Fundamentos de Estadística: Descriptiva y Probabilidad

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APUNTES FUNDAMENTOS DE ESTADÍSTICA Grado en Administración y Dirección de Empresas Universidad Politécnica de Cataluña AprenAI 2026-2027 Apuntes de Fundamentos de Estadística (ADE, UPC): tipología de variables, síntesis numérica, gráficos, axiomas de probabilidad y variables discretas.

APREN.AI Índice 1 Introducción a la estadística y tipología de variables Fases del proceso estadístico Conceptos fundamentales de la población Clasificación de las variables estadísticas 2 Síntesis numérica y representaciones gráficas Medidas de dispersión Herramientas visuales de representación Identificación de valores atípicos mediante el diagrama de caja 3 Fundamentos de probabilidad y variables aleatorias discretas Tipos de sucesos y enfoques de probabilidad Concepto de variable aleatoria Modelización de variables aleatorias discretas Esperanza y varianza de variables discretas 4 Formulario Estadística descriptiva y análisis de datos Probabilidad clásica y axiomática Variables aleatorias discretas Errores típicos Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Fundamentos de Estadística: Descriptiva y Probabilidad 1 1 Introducción a la estadística y tipología de variables AL ACABAR SABRÁS Diferenciar una población de una muestra representativa. Clasificar variables en cualitativas o cuantitativas y sus respectivos subtipos. Identificar las etapas estructuradas que componen un estudio estadístico. PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Por qué un analista de negocios no estudia siempre a la totalidad de sus clientes? La estadística es la disciplina encargada de recolectar, organizar, examinar, interpretar y exponer datos numéricos.

Su finalidad radica en transformar datos brutos en conocimiento procesable para respaldar la toma de decisiones en contextos regidos por la variabilidad. Proporciona estimaciones y aproximaciones objetivas para resolver interrogantes directivos en ámbitos como la economía, las finanzas, la contabilidad, el marketing y los procesos productivos.

Fases del proceso estadístico La resolución rigurosa de problemas mediante análisis de datos exige una serie ordenada de etapas: PROCESO Fases del procedimiento estadístico Planteamiento Fijar objetivos y formular preguntas directivas 1 Recogida Recopilar o estructurar bases de datos 2 Descriptiva Sintetizar la información numérica 3 Inferencia Ajustar modelos y proyectar resultados 4 Representación Exhibir hallazgos de forma visual 5 Diagnóstico Extraer conclusiones para decidir 6 Planteamiento del problema: Fijar con precisión la meta y las preguntas directivas que guían el análisis. Implica seleccionar las muestras y definir formalmente las variables.

1 Fundamentos de Estadística: Descriptiva y Probabilidad 2 COMPRUEBA 2 ¿Por qué la inferencia estadística resulta indispensable en la gestión empresarial? Conceptos fundamentales de la población Para construir una base de datos operativa, en la que cada fila representa un elemento muestral, se diferencian varios componentes teóricos: Individuo o unidad estadística: Cada uno de los elementos concretos que integran el colectivo sometido a investigación. Población ( ): Totalidad finita o infinita de componentes que comparten una característica común objeto de examen. Muestra ( ): Fracción representativa extraída de la población empleada para inferir conclusiones generales.

Universo: Grupo global de individuos que poseen el rasgo particular que se analiza. Clasificación de las variables estadísticas Una variable recoge cualquier atributo medible en los individuos. Su estructura matemática condiciona los procedimientos cuantitativos permitidos: Recogida de la información: Compilar bases de datos ya existentes o diseñar nuevos instrumentos de medición en caso de no disponer de registros previos. 2 Análisis descriptivo: Emplear herramientas de cálculo para resumir numéricamente los datos observados.

