próximo al eje imaginario. En polos complejos conjugados, la duración aproximada es .

1 y (t) libre τ τ = 1/ Re(p ) cr tico ı ˊ 5/(ρρ ) 0 Régimen permanente: fase donde la respuesta libre se ha extinguido de manera efectiva, subsistiendo únicamente la componente forzada . Ante una entrada continua fija , la salida permanente resulta ser una constante escalada por la ganancia en continua . Ante una excitación sinusoidal , la salida permanente es otra senoide cuya amplitud queda modificada por y cuya fase resulta desplazada en un ángulo igual a . 2 y (t) forzada x(t) = u(t) H(0) ρρ(ρ t + 0 θ) H(jρ ) 0 ρH(jρ ) 0 H(s) = Y (s)/X(s) H(s) ζ 0 < ζ < 1 ζ = 1 ζ > 1 Re(p) < 0 5τ s + 2 6s + 25 = 0 Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 29 Test Rodea la respuesta correcta.

Las soluciones están al final. 47. ¿En qué condiciones se define rigurosamente la función de red H(s)? 48. ¿Qué régimen presenta un sistema de segundo orden con factor de amortiguamiento zeta = 1? 49. Un circuito lineal es estrictamente estable cuando todos sus polos: 50. ¿Qué elemento determina fundamentalmente la duración del régimen transitorio? 6 Régimen permanente sinusoidal — Fasores, resonancia y simulación AL ACABAR SABRÁS Calcular la respuesta temporal permanente evaluando la función de red en el eje imaginario H(jω). Modelar circuitos lineales en corriente alterna mediante el circuito transformado fasorial (CTF).

Calcular la impedancia y admitancia compleja distinguiendo comportamientos inductivos, capacitivos y activos. Determinar analíticamente la frecuencia de resonancia de configuraciones serie y paralelo.

Bajo régimen estacionario en corriente continua a) Únicamente ante excitaciones de tipo sinusoidal b) Con fuentes de excitación en reposo permanente c) Bajo condiciones iniciales estrictamente nulas d) Régimen sobreamortiguado con polos complejos a) Régimen subamortiguado con oscilaciones rápidas b) Régimen oscilador continuo no amortiguado c) Régimen con amortiguamiento crítico d) Tienen parte real estrictamente negativa a) Pertenecen exclusivamente al eje imaginario b) Se ubican en el interior del círculo unitario c) Presentan coeficientes estrictamente reales d) El polo con menor distancia al eje imaginario a) La suma algebraica de todos los ceros b) El polo más alejado del eje imaginario c) El valor medio de las ganancias estáticas d) Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 30 PIÉNSALO ANTES DE LEER 51 ¿Por qué se utiliza el álgebra de números complejos para resolver circuitos alimentados por ondas sinusoidales?

Respuesta permanente ante excitación sinusoidal y evaluación de la función de red Cuando un circuito lineal y estrictamente estable recibe una señal sinusoidal permanente, su respuesta transitoria natural se extingue. En este estado estacionario, denominado régimen permanente sinusoidal (RPS) o régimen de corriente alterna (AC), todas las tensiones y corrientes del sistema oscilan exactamente a la misma pulsación angular que la fuente excitadora. El origen temporal se sitúa de forma ideal en , por lo que se prescinde del escalón unitario.

Para una entrada canónica de la forma , la respuesta forzada del sistema se obtiene evaluando directamente la función de red (véase «Función de red, respuesta dinámica y análisis de estabilidad») en el eje imaginario : El término actúa como factor de amplificación o atenuación sobre la amplitud original, mientras que el argumento introduce un desfase angular neto en la oscilación de salida. La pulsación angular en radianes por segundo y la frecuencia lineal en hercios se relacionan mediante . COMPRUEBA 52 Si un circuito lineal y estable tiene una función de red con "H(j200)" = 2 y fase -45°, ¿cómo responde a una entrada x(t) = 3 cos(200t)?

Representación fasorial y el circuito transformado fasorial (CTF) Dado que la pulsación es común a todas las ramas del circuito, la señal sinusoidal queda unívocamente descrita mediante dos cantidades: su amplitud de pico y su ángulo de fase. Un fasor es un número complejo que sintetiza esta información prescindiendo de la dependencia temporal explícita. DEFINICIÓN Dada una señal temporal , su fasor asociado se define en notación polar y exponencial como , donde es el valor de pico y el ángulo de fase inicial. El análisis de circuitos en AC se simplifica construyendo el circuito transformado fasorial (CTF).

