Problemes de Mecànica, Ones i Lleis d'Escala

Context

Preneu l'acceleració de la gravetat estàndard com a $g = 9,8\text{ m/s}^2$ per a tots els exercicis que ho requereixin.

Exercici 1. Força exercida pel terra d'un ascensor

Un individu de massa $80\text{ kg}$ viatja a l'interior d'un ascensor. Calculeu el valor de la força que exerceix el terra sobre aquesta persona en els següents supòsits:

a.

L'ascensor puja amb una velocitat constant de $3\text{ m/s}$.

b.

L'ascensor baixa mantenint una velocitat uniforme de $3\text{ m/s}$.

c.

L'ascensor puja amb una acceleració de $3\text{ m/s}^2$ dirigida cap amunt.

d.

L'ascensor baixa amb una acceleració constant cap amunt de $3\text{ m/s}^2$.

e.

L'ascensor puja frenant amb una acceleració cap avall de $3\text{ m/s}^2$.

f.

L'ascensor baixa amb una acceleració dirigida cap avall de $3\text{ m/s}^2$.

g.

L'ascensor cau lliurement sota l'acció exclusiva de la gravetat.

Context

Preneu l'acceleració de la gravetat estàndard com a $g = 9,8\text{ m/s}^2$ per a tots els exercicis que ho requereixin.

Exercici 2. Treball i energia en aixecar una capsa

S'exerceix una força vertical constant de $80\text{ N}$ cap amunt per elevar una capsa de $5\text{ kg}$ d'una distància de $4\text{ m}$. Determineu:

a.

El treball dut a terme per aquesta força aplicada.

b.

El treball exercit per la força de la gravetat.

c.

L'energia cinètica final que assoleix la capsa, suposant que parteix del repòs.

Exercici 3. Treball efectuat empenyent una llitera

Una infermera empeny horitzontalment una llitera de $15\text{ kg}$ sobre la qual reposa un pacient de $72\text{ kg}$. El conjunt adquireix una acceleració de $0,60\text{ m/s}^2$. Suposant negligible el fregament de les rodes, quin treball realitza la infermera sobre una distància de $2,5\text{ m}$?

a)

b)

Exercici 4. Treball realitzat en estirar una caixa

S'estira una caixa de $50\text{ kg}$ una distància de $40\text{ m}$ al llarg d'un terra horitzontal sense fricció mitjançant una força constant $F = 100\text{ N}$ que forma un angle de $37^\circ$ per sobre de l'horitzontal. Trobeu:

a)

El treball efectuat per cadascuna de les forces que actuen sobre la caixa (el pes, la normal i la força aplicada):

b)

Exercici 5. Distància de frenada d'una esquiadora

Una esquiadora llisca pendent avall partint del repòs des d'una alçada de $20\text{ m}$. Si la rampa no presenta cap resistència per fricció i en arribar a la base connecta amb una pista plana horitzontal on el coeficient de fricció cinètica entre els esquís i la neu val $\mu_c = 0{,}21$, quina distància recorrerà per la superfície plana abans de detenir-se completament?

Exercici 6. Energia cinètica i velocitat d'una saltadora de perxa

Una saltadora de perxa té una massa de $70\text{ kg}$ i pretén superar un llistó situat a una altura de $5\text{ m}$. Considerant que el seu centre de massa es troba inicialment a $0{,}9\text{ m}$ del terra i que en el punt culminant del salt el centre de massa assoleix just el nivell del llistó, quina energia cinètica i quina velocitat inicial mínima haurà de desenvolupar durant la cursa?

L'expressió que descriu una ona harmònica en una corda és:

$$y(x,t) = 0{,}03\sin(2{,}2x - 3{,}5t)\quad (\text{unitats en el SI})$$

Trobeu:

a.

En quin sentit es mou l'ona i a quina velocitat es propaga.

b.

La longitud d'ona, la freqüència i el període de l'oscil·lació.

c.