3 Inferencia estadística: Formular modelos matemáticos y supuestos probabilísticos para derivar patrones generales sobre la población y generar predicciones fundamentadas. 4 Representación de los resultados: Sintetizar la información descriptiva y los modelos mediante recursos visuales y gráficos. 5 Diagnóstico e interpretación: Extraer conclusiones finales fundamentadas que respondan a la problemática directiva original. 6 N n Fundamentos de Estadística: Descriptiva y Probabilidad 3 ESQUEMA Tipología de variables Naturaleza Subtipo Definición y escalas Casos representativos Cualitativa (categórica) Dicotómica Admite exactamente dos modalidades.

Hombre / mujer Politómica Admite más de dos modalidades. Puede ser nominal (sin orden interno) u ordinal (con jerarquía o rango ordenable). Edad (ordinal) Cuantitativa (numérica) Discreta Valores numéricos aislados sin cifras intermedias o decimales. Número de hijos; averías de máquinas Continua Admite infinitos valores intermedios y mediciones con decimales. Estatura en metros ERROR FRECUENTE Tratar variables cualitativas codificadas con números como si fueran cuantitativas. Asignar etiquetas numéricas a una categoría ordinal o nominal no permite aplicar sumas ni promedios continuos convencionales.

COMPRUEBA 3 ¿Cómo clasificarías el recuento de llamadas que recibe una centralita durante una hora de trabajo? Cualitativas Valores no numéricos o categorías Dicotómicas Exactamente dos modalidades Politómicas Nominales u ordinales Cuantitativas Mediciones y cantidades numéricas Discretas Sin valores decimales Continuas Con valores decimales e intervalos Fundamentos de Estadística: Descriptiva y Probabilidad 4 IDEAS CLAVE La estadística transforma datos numéricos en conclusiones objetivas para apoyar la toma de decisiones. La muestra ( ) es una fracción representativa de la población total ( ).

Las variables cualitativas expresan cualidades (nominales u ordinales) y las cuantitativas registran cantidades (discretas o continuas). COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 4. ¿Cuál es la diferencia fundamental entre una variable discreta y una continua? 5. ¿Qué distingue a una escala cualitativa ordinal de una nominal? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 6. ¿Qué representa el valor n minúscula en el análisis estadístico? 7. ¿Cómo se clasifica el número de hijos que tiene un empleado? 8. ¿Cuál es la primera etapa del procedimiento estadístico? 9. ¿Qué caracteriza a una variable dicotómica?

2 Síntesis numérica y representaciones gráficas AL ACABAR SABRÁS Interpretar la variabilidad como factor determinante en la calidad y gestión. Calcular y comparar la dispersión relativa mediante el coeficiente de variación. Identificar valores atípicos mediante el rango intercuartílico en un diagrama de caja.

n N El valor medio estimado a) El tamaño de la muestra b) El tamaño total poblacional c) El número de categorías d) Cualitativa ordinal a) Cuantitativa discreta b) Cuantitativa continua c) Cualitativa dicotómica d) Recogida de datos a) Inferencia poblacional b) Planteamiento del problema c) Análisis descriptivo d) Tiene infinitos valores a) Admite operaciones continuas b) Presenta tres o más clases c) Presenta solo dos categorías d) Fundamentos de Estadística: Descriptiva y Probabilidad 5 PIÉNSALO ANTES DE LEER 10 ¿Por qué un cliente de compras por internet no solo se fija en el plazo de entrega medio prometido?

En el control de operaciones y en la experiencia de servicio, los usuarios perciben la variabilidad y no únicamente el promedio. Un estándar de calidad busca estabilidad: que los paquetes de producto contengan volúmenes idénticos o que las entregas logísticas cumplan de forma uniforme el plazo estimado. La pérdida de uniformidad incrementa la dispersión de los datos. Medidas de dispersión Para cuantificar el alejamiento de las observaciones respecto a la media se recurre al cálculo de diferencias. Estas desviaciones individuales se elevan al cuadrado para evitar que los signos negativos se cancelen mutuamente en el sumatorio.

