Pràctiques d'Estadística Descriptiva i Inferencial amb R (Part 1)

Context

Aquest conjunt d'activitats empra la base de dades estats_financers_empreses_distribucio_2017.RData, que recull indicadors econòmics, financers i operatius d'una mostra de 935 empreses del sector de la distribució comercial l'any 2017. Al llarg de les sessions es treballen tècniques d'estadística descriptiva univariant i bivariant, així com els procediments fonamentals d'inferència estadística (intervals de confiança i contrastos d'hipòtesis per a proporcions, mitjanes i taules de contingència).

Lliurament 1 - Exercici 1: Anàlisi descriptiva de tipus de distribució

Empreu la base de dades estats_financers_empreses_distribucio_2017.RData. Efectueu una anàlisi descriptiva univariant completa de la variable representativa del tipus de distribució comercial ( Codi_Activitat), seleccionant les taules, representacions gràfiques i estadístics més adequats a la seva naturalesa. A continuació es mostren els resultats obtinguts:

Codi_activitat

Categoria

Frequency

Percent

Ali_Beg_Tab

129

13.797

Alt

185

19.786

Benzin

45

4.813

Equip_Llar

156

16.684

General

166

17.754

Lleu_Cult

57

6.096

TIC

65

6.952

Vest_Cal

132

14.118

Total

935

100.000

Interpreteu de manera detallada la distribució de les empreses segons aquesta variable.

Lliurament 1 - Exercici 2: Diagrama de caixa i atípics de Marge d'Explotació

Genereu un diagrama de caixa (boxplot) per a la variable quantitativa Marge_Explotacio. Tot seguit, filtreu les dades eliminant els cinc valors atípics més extrems (definint el filtre per mantenir els marges compresos entre -0,5 i 0,5) i torneu a representar el gràfic de caixa resultant.

a)

b)

c)

Diagrama de caixa inicial

Diagrama de caixa després de filtrar

3. Lliurament 1 - Exercici 3: Ràtio de patrimoni net sobre actiu per PIMES

Amb el conjunt complet de dades de la mostra:

a.

Definiu una nova variable denominada nova_ratio que correspongui al quocient entre el patrimoni net i l'actiu total, sabent que el patrimoni net es defineix com Actiu_Total - Passiu_Total. Seleccioneu tot seguit un subconjunt format exclusivament per les petites i mitjanes empreses ( PIME == "SI").

b.

Elaboreu una anàlisi descriptiva completa d'aquesta nova ràtio per al col·lectiu de PIMES, emprant els estadístics i representacions més adients (histograma i diagrama de caixa).

Lliurament 2 - Exercici 1: Taula de contingència beneficis i activitat

Es vol estudiar si l'obtenció de beneficis d'explotació (variable dicotòmica Beneficis) es troba associada amb el tipus d'activitat comercial desenvolupada ( Codi_Activitat).

Beneficis

Frequency

Percent

NO

165

17.65

SI

770

82.35

Total

935

100.00

Codi_activitat

Frequency

Percent

Ali_Beg_Tab

129

13.797

Alt

185

19.786

Benzin

45

4.813

Equip_Llar

156

16.684

General

166

17.754

Lleu_Cult

57

6.096

TIC

65

6.952

Vest_Cal

132

14.118

Total

935

100.00

a)

Realitzeu l'anàlisi exploratòria necessària per a estudiar la relació bivariant entre ambdues variables qualitatives. Comproveu si es verifiquen els supòsits d'aplicabilitat pertinents sense entrar encara a la interpretació substantiva.

b)

Interpreteu els resultats de la taula de contingència identificant quines categories s'associen entre si a partir dels perfils de files o de columnes.

c)

Quantifiqueu la intensitat de l'associació mitjançant el coeficient adequat.

