Sistemes de numeració: història, bases i sistema decimal

I 0 flashcards i 4 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS NUMERACIÓ, CÀLCUL I MESURA Grau en Educació Primària Universitat de Lleida AprenAI 2026-2027 Apunts de Sistemes de Numeració per a Educació Primària: evolució històrica, classificació, canvis de base i funcionament del sistema decimal oral i escrit.

APREN.AI Índex 1 Evolució històrica i primers mètodes de recompte El pas de comptar i el recompte corporal Sistemes determinats per objectes i instruments 2 Estructura i classificació dels sistemes de numeració Definició i components fonamentals Tipologia segons les regles combinatòries 3 Formalització matemàtica i canvis de base Normes i fonamentació d'un sistema posicional Procediments de conversió entre bases 4 El sistema decimal escrit i oral i els ordinals Evolució històrica del sistema decimal a Europa El sistema decimal oral i les seves irregularitats Els nombres ordinals 5 Resum per repassar Orígens i suports del recompte Tipologia dels sistemes de numeració Formalització i canvis de base Sistema decimal oral i ordinals Cronologia del sistema decimal a Europa Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Sistemes de numeració: història, bases i sistema decimal 1 1 Evolució històrica i primers mètodes de recompte EN ACABAR SABRÀS Descriure les etapes primitives del recompte previ a l'aparició de l'escriptura. Identificar les bases numèriques lligades a l'anatomia de la mà. Comprendre el valor dels testimonis geomètrics a l'antiga Mesopotàmia. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Com podien comptar grans ramats comunitats antigues que encara no tenien xifres escrites?

El pas de comptar i el recompte corporal Abans de desenvolupar estructures aritmètiques formals, diversos grups humans van emprar tècniques empíriques de correspondència. A principis de segle, determinades comunitats d'Àfrica i Oceania feien servir el propi cos com a registre. Aquest procediment consistia a assenyalar ordenadament diferents parts corporals iniciant el recorregut sempre pel mateix punt. Esquema del còmput per seqüències corporals a Àfrica i Oceania. En aquesta pràctica no s'aplicava el principi cardinal: el valor numèric no quedava simbolitzat per una entitat única o xifra abstracta, sinó que es manifestava com una successió o patró espacial complet sobre l'organisme.

D'aquesta vinculació anatomicoaritmètica van sorgir diferents bases numèriques emprades per la humanitat: Sistemes de numeració: història, bases i sistema decimal 2 Base 10: associada als deu dits de les dues mans, on cada dit actua com una unitat simple. Base 5: els dits d'una mà comptabilitzen les cinc primeres unitats simples, mentre que els dits de la mà contrària registren grups de cinc (de manera que cinc dits a la dreta assoleixen 25 unitats). Base 12: còmput de les falanges dels quatre dits llargs d'una sola mà recorregudes amb el polze com a punter. Base 60: combinació de les 12 falanges d'una mà amb els 5 dits de l'altra mà (on cada dit de l'altra mà val 12 unitats, donant ).

Si es computen les falanges d'ambdues mans es pot arribar a base . Diagrama de posicions manuals per a còmput en base quinària. Diagrama del recompte de 12 falanges amb el dit polze. COMPROVA-HO 2 Per què l'ús de parts del cos com a seqüència no constitueix un sistema cardinal formal? Sistemes determinats per objectes i instruments Per superar la volatilitat del cos i deixar constància duradora, la humanitat va recórrer a suports físics. Entre aquests destaquen les marques o osques tallades en ossos o pedres, els fils amb nusos i les cordes amb objectes enfilats.

12 × 5 = 60 12 × 12 = 144 Sistemes de numeració: història, bases i sistema decimal 3 Il·lustració d'os prehistòric amb osques agrupades de cinc en cinc. Diagrama de corda amb nusos per registrar diferents ordres.

Cap a l'any 3300 a.C., a l'Orient Pròxim (sumeris i elamites), el valor quantitatiu va passar a estar determinat per la configuració geomètrica de petites peces d'argila o testimonis de càlcul: Element geomètric Valor associat Tècnica d'increment de valor Con petit 1 Peça simple Bola d'argila 10 Canvi de format figuratiu Con gran 60 Augment d'escala Con gran perforat 600 Perforació buida ( ) Esfera 3.600 Nou format tridimensional Esfera perforada 36.000 Perforació buida ( ) Esquema de les peces d'argila sumèries i el seu valor.

×10 ×10 Sistemes de numeració: història, bases i sistema decimal 4 Per expressar valors intermedis, aquestes peces simplement es repetien tantes vegades com fos precís. Posteriorment, els comptables de Mesopotàmia van imprimir aquests mateixos formats directament sobre tauletes d'argila tova (muesques fines i allargades, marques circulars petites o grans, muesques gruixudes i muesques gruixudes perforades), donant origen a la representació escrita autònoma. Esquema de símbols gravats sobre argila pels comptables de Mesopotàmia.