Desviación típica (o estándar): Expresa la dispersión en las mismas unidades físicas o monetarias que los datos originales (como euros o gramos). Coeficiente de variación: Mide la relación entre la desviación estándar y la media aritmética. Al dividir magnitudes con idéntica unidad, las dimensiones se anulan, ofreciendo un índice adimensional. Resulta de gran utilidad para contrastar la dispersión entre colectivos distintos: a mayor coeficiente de variación, superior es la heterogeneidad relativa. COMPRUEBA 11 ¿Por qué se utiliza el coeficiente de variación para comparar dos grupos de datos en lugar de la desviación típica?

Herramientas visuales de representación Gráfico Descripción principal Ventajas Limitaciones Histograma Expone la forma distributiva y el nivel de dispersión general de un conjunto de datos. Evidencia la media, la dispersión, los valores más recurrentes y la presencia de anomalías procedentes de distribuciones mezcladas. No incorpora el orden temporal en que se recogieron los registros. Fundamentos de Estadística: Descriptiva y Probabilidad 6 Gráfico Descripción principal Ventajas Limitaciones Diagrama de caja (Boxplot) Muestra la distribución de una variable cuantitativa integrando parámetros de tendencia central y dispersión posicional.

Refleja cuartiles, asimetría, valores extremos y diferencias de variabilidad. Omite el orden temporal y el tamaño muestral global. Se concentra en medidas de posición y atípicos. Serie temporal Registra la evolución cronológica de variables discretas o continuas en instantes continuados. Detecta tendencias seculares, patrones estacionales y correlaciones; ofrece visión panorámica micro o macroeconómica. Dificultad por la escasez de mediciones longitudinales sistemáticas. Identificación de valores atípicos mediante el diagrama de caja El diagrama de caja organiza la serie ordenada de observaciones para aislar los cuartiles ( , Mediana, ) y el recorrido intercuartílico, definido como .

Diagrama de caja con zonas de anomalías moderadas y extremas. A partir de los bordes de la caja central se establecen límites de tolerancia basados en múltiplos del rango intercuartílico: Valores normales o zona regular: Datos situados en el rango de hasta respecto a los cuartiles. Zona de anomalías moderadas: Observaciones ubicadas entre y por encima de o por debajo de (señaladas con asterisco). Zona de anomalías extremas: Datos que superan la distancia de desde los bordes de la caja (representados con círculos).

Q 1 Q 3 IQR = Q 3 Q 1 1,5 × IQR 1,5 × IQR 3,0 × IQR Q 3 Q 1 3,0 × IQR Fundamentos de Estadística: Descriptiva y Probabilidad 7 ERROR FRECUENTE Calcular la dispersión sumando directamente las desviaciones lineales respecto a la media sin elevarlas al cuadrado. Como la suma algebraica de las desviaciones respecto a la media es cero, se anularían los valores positivos y negativos. IDEAS CLAVE El cliente o usuario detecta la dispersión en los procesos antes que el valor medio. Elevar las desviaciones al cuadrado impide la anulación algebraica entre valores opuestos. El coeficiente de variación carece de unidades y sirve para contrastar la variabilidad relativa de distintos grupos.

El diagrama de caja cataloga valores anómalos moderados ( ) y extremos ( ). COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 12. ¿Qué problema comparten el histograma y el diagrama de caja respecto a los datos? 13. ¿A partir de qué distancia intercuartílica se clasifica un registro como anomalía moderada? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 14. ¿Por qué las desviaciones respecto a la media se elevan al cuadrado al calcular varianzas? 15. ¿Qué cualidad distingue al coeficiente de variación frente a la desviación estándar? 16. ¿Qué gráfico estadístico está especialmente diseñado para detectar tendencias y patrones temporales? 17. ¿Cómo se calcula el rango intercuartílico (IQR)?

1,5 × IQR 3,0 × IQR Para transformar datos continuos en discretos a) Para reducir el rango intercuartílico b) Para evitar cancelaciones de signos c) Para estandarizar las unidades físicas d) No tiene unidades de medida a) Solo se aplica a diagramas b) Depende de la escala temporal c) Siempre adopta valores negativos d) Diagrama de caja a) Serie temporal b) Histograma c) Tabla cruzada d) Media menos desviación típica a) Valor máximo menos valor mínimo b) Cuartil 3 menos cuartil 1 c) Cuartil 2 dividido entre dos d) Fundamentos de Estadística: Descriptiva y Probabilidad 8 3 Fundamentos de probabilidad y variables aleatorias discretas AL ACABAR SABRÁS Diferenciar sucesos elementales, seguros e imposibles dentro de un espacio muestral.

Calcular probabilidades mediante la regla de Laplace y los axiomas de Kolmogorov. Obtener la esperanza matemática y la varianza aplicando sus propiedades algebraicas. PIÉNSALO ANTES DE LEER 18 ¿Qué diferencia esencial existe entre la longitud calculada de una viga y las llamadas que recibirá un soporte técnico? La probabilidad es la medida numérica que calibra la tendencia a ocurrir de un determinado suceso. Todo proceso experimental genera un conjunto exhaustivo de posibles desenlaces denominado espacio muestral ( ). Cada elemento individual perteneciente a dicho conjunto constituye un suceso elemental.

Tipos de sucesos y enfoques de probabilidad Dentro del espacio muestral se identifican dos situaciones extremas: Suceso seguro: Aquel que se verifica en todos los casos posibles. Coincide exactamente con el espacio muestral y su probabilidad es 1 (o 100 %). Al lanzar un dado regular con , obtener un número entre 1 y 6 es seguro. Suceso imposible: No cuenta con ningún resultado favorable; coincide con el conjunto vacío ( ) y su probabilidad es 0 (o 0 %). En un dado convencional, obtener un 9 constituye un suceso imposible. Desde la perspectiva de la frecuencia empírica, la frecuencia relativa de un suceso tras repeticiones viene dada por .

La definición experimental postula que, al incrementar ilimitadamente las repeticiones, dicha frecuencia relativa converge hacia un valor estable denominado probabilidad del suceso, . Como resulta inviable repetir físicamente un experimento hasta el infinito, la teoría se fundamenta en la definición axiomática: Ω Ω Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A n f = A n /n A P (A) Primer axioma: Para cualquier suceso , su probabilidad está acotada: . 1 A 0 P (A) 1 Segundo axioma: La probabilidad del suceso seguro es la unidad, , de lo que se deduce y . Asimismo, para el suceso complementario se verifica .

2 P (Ω) = 1 P ( ) = 0 P (sucesos ) = i 1 P ( ) = A ˉ 1 P (A) Tercer axioma: Para dos sucesos disjuntos o mutuamente excluyentes, la probabilidad de la unión equivale a la suma de sus probabilidades: . 3 P (A B) = P (A) + P (B) Fundamentos de Estadística: Descriptiva y Probabilidad 9 Bajo la regla de Laplace, cuando los elementos del espacio muestral son equiprobables, la probabilidad de un suceso se calcula como el cociente entre el recuento de casos favorables a y el recuento total de resultados posibles. COMPRUEBA 19 Si una urna contiene 5 bolas rojas, 1 blanca y 1 negra, ¿cuál es la probabilidad de extraer una bola roja?

Concepto de variable aleatoria Mientras que una variable determinista arroja un resultado certero a través de una fórmula fija (como calcular la hipotenusa de un triángulo), una variable aleatoria es una función matemática que vincula un valor numérico real a cada desenlace del espacio muestral: Un ejemplo típico consiste en lanzar una moneda equilibrada tres veces consecutivas. El espacio muestral reúne 8 sucesos equiprobables: Cada configuración presenta una probabilidad de . Si se define la variable aleatoria como el «número de caras obtenidas», la probabilidad de registrar exactamente dos caras corresponde a los tres casos favorables: .

Modelización de variables aleatorias discretas Una variable discreta se caracteriza por asumir un número finito o numerable de valores aislados, cada uno con probabilidad estrictamente mayor que cero. La función de probabilidad (o función de masa de probabilidad) asigna a cada valor concreto la probabilidad precisa de que ocurra: . Cumple siempre que . Diagrama de barras de una función de probabilidad discreta.

