Models Exponencials Discrets i Continus. Estudi de Funcions

I 0 flashcards i 2 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS MATEMÀTIQUES Grau en Biotecnologia Universitat de Vic - Universitat Central de Catalunya AprenAI 2026-2027 Apunts de Matemàtiques per a Biotecnologia sobre models exponencials discret i continu, temps de duplicació epidemiològic, dominis i anàlisi de funcions. APREN.AI Índex 1 Modelització del creixement: models exponencials discret i continu Model exponencial discret Model exponencial continu 2 Conceptes fonamentals per a l'anàlisi de funcions Domini d'una funció Propietats analítiques: continuïtat, derivabilitat i elements geomètrics Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Models Exponencials Discrets i Continus. Estudi de Funcions 1 1 Modelització del creixement: models exponencials discret i continu EN ACABAR SABRÀS Construir el model de duplicació discret establint la relació entre període i salts temporals. Deduir el valor del paràmetre k en un model continu a partir del temps de duplicació. Aïllar analíticament el període de duplicació emprant propietats dels logaritmes naturals. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Si una quantitat es duplica cada 3 dies, creix el mateix percentatge el primer dia que el tercer?

Davant d'un fenomen biològic o epidemiològic, el primer pas consisteix a recollir dades fiables i organitzar-les per analitzar l'evolució d'una variable en el temps. Com a cas pràctic, considerem l'evolució dels casos confirmats durant l'inici d'una epidèmia (per exemple, les dades de Covid-19 a Catalunya entre el 29/02/2020 i el 31/03/2020). Fixem l'origen temporal en per al dia inicial, amb un valor base de individus infectats. Model exponencial discret Quan s'observa que el nombre d'individus es duplica a intervals regulars de temps (per exemple, cada 2 o 3 dies), podem aproximar la dinàmica mitjançant un model exponencial discret.

Si establim un període de duplicació estimat de dies, el recompte després de cicles segueix l'expressió següent: L'instant de temps corresponent a cada cicle ve donat per la relació . Aquest plantejament prediu salts bruscos en lloc d'una variació progressiva. Variable Temps (dies) 0 2,72 5,52 8,32 11,12 13,92 Infectats previstos 249 498 996 1992 3984 7968 COMPROVA-HO 2 Quina limitació principal presenta el model discret a l'hora de descriure una epidèmia real?

Model exponencial continu Per descriure la dinàmica en qualsevol instant continu, emprem una funció exponencial de base natural: t = 0 N = 0 249 T T = 2,72 n N = n N 0 2n t = n T n n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 t n N n t Models Exponencials Discrets i Continus. Estudi de Funcions 2 On és la població inicial i representa la taxa de creixement continu. Aquest paràmetre depèn de factors com el mecanisme de contagi o la distància social, i s'extreu a partir de les observacions empíriques. DEFINICIÓ El temps de duplicació ( o ) és el temps necessari perquè la població passi de a .

Per trobar el vincle exacte entre la taxa contínua i el període de duplicació , plantegem la condició de duplicació: Aplicant el logaritme natural a ambdós costats, aïllem : Per al cas concret amb dies i , la formulació definitiva del model continu és: Gràfica comparativa de dades reals enfront dels models discret i continu.

Si volem conèixer el temps de duplicació a partir d'un recompte conegut en un instant determinat, aïllem directament el paràmetre temporal aplicant logaritmes: N(t) = N 0 ek t N 0 k τ T N 0 2N 0 k T 2N = 0 N 0 e k T 2 = ek T k k = T ln(2) T = 2,72 N = 0 249 N(t) = 249 e t 2,72 ln(2) τ N(t) = N 0 N(t) e t τ ln(2) ln = ( N 0 N(t) ) τ ln(2) t τ ln = ( N 0 N(t) ) ln(2) t Models Exponencials Discrets i Continus. Estudi de Funcions 3 ERROR FREQÜENT Confondre la taxa de creixement continu amb el període de duplicació . Recorda que té unitats de i s'obté dividint pel temps ; no s'han d'intercanviar mai a l'exponent.