5 Lliurament 3 - Exercici 1: Relació entre endeutament i tipus d'activitat

Es pretén analitzar la relació entre la variable d'endeutament Passiu_S_Patrimoni_Net i el tipus de distribució Codi_Activitat. Concretament, es pren en consideració la transformació logarítmica de l'endeutament per a la detecció d'atípics, considerant com a tals aquells registres amb $\log(\mathrm{Passiu\_S\_Patrimoni\_Net}) \ge 6$.

mean

sd

data:n

Ali_Beg_Tab · 8.207891 · 27.136944 · 129

Alt · 3.079679 · 8.873680 · 185

Benzin · 1.979138 · 1.962138 · 45

Equip_Llar · 11.369698 · 90.549566 · 156

General · 3.910635 · 9.310999 · 166

Lleu_Cult · 2.988967 · 3.515817 · 57

TIC · 32.700711 · 173.190157 · 65

Vest_Cal · 3.786089 · 13.031813 · 132

a)

Efectueu l'anàlisi exploratòria corresponent i determineu si es compleixen els requisits per a la interpretació. Elimineu a continuació les observacions atípiques identificades.

b)

Interpreteu els resultats obtinguts indicant com es comporten els grups d'activitat respecte a la ràtio d'endeutament.

c)

Mesureu la força de la relació utilitzant el coeficient de correlació adequat (ràtio de correlació $\eta$).

Lliurament 3 - Exercici 2: Diagrames de dispersió i correlacions lineals

A partir de la taula de dades completa (sense suprimir cap registre), analitzeu dues relacions bivariants entre variables quantitatives:

a)

Relació entre Marge_Explotacio i ROA, i relació entre Actiu_S_Empleats i Vendes_S_Empleats. Genereu els gràfics de dispersió i calculeu els coeficients de correlació de Pearson corresponents.

b)

Expliqueu per què una de les relacions és directament interpretable i per què l'altra no ho és, argumentant sobre el patró visual i l'impacte dels valors atípics.

Pràctica 4 - Exercici 1: Interval de confiança per a proporció d'aliments, begudes i tabac

Es planteja la hipòtesi que el 15% de les empreses del sector es dediquen a la distribució d'aliments, begudes i tabac (categoria Ali_Beg_Tab de la variable Codi_Activitat).

a)

Obtingueu la proporció mostral d'aquest tipus d'empreses a partir de la taula de freqüències:

Codi_activitat

Frequency

Percent

Ali_Beg_Tab · 129 · 13.797

Alt · 185 · 19.786

Benzin · 45 · 4.813

Equip_Llar · 156 · 16.684

General · 166 · 17.754

Lleu_cult · 57 · 6.096

TIC · 65 · 6.952

Vest_cal · 132 · 14.118

Total · 935 · 100.000

b)

Comproveu la validesa dels supòsits requerits per a la construcció d'un interval de confiança asimptòtic per a la proporció poblacional:

c)

Calculeu i interpreteu un interval de confiança amb un nivell de significació de l'1% (confiança del 99%) per a la proporció poblacional:

$IC_{0{,}99}(\pi) = [$

;

$]$

Pràctica 4 - Exercici 2: Interval de confiança per a mitjana del marge d'explotació

Es vol estudiar la mitjana del marge d'explotació ( Marge_Explotacio) per determinar si és compatible amb un valor de referència sectorial recomanat pels experts del 0,05 (5%).

a)

Avalueu les condicions d'aplicabilitat. Considereu com a valors atípics aquells registres amb marge superior a 0,5 o inferior a -0,5 i procediu a la seva eliminació per depurar la mostra.

b)

Amb un risc d'error de l'1% o del 5% (calculeu amb $\alpha = 0{,}05$, és a dir, 95% de confiança), determineu i interpreteu l'interval de confiança per a la mitjana poblacional.

c)

Atesos els resultats de l'interval, és plausible afirmar que la mitjana del marge al sector assoleix el valor adequat del 5%? Raoneu la resposta.

9 Lliurament 5 - Exercici 1: Contrast d'hipòtesis per a proporció de distribució d'aliments

Es contrasta la hipòtesi que exactament el 15% de les empreses distribueixen aliments, begudes i tabac ( Codi_Activitat == "Ali_Beg_Tab").

a.

Determineu la proporció mostral.

b.

Verifiqueu els supòsits necessaris per a dur a terme el contrast d'hipòtesis.

c.

Especifiqueu formalment el contrast: hipòtesi nul·la i alternativa, expressió de l'estadístic de contrast i la seva distribució de referència teòrica.

d.

Resoleu el contrast per a un nivell de significació $\alpha = 0,01$ (risc de l'1%) emprant tant la regla del valor crític com el p-valor. Interpreteu el resultat.

e.

Comproveu si l'interval de confiança al 99% és congruent amb la decisió adoptada.

f.

Sense càlculs addicionals, raoneu si un interval al 95% de confiança seria més ample o més estret que l'interval al 99%.

Lliurament 5 - Exercici 2: Contrast d'hipòtesis per a la mitjana del marge d'explotació

A partir de la recomanació dels experts sectorials que situen el marge mitjà adequat en un 5% ($\mu = 0{,}05$), contrasteu si el marge mitjà poblacional de les empreses és efectivament igual a 0,05.

a)

Verifiqueu les condicions d'aplicació per al contrast sobre la mitjana poblacional i elimineu els valors atípics (marges superiors a 0,5 o inferiors a -0,5).

b)

Especifiqueu formalment el contrast: plantejament teòric d'hipòtesis, estadístic de contrast i distribució de referència.

c)

Resoleu el contrast amb un nivell de significació $\alpha = 0{,}05$ i interpreteu el p-valor i la regió crítica.

d)

Justifiqueu si l'interval de confiança al 95% és congruent amb la resolució del contrast.

11. Lliurament 6 - Exercici 1: Contrast d'independència de khi-quadrat entre beneficis i activitat

Es vol avaluar a escala poblacional si la presència de beneficis d'explotació ( Beneficis) és estadísticament independent de l'activitat econòmica de l'empresa ( Codi_Activitat).

Statistics for All Table Factors

Pearson's Chi-squared test

----------------------------------------------------

Chi^2 = 8.3372 d.f. = 7 p = 0.304

a)

Formuleu el contrast d'hipòtesis pertinent especificant la hipòtesi nul·la en termes del coeficient $V$ de Cramér poblacional, l'estadístic de contrast i la seva distribució teòrica de referència amb els seus graus de llibertat.

b)

Comproveu formalment les condicions d'aplicabilitat necessàries per a aquest contrast.

Exercici 1 (cont.). Resolució del contrast d'independència

A partir de la taula de contingència entre el tipus d'activitat comercial ( Codi_activitat) i l'obtenció de beneficis ( Beneficis):

Recordeu que l'estadístic de khi-quadrat obtingut a la prova és $\chi^2 = 8{,}3372$ amb graus de llibertat $\mathrm{gl} = 7$ i $p\text{-valor} = 0{,}304$.

a)

Efectueu la resolució del contrast d'independència plantejat assumint un nivell de significació del 5%. Calculeu la mesura d'associació pertinent i exposeu les conclusions tant a través de la regió crítica com mitjançant el p-valor.

Exercici 2. Relació entre endeutament i activitat

Es pretén estudiar la relació existent entre l'endeutament d'una empresa ( Passiu_S_Patrimoni_Net) i el tipus de comerç o activitat ( Codi_Activitat). Treballarem amb la transformació logarítmica de la ràtio: log(Passiu_S_Patrimoni_Net).

a)

Formuleu el contrast d'hipòtesis pertinent per avaluar si existeix relació poblacional entre ambdues variables i exposeu les dues vies habituals per resoldre'l.

b)

Verifiqueu les condicions d'aplicació del contrast. Tingueu present que s'han de descartar aquells valors atípics influents que presentin un logaritme superior a 6.

c)

Executeu la resolució del contrast escollit amb un risc de l'1% o del 5% segons correspongui, calculant l'estadístic, el valor crític, el p-valor i la mesura de relació corresponent.

d)

A partir del gràfic d'intervals de confiança de les mitjanes poblacionals per a cada grup, comenteu les conclusions finals obtingudes.

14 Lliurament 7. Model de regressió múltiple

Es vol modelitzar el sou mitjà dels treballadors ( Sou_Mitja) a partir de sis característiques de les empreses: actiu total ( Actiu_Total), liquiditat ( Actiu_Corrent_S_Passiu_Corrent), endeutament ( Passiu_S_Patrimoni_Net), composició del deute ( Passiu_Total_S_Passiu_Corrent), rotació dels actius ( Rotacio_Actius) i anys d'antiguitat ( Anys_Activitat).

> library(descr)

> library(RcmdrMisc)

> par(mfrow=c(2,3))

> plot(Actiu_Total, Sou_Mitja)

> plot(Actiu_Corrent_S_Passiu_Corrent, Sou_Mitja)

> plot(Passiu_Total_S_Passiu_Corrent, Sou_Mitja)

> plot(Passiu_S_Patrimoni_Net, Sou_Mitja)

> plot(Anys_Activitat, Sou_Mitja)

a)

Realitzeu l'anàlisi exploratòria per valorar la conveniència d'aplicar transformacions logarítmiques a les variables explicatives i a la variable dependent.

b)

Presenteu el diagrama de dispersió conjunt quan s'aplica el logaritme a totes les variables del model.

c)

Efectueu l'anàlisi de residus del model ajustat per MCO. Valoreu els supòsits d'esperança nul·la, homoscedasticitat, normalitat i presència de punts influents. Indiqueu quines accions caldria prendre si no es complís algun supòsit (sense dur-les a terme).

d)

Valoreu la bondat de l'ajust a través del coeficient de determinació corregit.

e)

Formuleu i interpreteu el contrast de significació global i els contrastos individuals al nivell del 5%. Quines variables tenen una influència positiva o negativa sobre el sou mitjà?

f)

Obtingueu els intervals de confiança al 95% per als paràmetres poblacionals i interpreteu els coeficients associats a l'actiu total i a la rotació dels actius.

15. Lliurament 8. Models niats i multicol·linealitat

A partir del conjunt de dades financeres, s'especifica inicialment un model log-log complet per explicar el sou mitjà ( model1):

$$\log(\text{Sou\_Mitja}) = \beta_0 + \beta_1 \log(\text{Actiu\_Total}) + \beta_2 \log(\text{Actiu\_Corrent\_S\_Passiu\_Corrent}) + \beta_3 \log(\text{Passiu\_S\_Patrimoni\_Net}) + \beta_4 \log(\text{Passiu\_Total\_S\_Passiu\_corrent}) + \beta_5 \log(\text{Rotacio\_Actius}) + \beta_6 \log(\text{Anys\_Activitat}) + u$$

a)

Estimeu el model1 i avalueu la significació global i individual de les variables explicatives al nivell del 5%.

b)

Estimeu un model reduït ( model2) que contingui únicament els regressors significatius del model1. Efectueu el contrast de models niats mitjançant anàlisi de variància. Determineu quin model és preferible i quines propietats dels estimadors MCO es veurien afectades en cas de mantenir el pitjor model.

> anova(model1, model2)

Analysis of Variance Table

Model 1: log(Sou_Mitja) ~ log(Actiu_Total) + log(Actiu_Corrent_S_Passiu_Corrent) +

log(Passiu_S_Patrimoni_Net) + log(Passiu_Total_S_Passiu_corrent) +

log(Rotacio_Actius) + log(Anys_Activitat)

Model 2: log(Sou_Mitja) ~ log(Actiu_Total) + log(Actiu_Corrent_S_Passiu_Corrent) +

log(Rotacio_Actius) + log(Anys_Activitat)

Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)

1 928 102.59

2 930 103.08 -2 -0.48371 2.1877 0.1128

c)

Calculeu els factors d'inflació de la variància (VIF) i les toleràncies del model2 per diagnosticar l'existència de multicol·linealitat.

> vif(model2)

log(Actiu_Total) log(Actiu_Corrent_S_Passiu_Corrent) log(Rotacio_Actius)

1.145843 1.066194 1.156927

log(Anys_Activitat)

1.063042

d)

Incorporeu al millor model les variables log(Passiu_Total) i log(Passiu_Corrent) per obtenir el model3. Estimeu-lo i comenteu la significació global i individual obtinguda.

e)

Avalueu els VIF i les toleràncies del model3. Quins canvis s'observen en la significació dels coeficients i quina decisió s'hauria de prendre respecte a aquestes variables?