A A X : Ω R Ω = {(C,C,C), (C,C,+), (+,C,C), (C,+,C), (C,+,+), (+, C, +), (+, +, C), (+, +, +)} 1/8 X P (X = 2) = 3/8 x i P (x ) = i P (X = x ) i P (x ) = i 1 Fundamentos de Estadística: Descriptiva y Probabilidad 10 Por su parte, la función de distribución acumulada calcula la probabilidad de que la variable adopte un valor inferior o igual a : Propiedades fundamentales de : Es monótona no decreciente: si , entonces . Se encuentra acotada entre 0 y 1: . Presenta discontinuidades en forma de saltos, originadas por la naturaleza discreta de la variable. Reglas operativas para intervalos discretos: , , , y .

Esperanza y varianza de variables discretas La esperanza matemática o media ponderada sintetiza el promedio teórico a largo plazo: Propiedades de la esperanza para constantes y variables aleatorias : La varianza o cuantifica la dispersión cuadrática en torno a la esperanza. Se calcula mediante la expresión abreviada: Propiedades clave de la varianza: Siempre es no negativa: . La varianza de un valor constante es nula: . Al multiplicar por una constante, la dispersión queda multiplicada al cuadrado: . ERROR FRECUENTE Extraer constantes multiplicativas fuera de la varianza sin elevarlas al cuadrado.

Mientras que en la esperanza lineal se cumple , en la varianza cuadrática la constante debe salir al cuadrado: .

F (a) a F (a) = P (X a) = P (x ) x a i i F (a) a b F (a) F (b) 0 F (a) 1 P (X < a) = F (a 1) P (X > a) = 1 F (a) P (X a) = 1 F (a 1) P (a < X b) = F (b) F (a) P (a X < b) = F (b 1) F (a 1) E(X) μ x μ = x E[X] = x i P (x ) i a, b X, Y E(a) = a E(b X) = b E(X) E(X ± Y ) = E(X) ± E(Y ) E(a + b X ± Y ) = a + b E(X) ± E(Y ) Var(X) σ x 2 σ = x 2 Var(X) = E[X ] 2 (E[X]) = 2 x i 2 P (x ) i μ x 2 Var(X) 0 Var(a) = 0 Var(b X) = b 2 Var(X) E(b X) = b E(X) Var(b X) = b 2 Var(X) Fundamentos de Estadística: Descriptiva y Probabilidad 11 IDEAS CLAVE El espacio muestral reúne todos los resultados posibles y su probabilidad total suma 1.

Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado del espacio muestral. La función de distribución acumulada es no decreciente y presenta saltos en variables discretas. La esperanza opera de forma lineal, mientras que las constantes multiplican al cuadrado dentro de la varianza: . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 20. ¿Por qué la varianza de cualquier variable aleatoria es siempre mayor o igual a cero? 21. Si una variable aleatoria discreta asume valores enteros, ¿cómo se expresa P(X a) en términos de la función de distribución acumulada F? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 22. ¿Qué valor asume la probabilidad del suceso imposible?

23. ¿Cuál es la expresión reducida para calcular la varianza de una variable discreta? 24. Si c es una constante fija, ¿cuál es el valor de Var(c)? 25. ¿Cómo se comporta la función de distribución acumulada F(x) en variables discretas?

F (a) = P (X a) Var(b X) = b 2 Var(X) 1 a) 0 b) Menor que cero c) Infinito d) E[X²] + (E[X])² a) E[X] - E[X²] b) E[X²] - (E[X])² c) (E[X])² - E[X²] d) 1 a) c² b) 0 c) c d) Adopta valores superiores a 1 a) Tiene forma continua lineal b) Presenta discontinuidades con saltos c) Es siempre decreciente d) Fundamentos de Estadística: Descriptiva y Probabilidad 12 4 Formulario Estadística descriptiva y análisis de datos Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa Planteamiento del problema Recogida de información Análisis descriptivo Inferencia estadística Representación de resultados Diagnóstico e interpretación Fases ordenadas del flujo de toma de decisiones estadísticas en la empresa.