COMPROVA-HO 3 Si una població segueix N(t) = N_0 · e^(k·t), com canvia k si el temps que triga a duplicar-se es redueix a la meitat? PROCÉS Flux de modelització a partir de dades 1 Recollida de dades Obtenció de registres des de fonts epidemiològiques oficials fiables. 2 Definició de variables Fixació de l'origen temporal t = 0 i recompte inicial. 3 Ajust del paràmetre T Determinació del període de duplicació segons el creixement observat. 4 Formulació contínua Càlcul de la constant k = ln(2)/T per a l'exponent. IDEES CLAU El model discret descriu la duplicació en salts enters de període . El model continu permet calcular la quantitat d'individus en qualsevol fracció de temps.

La relació analítica entre la taxa contínua i el període de duplicació ve fixada per . COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 4. Com s'expressa el temps de duplicació en funció de la relació i de l'instant ? 5. Quina diferència visual presenten les corbes del model discret respecte al continu? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 6. Com es calcula la taxa de creixement continu k conegut el temps de duplicació T? 7. Quina forma pren el model discret amb periode de duplicacio T?

k T k temps 1 ln(2) T N = n N 0 2n T N(t) = N 0 ekt k = T ln(2) τ N 0 N (t) t k = ln(2) · T a) k = T / ln(2) b) k = ln(2) / T c) k = 2 · ln(T) d) = · amb = T · n a) N n N 0 2n t n = · b) N n N 0 e2n = · amb = n / T c) N n N 0 n2 t n = 2 · · n d) N n N 0 Models Exponencials Discrets i Continus. Estudi de Funcions 4 8. En el model continu N(t) = · , que representa ? 9. Si = 8,32 dies i T = 2,72 dies, a quin cicle discret n correspon aproximadament? 2 Conceptes fonamentals per a l'anàlisi de funcions EN ACABAR SABRÀS Determinar el domini de definició identificant denominadors nuls, arrels i logaritmes. Relacionar els punts exclosos del domini amb la presència d'asímptotes verticals.

Identificar les condicions de continuïtat i derivabilitat a l'interior del domini. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 10 Pot una funció tenir una asímptota vertical en un punt on existeix la seva imatge f(x)? L'anàlisi de qualsevol expressió matemàtica requereix conèixer prèviament sobre quins punts està ben definida i quines propietats geomètriques bàsiques presenta. Domini d'una funció El domini d'una funció és el conjunt format per tots els punts de la recta real on té sentit avaluar-la; és a dir, aquells valors de la variable independent que tenen imatge real.

En les funcions usuals, el domini és tot el conjunt dels nombres reals , amb les excepcions clàssiques següents: Tipus d'operació Restricció analítica Domini resultant Fracció El denominador no pot anul·lar-se ( ) Arrel d'índex parell El radicand no pot ser negatiu Logaritme L'argument ha de ser estrictament positiu N 0 ek t N 0 La taxa de duplicació diària a) El temps necessari per duplicar casos b) El nombre total màxim d'infectats c) El nombre d'individus a l'instant inicial t=0 d) t n n = 3 a) n = 2 b) n = 4 c) n = 1 d) x R a 1 a = 0 R {zeros del denominador} a a 0 ln(a) a > 0 Models Exponencials Discrets i Continus.

Estudi de Funcions 5 Gràfica parabòlica definida sobre tot el conjunt dels nombres reals. Per exemple, les funcions polinòmiques elementals com les paràboles tenen com a domini tot , ja que no presenten cap de les restriccions anteriors. Gràfica d'una hipèrbola amb discontinuïtat i asímptota a l'origen. R Models Exponencials Discrets i Continus. Estudi de Funcions 6 En canvi, una funció racional amb denominador nul a l'origen presenta com a domini la unió d'intervals oberts , excloent el punt problemàtic . COMPROVA-HO 11 Quin és el domini de definició d'una expressió logarítmica com ln(a)?

Propietats analítiques: continuïtat, derivabilitat i elements geomètrics Per a l'estudi sistemàtic de les funcions es consideren un conjunt de característiques clau: Continuïtat i derivabilitat: En els models i funcions habituals considerats en aquesta matèria, les funcions són contínues i derivables a l'interior del seu domini. Punts de tall amb els eixos: Punts geomètrics on la corba interseca l'eix d'abscisses o l'eix d'ordenades. Asímptotes: Les possibles asímptotes verticals es produeixen en aquells punts que no pertanyen al domini de la funció (com els valors que anul·len un denominador).