Paral·lelament, els mecanismes d'objectes enfilats en filferros van desembocar en l'àbac en diverses variants històriques (xinesa, romana amb ranures i russa), facilitant el còmput operatiu mitjançant posicions mecàniques. Il·lustració d'àbac xinès, romà i rus com a instruments de càlcul. ERROR FREQÜENT Confondre el mètode de registre sobre objectes físics (marques un a un en ossos) amb un sistema de numeració escrit abstracte. En l'os o la pedra no hi ha símbols combinatoris ni bases complexes, sinó un registre acumulatiu directe. COMPROVA-HO 3 Quina transformació feien els sumeris sobre una peça per multiplicar el seu valor per 10?

Sistemes de numeració: història, bases i sistema decimal 5 PROCÉS Evolució dels suports materials del recompte 1 Seqüències corporals Recompte sobre pell i articulacions sense abstracció cardinal. 2 Suports fixos Marques en ossos, cordes amb nusos i objectes enfilats. 3 Testimonis d'argila Formes geomètriques amb valors fixos i perforacions multiplicadores. 4 Impressió en tauletes Inscripció dels símbols sobre argila a Mesopotàmia. IDEES CLAU El recompte corporal primitiu no utilitzava el principi cardinal, sinó patrons seqüencials. Les anatomies de les mans van originar bases empíriques diverses com la base 5, 10, 12 i 60.

Els sumeris van establir valors concrets en objectes segons la seva forma geomètrica cap al 3300 a.C. La impressió dels testimonis materials sobre argila va precedir directament l'escriptura dels nombres. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 4. Com s'aconseguia el valor 60 en el recompte amb les mans combinant falanges i dits? 5. Quins instruments físics van precedir l'àbac en el registre quantitatiu? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 6. Quin valor representava el con gran perforat en el sistema sumeri? 7. Quantes unitats es poden registrar comptant falanges de quatre dits amb el polze d'una sola mà? 8. Què caracteritzava el recompte sense saber comptar a Àfrica i Oceania?

36.000 a) 600 b) 60 c) 3.600 d) 5 unitats a) 10 unitats b) 12 unitats c) 20 unitats d) Seqüències corporals sense valor cardinal a) Càlcul amb xifres aràbigues b) Escriptura sobre argila tova c) Ús d'àbacs binaris d) Sistemes de numeració: història, bases i sistema decimal 6 9. Quin va ser l'origen directe de l'escriptura de xifres a Mesopotàmia? 2 Estructura i classificació dels sistemes de numeració EN ACABAR SABRÀS Definir els components d'un sistema de numeració: símbols, base i normes. Distingir entre sistemes additius, additius-multiplicatius i posicionals. Reconèixer les solucions adoptades per les grans civilitzacions històriques.

PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 10 Com pot un sistema representar qualsevol quantitat per gran que sigui utilitzant només deu xifres diferents? Definició i components fonamentals DEFINICIÓ Un sistema de numeració és el conjunt estructurat de regles, convenis i signes que permeten expressar de manera oral o escrita el cardinal d'un conjunt utilitzant una quantitat finita de símbols i paraules. El mecanisme d'un a un basat en marques individuals esdevé inoperant davant de quantitats elevades.

Per aquest motiu, els sistemes s'articulen al voltant de tres eixos vertebradors: Impressió de testimonis en argila a) L'ús de la corda de nusos b) L'àbac de filferros xinès c) Taules de fitxes renaixentistes d) Sistemes de numeració: història, bases i sistema decimal 7 ESQUEMA Components d'un sistema de numeració Símbols: elements gràfics (escrits) o materials (figurats sobre àbacs, peces o parts del cos) que representen unitats o ordres. Base: el nombre d'elements escollit per establir agrupacions consecutives. Representa el nombre d'unitats d'un ordre que formen una unitat de l'ordre immediatament superior. S'han utilitzat bases com 2, 4, 5, 6, 10, 12, 20 o 60.

Alguns sistemes combinen una base principal amb una d'auxiliar (com el sistema romà amb base 10 i auxiliar 5). Normes de composició: criteris sintàctics que dictaminen com s'operen els valors dels signes (addició, multiplicació o posició). COMPROVA-HO 11 Quina funció compleix la base en un sistema de numeració? Tipologia segons les regles combinatòries Tipus de sistema Mecanisme operatiu Símbols que cal definir Exemples històrics Additiu Els valors dels símbols se sumen directament. La posició no canvia el valor de la xifra. Signes per a la unitat, per a la base i per a les successives potències de la base. Egipci, romà (amb certes irregularitats subtractives).