Procedimiento sistemático para abordar problemas de gestión y toma de decisiones ante variabilidad. : Coeficiente de variación (adimensional); : Media aritmética muestral. Comparar la dispersión o variabilidad relativa entre diferentes grupos o variables con distintas unidades. : Rango intercuartílico; : Primer cuartil; : Tercer cuartil. Medir la dispersión central de una variable y delimitar las fronteras de valores atípicos en diagramas de caja. Zona moderada: y Zona extrema: o : Rango intercuartílico; : Cuartiles inferior y superior. Identificar y clasificar observaciones anómalas (moderadas con asterisco o extremas con círculo) en un diagrama de caja.

Probabilidad clásica y axiomática Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : Frecuencia relativa del suceso ; : Frecuencia absoluta; : Número total de ensayos. Definición frecuentista de probabilidad empírica; al tender , . : Probabilidad del suceso bajo la regla de Laplace. Calcular probabilidades en experimentos con espacio muestral finito de sucesos elementales equiprobables. : Suceso contrario o complementario de . Determinar la probabilidad de que no ocurra el suceso analizado. : Sucesos mutuamente excluyentes o disjuntos ( ). Tercer axioma de Kolmogorov: calcular la probabilidad de la unión de sucesos incompatibles.

CV = x ˉ Desviaci n t pica o ˊ ı ˊ CV x ˉ IQR = Q 3 Q 1 IQR Q 1 Q 3 [Q 1 1,5 IQR, Q ) 1 (Q + 3 1,5 IQR, Q + 3 3,0 IQR] < Q 1 3,0 IQR > Q + 3 3,0 IQR IQR Q , Q 1 3 f = A n n A f A A n A n n f A P (A) P (A) = Casos posibles Casos favorables a A P (A) A P ( ) = A ˉ 1 P (A) A ˉ A P (A B) = P (A) + P (B) A, B A B = Fundamentos de Estadística: Descriptiva y Probabilidad 13 Variables aleatorias discretas Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : Función de distribución acumulada evaluada en ; : Función de probabilidad. Obtener la probabilidad acumulada de que la variable adopte un valor menor o igual a .

: Función de distribución acumulada de una variable discreta con valores enteros. Calcular probabilidades puntuales e intervalos abiertos/cerrados en variables discretas a partir de la acumulada. : Extremos del intervalo de evaluación. Calcular probabilidades de que la variable caiga dentro de un rango determinado. o : Esperanza matemática o valor esperado de la variable discreta . Determinar el centro de gravedad o promedio ponderado a largo plazo de la distribución de probabilidad. : Constantes numéricas reales; : Variables aleatorias. Propiedad de linealidad de la esperanza ante transformaciones lineales y sumas de variables. o : Varianza de la variable discreta .

Cuantificar la dispersión cuadrática de los valores respecto a su promedio teórico. : Constantes numéricas fijas. Calcular la varianza de constantes y de variables multiplicadas por un factor escalar. Errores típicos Cancelación de sumas en la dispersión: Sumar desviaciones simples respecto a la media en lugar de elevarlas al cuadrado ( ). Extracción lineal en la varianza: Olvidar que las constantes multiplicativas salen al cuadrado al aplicar varianza: y no . Cálculo de intervalos en variables discretas: Aplicar las reglas de variables continuas sin restar 1 al extremo inferior para sucesos estrictos o acumulados anteriores (por ejemplo, confundir con en lugar de ).