ESQUEMA Restriccions del domini ERROR FREQÜENT Cercar asímptotes verticals en punts interiors ordinaris del domini. Les asímptotes verticals només poden aparèixer en punts que queden exclosos del domini de definició de la funció, mai on la funció és derivable. COMPROVA-HO 12 On s'han de buscar les possibles asímptotes verticals d'una funció? ( , 0) (0, + ) x = 0 Fraccions 1/a Exclou zeros del denominador (a 0) Arrels parells a Exigeix valors no negatius (a 0) Logaritmes ln(a) Exigeix valors estrictament positius (a > 0) Models Exponencials Discrets i Continus. Estudi de Funcions 7 IDEES CLAU El domini és el conjunt de valors reals de que tenen imatge definida.

Els denominadors exigeixen , les arrels quadrades i els logaritmes . Les funcions estudiades resulten contínues i derivables a l'interior del seu domini. Les possibles asímptotes verticals es localitzen en els punts que no pertanyen al domini. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 13. En quina condició s'anul·la la possibilitat d'avaluar una fracció algebraica? 14. Quina diferència hi ha entre la restricció d'una arrel quadrada i la d'un logaritme? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 15. Quin requisit ha de complir l'argument d'un logaritme ln(a) per estar definit? 16. On poden aparèixer les asímptotes verticals d'una funció? 17.

Quin és el domini de f(x) = 1/x a partir de la restricció de denominador? 18. Quina propietat tenen les funcions habituals a l'interior del seu domini? x a = 0 a 0 a > 0 a 0 a) a b) a 0 c) a > 0 d) En punts que no són del domini a) Només on la derivada s'anul·la b) Únicament a l'origen de coordenades c) A qualsevol punt interior del domini d) [0, + ) a) (- , 0] b) (- , 0) (0, + ) c) Tot el conjunt d) Són contínues i derivables a) Són sempre constants o parabòliques b) Tenen asímptotes verticals discontínues c) No tenen mai talls amb eixos d) Models Exponencials Discrets i Continus. Estudi de Funcions 8 Solucions de les preguntes de repàs 1.

En un creixement continu la taxa percentual instantània és constant, però l'augment absolut d'unitats és cada dia més gran a mesura que creix la base. 2. Suposa que la població es manté constant durant tot l'interval i només es duplica en salts bruscos en acabar cada període T, sense reflectir els canvis continus diaris. 3. Com que k = ln(2)/T, si el període de duplicació T es divideix per 2, la constant de creixement k es duplica exactament. 4. S'expressa mitjançant la igualtat , aïllant . 5. El model discret genera una gràfica escalonada constant a intervals de mida , mentre que el continu produeix una corba suau i monòtona creixent. 6. c) k = ln(2) / T.

En imposar 2 = i aplicar logaritmes, s'obté directament k = ln(2)/T. 7. a) = · amb = T · n. El model discret multiplica el valor inicial per 2 a cada pas enter n, associat al temps = T·n. 8. d) El nombre d'individus a l'instant inicial t=0. Quan t = 0, = 1, de manera que N(0) = , representant la població a l'origen temporal. 9. a) n = 3. Dividint el temps total pel període, 8,32 / 2,72 = 3 cicles complets. 10. No, perquè les asímptotes verticals es produeixen en valors que queden fora del domini de definició de la funció. 11. Està format únicament pels punts que fan que l'argument sigui estrictament positiu, és a dir, a > 0. 12.

S'han de buscar exclusivament en els punts que no formen part del domini de definició de la funció. 13. Quan el denominador es fa zero, motiu pel qual s'eliminen els zeros del denominador del domini. 14. L'arrel quadrada admet valors iguals o superiors a zero ( ), mentre que el logaritme requereix que l'argument sigui estrictament positiu ( ). 15. d) a > 0. El logaritme natural només està definit per a valors reals estrictament superiors a zero. 16. a) En punts que no són del domini. Les asímptotes verticals s'ubiquen en els punts on la funció no està definida. 17. c) (- , 0) (0, + ). Com que el denominador no pot ser zero, cal excloure exclusivament x = 0 de la recta real. 18.

a) Són contínues i derivables. A l'interior del seu domini de definició, les funcions considerades són contínues i derivables. τ ln = ( N 0 N(t) ) ln(2) t τ = ln(N(t)/N ) 0 ln(2) t T ek T N n N 0 2n t n t n e0 N 0 a 0 a > 0 Models Exponencials Discrets i Continus. Estudi de Funcions 9