Símbols Formes gràfiques o figurades. Base Quantitat triada per agrupar. Normes Criteris operatius de composició. Additius Suma directa de símbols. Additius-multiplicatius Factors davant de potències. Posicionals Valor dependent del lloc. Sistemes de numeració: història, bases i sistema decimal 8 Tipus de sistema Mecanisme operatiu Símbols que cal definir Exemples històrics Additiu- multiplicatiu Combina la suma amb la multiplicació. La col·locació d'un símbol davant o darrere d'un altre assenyala si cal multiplicar o sumar. Símbols per a les unitats prèvies a la base, per a la base mateixa i per a les seves potències. Xinès tradicional.

Posicional El valor relatiu d'una xifra depèn exclusivament de la posició que ocupa. Cada lloc representa una potència de la base. Símbols des de l'1 fins a la base menys u ( ) i el zero per indicar absència d'ordre. Maia, assirio- babilònic, xinès de varetes i hindú. A l'Antic Egipte, per exemple, els nombres s'escrivien repetint símbols de potències de deu: una marca vertical per a 1, un arc per a 10, una espiral per a 100, etc. El nombre 225 requeria dues espirals, dos arcs i cinc barres verticals: Esquema d'escriptura additiva egípcia per als valors 96 i 225.

En el sistema additiu-multiplicatiu xinès, en canvi, s'indica el factor i tot seguit la potència corresponent, com ara expressar quatre milers com a seguit de , etcètera: Esquema del sistema additiu-multiplicatiu xinès tradicional. b 1 4 × 1000 3 × 100 Sistemes de numeració: història, bases i sistema decimal 9 Taula comparativa de símbols numèrics de diverses cultures històriques. Esquema de representacions numèriques en cultures maia, babilònica i romana. Sistemes de numeració: història, bases i sistema decimal 10 ERROR FREQÜENT Creure que el sistema romà és un sistema posicional perquè la posició d'un signe (com la I abans de la V a «IV») altera el resultat.

En realitat és additiu amb regles subtractives: la «I» manté sempre el seu valor intrínsec d'unitat i mai passa a valer desenes o centenes per la seva posició. COMPROVA-HO 12 Quins són els únics quatre sistemes de numeració posicionals coneguts sorgits en diferents cultures? IDEES CLAU Un sistema de numeració requereix símbols, una base d'agrupació i normes d'articulació. Als sistemes additius les xifres sumen el seu valor sense importar l'ordre o la columna. Als sistemes additius-multiplicatius es juxtaposen factors i potències de la base. La numeració posicional requereix estrictament un símbol específic per al zero. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 13.

Per què un sistema purament posicional necessita de manera ineludible el signe zero? 14. En què es distingeix el sistema additiu-multiplicatiu del purament additiu? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 15. Quin tipus de sistema és la numeració xinesa tradicional? 16. Quina cultura NO figura entre les quatre que van desenvolupar la numeració posicional? 17. Què representa la base en qualsevol sistema numèric? 18. Quin dels següents sistemes té una base principal de 10 i una d'auxiliar de 5?

Additiu pur a) Binari pur b) Additiu-multiplicatiu c) Posicional pur d) Maia a) Hindú b) Assirio-babilònica c) Egípcia d) El nombre d'unitats d'un ordre a) El total de xifres auxiliars b) El valor absolut màxim c) L'absència de quantitat cardinal d) El sistema babiloni a) El sistema romà b) El sistema egipci c) El sistema maia d) Sistemes de numeració: història, bases i sistema decimal 11 3 Formalització matemàtica i canvis de base EN ACABAR SABRÀS Identificar les regles formals que regeixen qualsevol sistema posicional. Calcular la conversió de qualsevol nombre en base b a base 10 mitjançant la forma polinòmica. Transformar valors decimals a altres bases emprant divisions successives.

PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 19 Per què en base 4 mai pot aparèixer escrita una xifra com el 5 o el 4? Normes i fonamentació d'un sistema posicional La construcció d'un sistema de numeració posicional general segueix una estructura matemàtica precisa: DEFINICIÓ El teorema fonamental de la numeració estableix l'existència i unicitat de l'expressió de qualsevol nombre natural en qualsevol base com a combinació polinòmica de potències de la base. En el cas del sistema decimal ( ), l'expressió canònica d'un nombre natural s'escriu com: COMPROVA-HO 20 Quantes xifres diferents necessita un sistema de base b?

Escollida una base entera , s'empren exactament símbols diferenciats (anomenats xifres): , que representen el zero i els primers nombres naturals. 1 b > 1 b {0, 1, 2, … , b 1} Cada grup de unitats simples o de primer ordre constitueix una unitat de segon ordre. Aquesta s'escriu immediatament a l'esquerra de les unitats de primer ordre (principi del valor relatiu de les xifres). 2 b Aquest procediment d'agrupació es reitera indefinidament: unitats de segon ordre formen una unitat de tercer ordre, i així successivament. 3 b En cas que en una posició no existeixin unitats d'aquell ordre determinat, s'expressa obligatòriament amb la xifra 0.