El desplaçament màxim d'un segment qualsevol de la corda.

d.

La velocitat transversal màxima que experimenta un segment de la corda.

Exercici 8. Longitud d'ona en una corda

En un extrem d'una corda de $6\text{ m}$ de llargària s'excita un moviment harmònic simple d'una freqüència de $60\text{ Hz}$. Si les pertorbacions generades triguen un temps de $0{,}5\text{ s}$ a atènyer l'altre extrem, quant val la longitud d'ona?

Exercici 9. Oscil·lació lliure d'un sistema massa-molla

Un bloc de 3 kg està acoblat a una molla horitzontal amb constant recuperadora $k = 600\text{ N/m}$. S'allarga la molla una distància de 8 cm respecte de la posició d'equilibri i es deixa anar lliurement. Determineu:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

L'instant de temps en què el cos passa per primer cop per la posició d'equilibri i l'acceleració que posseeix en aquest precís instant:

Exercici 10. Moviment harmònic d'una molla horitzontal

Un cos de massa $3\text{ kg}$ oscil·la horitzontalment connectat a una molla amb una amplitud $A = 10\text{ cm}$ i una freqüència $f = 2\text{ Hz}$. Calculeu:

a)

b)

c)

d)

Exercici 11. Cinemàtica d'un moviment harmònic simple

La posició d'un mòbil ve descrita per l'equació:

$$x(t) = 5\cos(4\pi t)$$

on $x$ s'expressa en centímetres i $t$ en segons. Determineu:

a)

b)

c)

d)

El primer instant posterior a $t = 0\text{ s}$ en què la partícula creua la posició d'equilibri, indicant en quina direcció i sentit es desplaça en aquest moment:

Exercici 12. Massa d'un filferro per propagació d'ones

En un filferro de $80\text{ cm}$ sotmès a una tensió mecànica de $550\text{ N}$ es propaguen ones transversals a una rapidesa de $150\text{ m/s}$. Quant val la massa d'aquest filferro?

Exercici 13. Característiques d'una ona sinusoïdal

Una ona harmònica sobre una corda té per funció d'ona:

$$y(x,t) = 0,001\sin(62,8x + 314t)$$

amb les variables expressades en metres i segons. Calculeu:

a)

La direcció, sentit i velocitat amb què es desplaça l'ona:

b)

La longitud d'ona, la freqüència i el període:

c)

Exercici 14. Velocitat de propagació d'una ona transversal

Una ona harmònica viatja en sentit positiu al llarg d'una corda homogènia sotmesa a tensió constant. Se sap que la separació física entre dos màxims consecutius en qualsevol instant és de 5 m, i que en una posició determinada de la corda el màxim desplaçament transversal és de 50 cm i es repeteix cada 2 s. Trobeu la velocitat de propagació de l'ona.

Exercici 15. Llei d'escala al·lomètrica del metabolisme basal

La relació al·lomètrica que descriu la taxa metabòlica basal ($B$) en funció de la massa corporal ($m$) per a la gran majoria dels animals segueix una llei de potències de la forma $B \propto m^{3/4}$ (llei de Kleiber). Si es compara un pardal amb una gavina les dimensions lineals de la qual són el triple que les del pardal (és a dir, 3 vegades més alta, 3 vegades més ampla i 3 vegades més llarga), determineu la relació que hi ha entre els consums metabòlics d'ambdues aus seleccionant l'opció correcta:

Exercici 16. Llei al·lomètrica del ritme cardíac

La relació al·lomètrica entre la freqüència cardíaca en repòs ($f$, en batecs per minut) i la massa corporal dels mamífers ($m$, expressada en kg) és expressada per $f = f_0 m^{-0,27}$, on $f_0 = 220\text{ pulsacions/min}$. Si es compara un infant d'alçada 1 m amb un jugador de bàsquet de 2 m d'alçada (assumint proporcions geomètriques semblants), indiqueu la relació que guarden els seus ritmes cardíacs triant la resposta adient: