Models matemàtics discrets: Malthus, Leslie i estabilitat

I 0 flashcards i 3 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS MATEMÀTIQUES Grau en Biotecnologia Universitat de Vic - Universitat Central de Catalunya AprenAI 2026-2027 Apunts de models discrets per a Biotecnologia: creixement exponencial, Beverton-Holt, Ricker, càlcul d'equilibris, matrius de Leslie i valors propis.

APREN.AI Índex 1 Models unidimensionals de creixement i decreixement poblacional Model exponencial geomètric o de Malthus Comportament quan el factor de creixement és inferior a la unitat Models de creixement restringit per capacitat de càrrega 2 Punts d'equilibri i anàlisi d'estabilitat Definició i determinació de punts d'equilibri Criteri de derivabilitat per a l'estabilitat local 3 Models multidimensionals lineals: Matrius de Leslie i valors propis Estructuració poblacional i formulació matricial Construcció sistemàtica de la matriu de Leslie Valors propis, vectors propis i dinàmica a llarg termini Altres aplicacions de models discrets multidimensionals 4 Formulari Models unidimensionals de població Punts d'equilibri i anàlisi d'estabilitat Models multidimensionals i matrius de Leslie Errors típics Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Models matemàtics discrets: Malthus, Leslie i estabilitat 1 1 Models unidimensionals de creixement i decreixement poblacional EN ACABAR SABRÀS Construir equacions en diferències per a processos malthusians i afins. Calcular el temps necessari per assolir un cert llindar de població. Identificar i formular els models restringits de Beverton-Holt, Ricker i logístic. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Què succeeix en una població si cada any es redueix un 11 % però s'hi afegeixen 100 individus constants?

Model exponencial geomètric o de Malthus Els models discrets descriuen l'evolució temporal d'una magnitud en intervals de temps regulars . En el cas unidimensional, l'estat en el pas només depèn de l'estat anterior . El model de Malthus assumeix que la població creix o decreix de manera proporcional a la seva mida actual mitjançant un factor constant . L'equació recurrent s'expressa com: Aplicant la recurrència de manera successiva des d'un valor inicial , s'obté la solució explícita: Gràfica de la corba de creixement exponencial malthusià.

Δt k k 1 R x = k R x k 1 x 0 x = k R k x 0 Models matemàtics discrets: Malthus, Leslie i estabilitat 2 EXEMPLE Una soca de bacteris es duplica cada 20 minuts a partir de individus. L'equació explícita és . Per determinar quants passos calen per superar 100 bacteris: Com que els passos són discrets, calen intervals (120 minuts en total). De manera semblant, si una planta produeix 3 noves plantes per any i no sobreviu, la població es triplica a cada període: . Comportament quan el factor de creixement és inferior a la unitat Quan R < 1, la població pateix un decreixement exponencial fins a l'extinció. Gràfica del patró de decreixement exponencial per a R menor que u.

Considerem una població de 1.000 truites en un riu afectat per la contaminació, que perd un 11 % del seu cens cada any ( ). El factor de retenció o supervivència és . L'evolució temporal respon a . x = 0 3 x = k 2 k 3 2 k 3 > 100 2 > k 3 100 k ln2 > ln ( 3 100 ) k > ln2 ln(100/3) 5,06 k = 6 x = k 3 k x0 Δt = 1 any R = 1 0,11 = 0,89 x = k 0,89 k 1.000 Models matemàtics discrets: Malthus, Leslie i estabilitat 3 Gràfica de la caiguda poblacional anual amb factor de decreixement 0,89. Si s'introdueix una acció correctora de repoblació constant de exemplars anuals, l'equació lineal afí resultant és: Gràfica comparativa entre el model lliure i el model amb repoblació.

COMPROVA-HO 2 Quina és la diferència principal en l'evolució a llarg termini entre un model malthusià pur amb R < 1 i un model amb aportació externa constant N? N = 100 x = k R x + k 1 N = 0,89 x + k 1 100 Models matemàtics discrets: Malthus, Leslie i estabilitat 4 Models de creixement restringit per capacitat de càrrega El creixement indefinit no és realista a causa de la limitació de recursos disponibles en l'hàbitat. Quan la densitat augmenta, apareix una resistència ambiental reflectida en la capacitat de càrrega C. Els models consideren una relació funcional general .