En este dominio algebraico, las señales temporales se sustituyen por sus fasores e , y se verifica el cumplimiento estricto de las leyes de Kirchhoff para las sumas complejas: ω 0 t = 0 x(t) = Acos(ω t + 0 ϕ) H(s) s = jω 0 y (t) = RPS A H(jω ) cos (ω t + 0 0 ϕ + H(jω )) 0 H(jω ) 0 H(jω ) 0 ω 0 f 0 ω = 0 2πf 0 ω 0 i(t) = I cos(ω t + 0 0 ϕ) = I I e 0 jϕ I 0 ϕ V I = m V m 0, = n In 0 Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 31 Las relaciones constitutivas elementales en el CTF adoptan una forma análoga a la ley de Ohm, relacionando linealmente el fasor de tensión y el fasor de corriente: Resistencia ideal: . La tensión y la corriente están estrictamente en fase.

En el dominio temporal: . Inductor ideal: . La tensión se encuentra adelantada un cuarto de ciclo ( /2 rad) respecto a la corriente. En el tiempo: . Condensador ideal: . La tensión experimenta un retraso de un cuarto de ciclo ( /2 rad) frente a la corriente. En el tiempo: . En el plano complejo (diagrama fasorial), cada fasor es un vector cuyo módulo determina la longitud geométrica y cuyo argumento fija el ángulo respecto al eje real positivo. ESQUEMA Relaciones constitutivas en el CTF Comportamiento asintótico según la frecuencia Los módulos de las relaciones tensión-corriente en los elementos reactivos corresponden a y .

Analizando los límites extremos de pulsación: Baja frecuencia ( , corriente continua): El inductor presenta y se comporta como un cortocircuito. El condensador exhibe y actúa como un circuito abierto. Alta frecuencia ( ): El inductor tiende a , actuando como un circuito abierto. El condensador tiende a , operando como un cortocircuito. COMPRUEBA 53 ¿Qué desfase relativo existe entre la corriente y la tensión en un condensador ideal alimentado en RPS? Impedancia y admitancia compleja La generalización de la ley de Ohm en corriente alterna establece que .

La impedancia compleja y la admitancia compleja se obtienen evaluando las funciones operacionales en (véase «Dominio de Laplace — Impedancia operacional y cálculo de respuestas»): = V R I v (t) = R I Rcos(ω t + 0 0 ϕ) = V (jωL) I π v (t) = L I ωLcos(ω t + 0 0 ϕ + π/2) = V I (jωC 1 ) π v (t) = C cos(ω t + ωC I 0 0 ϕ π/2) Elementos en el CTF Relación entre fasores V e I Resistencia R V = I · R (en fase) Inductor L V = I · jωL (V adelanta 90°) Condensador C V = I · (1/jωC) (V atrasa 90°) Z = L ωL Z = C ωC 1 ω 0 ωL 0 ωC 1 ω ωL ωC 1 0 = V Z(jω) I Z(jω) Y (jω) s = jω Z(jω) = = I V R + jX, Y (jω) = = Z(jω) 1 = V I R + X 2 2 R j = R + X 2 2 X G + jB Circuitos y Sistemas Lineales: Apuntes y Formulario 32 El argumento de representa la diferencia entre la fase inicial de la tensión y la fase inicial de la corriente: .

Su módulo define la relación entre los valores de pico: . Magnitud Parte real Parte imaginaria Signo y comportamiento Impedancia Resistencia ( ): disipación de energía Reactancia ( ): almacenamiento de campo : inductivo : capacitivo Admitancia Conductancia ( ): facilidad de conducción disipativa Susceptancia ( ): capacidad de conducción reactiva : inductivo : capacitivo Los signos de las partes reales e imaginarias determinan las propiedades operativas del bipolo: Naturaleza reactiva: Si (o equivalentemente ), el dipolo presenta comportamiento inductivo. Si (o ), exhibe comportamiento capacitivo.

Balance de potencia neta: Si (o ), se trata de una red con comportamiento pasivo (absorbe energía). Si (o ), el circuito muestra comportamiento activo (suministra energía neta mediante fuentes dependientes o elementos activos). ERROR FRECUENTE Un fallo habitual consiste en calcular la admitancia invirtiendo término a término la parte real y la imaginaria: asumir erróneamente y . La inversión algebraica de exige multiplicar por el…