F (a) = P (X a) = P (x ) x a i i F (a) a P (x ) i a P (X < a) = F (a 1) P (X > a) = 1 F (a) P (X a) = 1 F (a 1) F P (a < X b) = F (b) F (a) P (a X < b) = F (b 1) F (a 1) a, b μ = x E[X] = x i P (x ) i E[X] μ x X E(a + bX ± Y ) = a + b E(X) ± E(Y ) a, b X, Y σ = x 2 Var(X) = E[X ] 2 (E[X]) = 2 x i 2 P (x ) i μ x 2 Var(X) σ x 2 X Var(a) = 0 Var(b X) = b 2 Var(X) a, b (x i ) = x ˉ 0 Var(bX) = b Var(X) 2 bVar(X) P (X a) 1 F (a) 1 F (a 1) Fundamentos de Estadística: Descriptiva y Probabilidad 14 Soluciones de las preguntas de repaso 1. Porque estudiar la población completa resulta inviable económicamente o físicamente; se selecciona una muestra para inferir conclusiones sobre el total. 2.

Permite estudiar una muestra representativa y tomar decisiones que afectan a toda la población sin necesidad de analizar a cada cliente individualmente. 3. Es una variable cuantitativa discreta, ya que toma valores enteros contables sin admitir subdivisiones fraccionarias. 4. La variable discreta adopta valores numéricos aislados enteros, mientras que la continua puede registrar valores decimales infinitos en un intervalo. 5. La escala ordinal permite establecer un orden o jerarquía entre categorías, mientras que en la nominal no existe ninguna relación de orden natural. 6. b) El tamaño de la muestra.

El símbolo n minúscula denota habitualmente el número de elementos de la muestra, mientras que N representa la población total. 7. b) Cuantitativa discreta. Es cuantitativa discreta porque surge de un recuento numérico sin decimales. 8. c) Planteamiento del problema. El proceso arranca con el planteamiento del problema para fijar metas, preguntas, muestras y variables. 9. d) Presenta solo dos categorías. Una variable cualitativa dicotómica se define por admitir únicamente dos modalidades excluyentes. 10. Porque la variabilidad excesiva genera incertidumbre; el cliente valora la constancia de que los pedidos lleguen puntuales sin oscilaciones impredecibles. 11.

Porque carece de unidades al dividirse la desviación por la media, lo que permite comparar dispersiones relativas directamente entre colectivos heterogéneos. 12. Ninguno de los dos gráficos preserva la secuencia u orden temporal en el que ocurrieron las observaciones. 13. Cuando dista más de por debajo de o por encima de . 14. c) Para evitar cancelaciones de signos. Al elevar las desviaciones al cuadrado se eliminan los signos negativos, impidiendo que la suma se cancele. 15. a) No tiene unidades de medida. Al ser el cociente entre desviación y media, las unidades se cancelan, permitiendo comparar colectivos con magnitudes dispares. 16. b) Serie temporal.

La serie temporal compila mediciones en periodos contiguos para revelar trayectorias, correlaciones y tendencias. 17. c) Cuartil 3 menos cuartil 1. El rango intercuartílico se obtiene restando el primer cuartil al tercer cuartil: IQR = Q3 - Q1. 18. La longitud de la viga es determinista al depender de dimensiones fijas, mientras que las llamadas recibidas forman una variable aleatoria sujeta a incertidumbre. 19. Aplicando la regla de Laplace con resultados equiprobables, hay 5 casos favorables sobre 7 posibles: P(roja) = 5/7. 20. Porque se calcula como un promedio de desviaciones elevadas al cuadrado multiplicadas por probabilidades positivas, lo que impide resultados negativos. 21.

Se formula restando el acumulado previo a la unidad: . 1,5 × IQR Q 1 Q 3 P (X a) = 1 F (a 1) Fundamentos de Estadística: Descriptiva y Probabilidad 15 22. b) 0. El suceso imposible carece de elementos favorables en el espacio muestral y su probabilidad es exactamente 0. 23. c) E[X²] - (E[X])². La varianza equivale al promedio de los cuadrados menos el cuadrado de la esperanza: E[X²] - (E[X])². 24. c) 0. Una constante no presenta variabilidad en sus valores; por tanto, su varianza es idénticamente 0. 25. c) Presenta discontinuidades con saltos. Al tratarse de variables discretas, la probabilidad se acumula en puntos concretos, produciendo saltos o discontinuidades.

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