Model Equació en diferències Característiques Beverton- Holt El numerador conserva el terme lineal de creixement malthusià; el denominador frena el creixement de forma asimptòtica sense sobrepassar mai C de forma caòtica. Ricker , amb Incorpora una regulació exponencial decreixent basada en la densitat per càpita d'individus. Logístic discret Aplica una correcció polinòmica directa sobre la taxa de creixement neta. A les taules següents es comparen les dinàmiques per a i amb condicions inicials tant inferiors com superiors a la capacitat de suport: Gràfica de convergència cap a la capacitat en Beverton-Holt.

x = k f(x ) k 1 x = k 1 + C (R 1) x k 1 R x k 1 x = k x k 1 er 1 ( C xk 1 ) r = ln R x = k x R k 1 ( C (R 1) x k 1 ) R = 1,3 C = 50 Models matemàtics discrets: Malthus, Leslie i estabilitat 5 Gràfica d'estabilització poblacional en el model de Ricker. EXEMPLE El salmó roig realitza una posta cada 4 anys ( ). Se'n coneixen les dades censals: a , a i a (valors en milions). Seguint el model de Ricker: Aquest sistema de dues equacions amb dues incògnites proporciona i milions d'individus. ERROR FREQÜENT No s'ha de confondre el paràmetre del model de Ricker amb el factor de reproducció . Recorda sempre la transformació abans de substituir les dades en l'exponent.

Δt = 4 anys x = 0 0,325 t = 0 x = 1 0,431 t = 4 x = 2 0,529 t = 8 0,431 = 0,325 e , 0,529 = r 1 ( C 0,325 ) 0,431 er 1 ( C 0,431 ) r = 0,519 C = 0,712 r R r = lnR Models matemàtics discrets: Malthus, Leslie i estabilitat 6 ESQUEMA Models discrets unidimensionals IDEES CLAU El model de Malthus condueix a un creixement exponencial desmesurat ( ) o a l'extinció ( ). L'addició d'un terme constant frena la davallada d'una població en declivi. Els models de creixement restringit incorporen la capacitat de càrrega per evitar que la població creixi indefinidament. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 3. A partir de quina relació es defineix el paràmetre en el model de Ricker? 4.

Què succeeix a les trajectòries de Beverton-Holt i Ricker si la població inicial se situa per sobre de ? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 5. Quin comportament presenta el model de Malthus pur quan el factor R és 0,89? 6. Quants passos discrets calen per triplicar x0 en un model xk = · x0?

Creixement il·limitat Model de Malthus pur Lineal afí Malthus amb aportació externa N Creixement restringit Regulats per capacitat C Beverton-Holt Saturació racional asimptòtica Ricker Regulació per densitat per càpita Logístic discret Correcció quadràtica interna R > 1 R < 1 N C r x 0 C Estabilització en 100 individus a) Decreixement exponencial cap a 0 b) Creixement logístic cap a C c) Oscil·lació periòdica constant d) 2k 1 pas a) 2 passos b) 3 passos c) 5 passos d) Models matemàtics discrets: Malthus, Leslie i estabilitat 7 7. En el model de Beverton-Holt, quin terme conté el numerador? 8. Quina limitació biològica resolen els models de Ricker i Beverton-Holt?

2 Punts d'equilibri i anàlisi d'estabilitat EN ACABAR SABRÀS Calcular algebraicament els punts d'equilibri en relacions de recurrència de primer ordre. Derivar funcions recurrents racionals i exponencials. Determinar l'estabilitat local aplicant el criteri de la primera derivada. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 9 Com podem predir si una població estabilitzada tornarà al seu equilibri després d'una petita pertorbació? Definició i determinació de punts d'equilibri DEFINICIÓ Un valor x_e s'anomena punt d'equilibri o punt fix d'un model discret si compleix l'equació: En el pla cartesià, aquests punts coincideixen amb les abscisses de les interseccions entre la corba i la bisectriu .

Analitzem la presència de punts d'equilibri en els diferents models: xk-1 · a) er 1 + xk-1 b) R - C c) R · xk-1 d) L'existència de depredadors externs a) La impossibilitat de creixement infinit b) La dependència de classes d'edat c) La mortalitat exclusivament juvenil d) x = k f(x ) k 1 x = e f(x ) e y = f(x) y = x Model de Malthus: L'únic equilibri és el trivial: l'absència d'individus. 1 x = R x x(1 R) = 0 x = e 0 (per a R = 1) Models matemàtics discrets: Malthus, Leslie i estabilitat 8 COMPROVA-HO 10 Quins punts d'equilibri tenen en comú els models de Beverton-Holt, Ricker i el logístic?

Criteri de derivabilitat per a l'estabilitat local Per saber si una població s'acosta a l'equilibri (atractor) o se n'allunya (repulsor), s'empra el criteri de la primera derivada: CRITERI D'ESTABILITAT Sigui un punt d'equilibri de la relació recurrent : Si "f'(x_e)" < 1, l'equilibri és estable (atractiu). Si "f'(x_e)" > 1, l'equilibri és inestable (repulsiu). Aplicació del criteri als principals models: Model Expressió de f(x) Derivada f'(x) Comportament dels punts Malthus pur : inestable si ; estable si . Decreixement amb N és estable perquè .

Model malthusià amb aportació N: Per a i : 2 x = R x + N x(1 R) = N x = e 1 R N R = 0,89 N = 100 x = e = 1 0,89 100 0,11 100 909,1 Model de Beverton-Holt: D'on sorgeixen dues solucions: el punt d'extinció x_e = 0 i la capacitat màxima de càrrega x_e = C. 3 x = 1 + C (R 1)x R x x 1 + R = ( C (R 1)x ) 0 Model de Ricker i Model Logístic: Tots dos presenten idèntics punts d'equilibri algebraics: 4 x = e 0 i x = e C x e x = k f(x ) k 1 f(x) = R x f (x) = R f (0) = R R > 1 R < 1 f(x) = R x + N f (x) = R x = e 1 R N R < 1 Models matemàtics discrets: Malthus, Leslie i estabilitat 9 Model Expressió de f(x) Derivada f'(x) Comportament dels punts Beverton-Holt En , (inestable). En , (estable).

Ricker En , (inestable). En , . ERROR FREQÜENT Avaluar la funció original en comptes de la seva derivada per deduir l'estabilitat. Comprova sempre que estàs derivant la funció abans d'aplicar el mòdul de la condició. PROCÉS Anàlisi d'estabilitat d'un equilibri 1 Equació x = f(x) Determinar les arrels que conformen els equilibris xe 2 Càlcul de f'(x) Obtenir la primera derivada de la funció recurrent 3 Avaluació en xe Calcular el valor numèric f'(xe) 4 Diagnòstic Estable si "f'(x_e)" < 1 IDEES CLAU Un punt d'equilibri és una solució de l'equació de recurrència estàtica . La condició d'estabilitat exigeix que el valor absolut de la derivada sigui estrictament menor que la unitat: .

En Beverton-Holt i Ricker amb capacitat de càrrega i taxa positiva, és inestable mentre que la capacitat resulta atractiva. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 11. Per què l'origen xe = 0 és un equilibri inestable quan la taxa de creixement R és superior a 1? 12. Quin valor pren f'(C) en el model de Beverton-Holt? f(x) = 1+ C (R 1)x R x f (x) = 1+ ( C (R 1)x ) 2 R x = e 0 f (0) = R > 1 x = e C f (C) = < R 1 1 f(x) = x er 1 ( C x ) f (x) = e 1 r(1 x/C) ( C rx ) x = e 0 f (0) = e = r R > 1 x = e C f (C) = 1 r f(x ) e f (x ) e x = f(x) f (x ) < e 1 x = e 0 x = e C Models matemàtics discrets: Malthus, Leslie i estabilitat 10 Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 13.

Com es defineix formalment un punt fix o d'equilibri xe d'una recurrència xk = f(xk-1)? 14. Si "f'(xe)" = 1,45 en un punt d'equilibri, quina és la seva estabilitat? 15. Quin és el punt d'equilibri no trivial del model malthusià amb correcció xk = R · xk-1 + N? 16. En el model de Beverton-Holt amb creixement (R > 1), com es classifica l'equilibri xe = 0? 3 Models multidimensionals lineals: Matrius de Leslie i valors propis EN ACABAR SABRÀS Escriure el sistema d'equacions d'una població estructurada en forma matricial. Construir la matriu de Leslie a partir de les taxes d'edat i supervivència. Interpretar el paper del valor propi dominant i del vector propi associat en la dinàmica asimptòtica.

PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 17 Per què no n'hi ha prou amb comptar el nombre total d'animals per saber com evolucionarà una població? Estructuració poblacional i formulació matricial Els models unidimensionals assumeixen individus idèntics. En la realitat biològica, la supervivència i la fertilitat varien amb l'edat. Les poblacions es divideixen en classes mitjançant un vector d'estat .

Per exemple, considerant individus joves i adults on els joves no es reprodueixen, tenen un 20 % de supervivència cap a la fase adulta (la resta moren), els adults tenen una taxa de fertilitat i una supervivència del 60 %: f(xe) = 0 a) "f'(xe)" = 1 b) xe = f(xe) c) f'(xe) = 0 d) Inestable o repulsiu a) Indeterminat sense la segona derivada b) Globalment atractor c) Asimptòticament estable d) xe = N / (1 - R) a) xe = C / N b) xe = N / (R - 1) c) xe = (1 - R) / N d) Punt d'equilibri asimptòtic a) Punt d'equilibri inestable b) Punt periòdic estable c) Capacitat de saturació d) (t) x J(t) A(t) r { Models matemàtics discrets: Malthus, Leslie i estabilitat 11 Aquest sistema lineal s'expressa de manera matricial compacta mitjançant la matriu de Leslie L: EXEMPLE En una au faisànida es classifiquen les femelles en cries ( ), joves ( ) i adultes ( ).

Les taxes observades són: Cries: no fèrtils, supervivència del 15 % cap a joves. Joves: fertilitat d'1,87 cries/femella, supervivència del 38 % cap a adultes. Adultes: fertilitat de 2,21 cries/femella, supervivència de manteniment del 45 %. El vector poblacional i la seva matriu quadrada de Leslie queden determinats per: Un altre exemple amb aus joves i adultes: els joves passen a adults l'any següent amb un 25 % d'èxit (supervivència del 0,25) i no crien. Les femelles adultes tenen 4 cries femelles per any i tenen una taxa de supervivència del 75 % (0,75). Amb una població inicial de 2 joves i 10 adultes, a l'any 3 la distribució resultant és de 64 joves i 20 adultes.

Taula de distribució censal i natalitat femenina als EUA (1940-1955). A la taula anterior es recullen les dades censals de dones i filles als Estats Units (1940-1955) distribuïdes en tres franges d'edat ( , i ), base per a la projecció d'estructures demogràfiques. Construcció sistemàtica de la matriu de Leslie Si una femella ateny una edat màxima i el cicle es divideix en classes d'edat, l'amplada de l'interval discret és .

Les classes es numeren d'1 a : { J(t + 1) = r A(t) A(t + 1) = 0,2 J(t) + 0,6 A(t) = ( J(t + 1) A(t + 1) ) ( 0 0,2 r 0,6 ) ( J(t) A(t) ) (t + x 1) = L (t) x C J A 3 × 3 (t) = x , L = C(t) J(t) A(t) 0 0,15 0 1,87 0 0,38 2,21 0 0,45 0 14 15 29 30 44 E n Δt = E/n n Models matemàtics discrets: Malthus, Leslie i estabilitat 12 Per a cada classe es quantifica la taxa reproductiva i la probabilitat de transició o supervivència cap a la classe següent. L'estructura d'una matriu de Leslie és sempre quadrada: Per a dividit en franges ( ) amb paràmetres i taxes de supervivència , la matriu és: COMPROVA-HO 18 Quina informació demogràfica recull exactament la primera fila d'una matriu de Leslie?

Valors propis, vectors propis i dinàmica a llarg termini Per a una matriu quadrada , un escalar és un valor propi i un vector no nul és el seu corresponent vector propi associat si compleixen: Es troben mitjançant el polinomi característic , i els vectors resolent el sistema homogeni associat . Les matrius que admeten una base completa de vectors propis permeten la descomposició per diagonalització , on conté els valors propis i té els vectors propis per columnes. Quan no és possible diagonalitzar, admeten una descomposició en matriu de Jordan . PROPIETATS FONAMENTALS DE LA MATRIU DE LESLIE 1. Tota matriu de Leslie té un únic valor propi positiu dominant _1 de caràcter simple.

El seu vector propi associat posseeix totes les components estrictament del mateix signe. 2. Si aquest valor dominant té un mòdul estrictament superior a qualsevol altre valor propi, a llarg termini: La taxa de creixement global de la població tendeix exactament a ( ). La proporció d'individus a cada classe d'edat s'estabilitza de forma constant, d'acord amb el pes relatiu de les components del vector propi associat.

Classe i (i 1) , i [ n E n E ] i a i b i L = a 1 b 1 0 0 a 2 0 b 2 0 a 3 0 0 b n 1 a n 1 0 0 0 a n 0 0 0 E = 20 anys n = 4 Δt = 5 anys a = (0, 1, 3, 2) b = (1/4, 1/2, 1/10) L = 0 1/4 0 0 1 0 1/2 0 3 0 0 1/10 2 0 0 0 A λ x A = x λ x det(A λI) = 0 (A λI) = x 0 A = C D C 1 D C A = C J C 1 λ λ 1 x = k λ 1 x k 1 Models matemàtics discrets: Malthus, Leslie i estabilitat 13 Altres aplicacions de models discrets multidimensionals El formalisme matricial s'estén a la interacció de múltiples poblacions o a processos de transferència: Interacció d'espècies en un ecosistema: En un model depredador-presa mensual entre conills ( ) i guineus ( ), on els conills es redueixen a la meitat mensualment i les guineus depenen tant de la seva pròpia supervivència com de la presència de conills de l'etapa anterior: Mobilitat i transport urbà (Bicing): La transició nocturna de bicicletes entre quatre zones d'una ciutat (Alta , Baixa , Est i Oest ) genera una matriu d'intercanvi de fluxos: ERROR FREQÜENT En plantejar matrius de transició o mobilitat, ordenar les probabilitats per files en comptes de per columnes.

Les components que surten d'un mateix estat o zona d'origen han d'ocupar sempre la mateixa columna i la seva suma ha de ser igual a 1. PROCÉS Evolució poblacional amb matriu de Leslie 1 Vector inicial Distribució inicial d'individus a l'instant zero 2 Multiplicació matricial Aplicació successiva de la matriu de Leslie L 3 Règim asimptòtic El creixement queda estabilitzat pel valor propi dominant 4 Proporció estable Estructura d'edats alineada amb el vector propi associat IDEES CLAU Les matrius de Leslie descriuen la dinàmica de poblacions estructurades per edats mitjançant vectors.

La primera fila d'una matriu de Leslie allotja les fertilitats, mentre que la subdiagonal conté les taxes de supervivència. El valor propi dominant determina la taxa de creixement asimptòtica de tota la població a llarg termini. El vector propi associat al valor propi dominant fixa l'estructura demogràfica final d'edats. x y = ( x 1 y 1 ) ( 1/2 1/2 0 1 ) ( x 0 y 0 ) A B E W = x = x A x B x E xW 0,10 0,60 0,20 0,10 0,02 0,50 0,35 0,13 0,10 0,25 0,25 0,40 0,15 0,20 0,40 0,25 x 0A x 0B x 0E x 0W Models matemàtics discrets: Malthus, Leslie i estabilitat 14 COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 19. On s'ubiquen les probabilitats de supervivència en una matriu de Leslie? 20.

Què expressa el vector propi de Leslie normalitzat respecte a la suma dels seus elements? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 21. Quina forma geomètrica tenen sempre les matrius de Leslie? 22. Quin paper té el valor propi positiu dominant en una matriu de Leslie? 23. Quina equació s'utilitza per trobar els valors propis d'una matriu A? 24. En el model de mobilitat de bicicletes, a què correspon la suma dels elements d'una columna d'origen? 4 Formulari Models unidimensionals de població Fórmula o procediment Què significa cada símbol Quan s'utilitza : població al pas ; : factor de reproducció net; : població inicial.

Creixement o decreixement malthusià discret lliure sense limitació de recursos. : nombre constant d'individus afegits (repoblació) o extrets a cada període. Model malthusià amb immigració o aportació externa constant per període.

Vectors fila a) Matrius quadrades b) Matrius rectangulars 2x3 c) Matrius triangulars superiors pures d) Determina el determinant nul a) Marca la mortalitat infantil b) Indica el factor de creixement asimptòtic c) Elimina les classes d'edat adultes d) A + λ·I = 0 a) det(A - λ·I) = 0 b) det(A) = λ c) A · λ = I d) Al valor propi dominant a) A 1 (el 100 % de retorn) b) A la capacitat del pàrquing c) Al nombre de bicicletes noves d) x = k R x = k 1 R k x 0 x k k R x 0 x = k R x + k 1 N N Models matemàtics discrets: Malthus, Leslie i estabilitat 15 Fórmula o procediment Què significa cada símbol Quan s'utilitza : capacitat de càrrega màxima de l'hàbitat; : taxa de creixement màxima inicial.

Model de Beverton-Holt: creixement amb saturació asimptòtica sense fluctuacions caòtiques. : taxa intrínseca de creixement per càpita; : capacitat de càrrega. Model de Ricker: poblacions amb densodependència exponencial (peixos, insectes). : factor bàsic; : capacitat de suport de l'ecosistema. Model logístic discret: amortiment poblacional per terme quadràtic directe. Punts d'equilibri i anàlisi d'estabilitat Fórmula o procediment Què significa cada símbol Quan s'utilitza : punt fix o valor d'equilibri demogràfic; : funció recurrent del model. Càlcul algebraic dels estats estacionaris d'una dinàmica unidimensional.

Resolució de l'equilibri lineal afí: : població d'equilibri estable sostinguda per l'aportació externa. Càlcul de la població límit en espècies amb declivi ( ) i repoblació . Derivar Avaluar Comprovar si (estable) o (inestable) : derivada primera de la funció de recurrència avaluada al punt d'equilibri. Procediment per determinar l'estabilitat local davant de petites pertorbacions. (Beverton-Holt) (Ricker) : equilibri a la capacitat de càrrega; , : paràmetres de creixement. Diagnòstic directe de l'estabilitat de l'equilibri no trivial .

Models multidimensionals i matrius de Leslie Fórmula o procediment Què significa cada símbol Quan s'utilitza : vector de població per edats al temps ; : matriu de Leslie ( ). Projecció temporal d'una població estructurada per intervals regulars d'edat. Plantejar a la 1a fila Col·locar a la subdiagonal Omplir la resta amb 0 : taxa de fertilitat del grup ; : probabilitat de supervivència del pas . Procediment per construir la matriu de Leslie a partir de dades del cicle vital. : valors propis de la matriu ; : matriu identitat d'ordre . Càlcul del polinomi característic per obtenir les taxes pròpies del sistema.

x = k 1 + C (R 1)x k 1 R x k 1 C R x = k x k 1 er 1 ( C x k 1 ) r = ln R C x = k x R k 1 ( C (R 1)x k 1 ) R C x = e f(x ) e x e f x = R x + N x = e 1 R N x e R < 1 N f(x) f (x ) e f (x ) < e 1 f (x ) > e 1 f (x ) e f (C) = R 1 f (C) = 1 r C R r x = e C (t + x 1) = L (t) x (t) x t L n × n a i b i a i i b i i i + 1 det(A λI) = 0 λ A I n Models matemàtics discrets: Malthus, Leslie i estabilitat 16 Fórmula o procediment Què significa cada símbol Quan s'utilitza : vector propi associat al valor propi . Determinació de les proporcions d'estat o de classes d'edat en règim estacionari. i : valor propi dominant positiu; : vector propi associat.

Predicció asimptòtica del creixement total i de la distribució percentual d'edats. Errors típics Confondre la taxa intrínseca del model de Ricker amb el factor de multiplicació (recordar que ). Avaluar la funció de recurrència directa en lloc de la seva derivada en comprovar l'estabilitat. Intercanviar files per columnes en les matrius de transició o Leslie: les taxes de sortida d'un mateix estat o edat han d'estar sempre a la mateixa columna. (A λI) = x 0 x λ x k λ 1 x k 1 / v v1 1,i λ 1 v1 r R r = lnR f(x ) e f (x ) e Models matemàtics discrets: Malthus, Leslie i estabilitat 17 Solucions de les preguntes de repàs 1.

La població no s'extingeix; la pèrdua percentual es compensa amb l'aportació externa fins a estabilitzar-se. 2. En el model pur la població s'extingeix asimptòticament cap a zero, mentre que l'aportació externa N sosté un nivell de població positiu a llarg termini. 3. Es defineix mitjançant el logaritme neperià del factor de creixement original: . 4. La població disminueix progressivament fins a convergir cap al valor de la capacitat de càrrega . 5. b) Decreixement exponencial cap a 0. Quan R és menor que 1, les potències de R tendeixen a 0, causant un decreixement continu. 6. b) 2 passos. Amb k = 1 es duplica (2) i amb k = 2 es quadruplica (4), superant el triple. 7. d) R · xk-1.

El numerador manté la forma del model de creixement malthusià pur R · . 8. b) La impossibilitat de creixement infinit. Els dos models incorporen una capacitat màxima de càrrega per reflectir recursos finits. 9. Comprovant si el mòdul de la derivada de la funció recurrent en el punt d'equilibri és menor que 1. 10. Tots tres models comparteixen exactament els mateixos equilibris: l'estat trivial buit xe = 0 i la capacitat de càrrega de l'hàbitat xe = C. 11. Perquè la derivada compleix , fent que qualsevol petita quantitat inicial s'allunyi del zero. 12. Pren el valor , el qual és inferior a 1 sempre que . 13. c) xe = f(xe). Un equilibri roman inalterat en aplicar la funció: compleix = f( ). 14.

a) Inestable o repulsiu. Com que el mòdul de la derivada supera 1, les trajectòries se n'allunyen. 15. a) xe = N / (1 - R). Aïllant x = R·x + N s'obté directament x·(1 - R) = N, per tant x = N / (1 - R). 16. b) Punt d'equilibri inestable. La derivada en zero val R > 1, convertint l'origen en un repulsor. 17. Perquè la capacitat de sobreviure i de reproduir-se depèn de l'edat dels individus que la componen. 18. Conté les capacitats reproductives o taxes de fecunditat mitjanes de cadascun dels grups d'edat de la població. 19. S'ubiquen exclusivament a la subdiagonal principal, connectant la classe amb la classe . 20.

Expressa la proporció o distribució percentual d'individus que hi haurà a cada franja d'edat en l'estat asimptòtic. 21. b) Matrius quadrades. Com que connecten n classes d'edat amb les mateixes n classes següents, són sempre matrius quadrades n x n. 22. c) Indica el factor de creixement asimptòtic. A llarg termini, la població total creix multiplicant-se pel valor propi dominant a cada període. 23. b) det(A - λ·I) = 0. L'equació característica s'obté anul·lant el determinant de la matriu A menys lambda vegades la identitat. 24. b) A 1 (el 100 % de retorn). Representa la totalitat de la fracció distribuïda de bicicletes procedents d'aquella zona concreta.

r = ln R C x k 1 f (0) = R > 1 f (C) = = R2 R R 1 R > 1 x e x e i i + 1 Models matemàtics discrets: Malthus, Leslie i estabilitat 18