4 La base equival a la unitat de segon ordre ( ), a la unitat de tercer ordre ( ), etcètera. 5 b 10 (b b2 100 (b n b > 1 b = 10 1.435 = 1 × 1000 + 4 × 100 + 3 × 10 + 5 = 1 × 10 + 3 4 × 10 + 2 3 × 10 + 1 5 × 100 Sistemes de numeració: història, bases i sistema decimal 12 Procediments de conversió entre bases 1. Pas d'una base qualsevol a base 10 Per obtenir el valor decimal d'un nombre expressat en una altra base, es desplega la seva expressió polinòmica multiplicant cada xifra per la potència de la base corresponent al seu ordre: EXEMPLE Per passar el nombre a base decimal: De la mateixa manera, per al cas binari : 2.

Pas de base 10 a una base qualsevol Per convertir un nombre decimal a una altra base, s'aplica el mètode de les divisions successives per la base objectiu fins que el darrer quocient sigui estrictament menor que la base. El nombre resultant s'obté prenent aquest últim quocient seguit de tots els residus en ordre invers: EXEMPLE Conversió del nombre 167 a base 3: Recollint el darrer quocient i els residus de baix a dalt, obtenim: ERROR FREQÜENT En convertir mitjançant divisions successives, escriure les xifres en l'ordre en què s'han calculat els residus. L'ordre correcte comença sempre pel darrer quocient i recula agafant els residus del final cap al principi.

COMPROVA-HO 21 Quin és el darrer element que determina la primera xifra de l'esquerra en una conversió de base 10 a base b? b 23012 (4 23012 = (4 2 4 + 4 3 4 + 3 0 4 + 2 1 4 + 1 2 40 = 2 256 + 3 64 + 0 16 + 1 4 + 2 1 = 512 + 192 + 0 + 4 + 2 = 710 1001 (2 1001 = (2 1 2 + 3 1 = 8 + 1 = 9 b amb residu 2 1 167 : 3 = 55 amb residu 1 2 55 : 3 = 18 amb residu 0 3 18 : 3 = 6 amb residu 0 (el quocient 2 ja és menor que la base 3) 4 6 : 3 = 2 167 = 20012 (3 Sistemes de numeració: història, bases i sistema decimal 13 PROCÉS Procés de canvi de base decimal a base b 1 Divisió inicial Dividir el nombre decimal entre la base b. 2 Guardar el residu El residu obtingut formarà part de la xifra resultant.

3 Iteració Dividir el quocient entre b mentre sigui més gran o igual que b. 4 Ordenació inversa Escriure l'últim quocient i tots els residus de dreta a esquerra. IDEES CLAU Un sistema de base b utilitza b xifres diferents, de 0 fins a b-1. L'escriptura numèrica avança d'ordres inferiors a ordres superiors cap a l'esquerra. El teorema fonamental garanteix que qualsevol natural té una única expressió polinòmica en base b. El pas a base 10 es fa per descomposició polinòmica, i de base 10 a una altra base per divisions successives. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 22. Com s'expressa el valor 9 en base binària segons el càlcul polinòmic? 23.

Quin és el criteri per donar per acabades les divisions successives en un canvi de base? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 24. Quantes xifres utilitza un sistema posicional de base 4? 25. Quant val el nombre 1001 en base 2 convertit a base decimal? 26. En la conversió de 167 a base 3, quina és la xifra de menor ordre? Quatre: 0, 1, 2, 3 a) Tres: 1, 2, 3 b) Cinc: 0, 1, 2, 3, 4 c) Quatre: 1, 2, 3, 4 d) 11 a) 5 b) 7 c) 9 d) 3 a) 0 b) 2 c) 1 d) Sistemes de numeració: història, bases i sistema decimal 14 27. Com s'anomena la propietat que assegura una representació única per a cada nombre en base b?

4 El sistema decimal escrit i oral i els ordinals EN ACABAR SABRÀS Comprendre la línia cronològica de la implantació del sistema indo-aràbic a Europa. Descriure el funcionament i les irregularitats del sistema decimal oral en català. Reconèixer les característiques morfològiques dels nombres ordinals. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 28 Per què diem «onze» i «dotze» en lloc d'expressions regulars com «deu-un» i «deu-dos»? Evolució històrica del sistema decimal a Europa El sistema que fem servir actualment va experimentar un llarg procés de difusió: CRONOLOGIA Cronologia de la difusió del sistema decimal Esquema d'antigues xifres de numeració hindú.

Llei additiva posicional a) Teorema fonamental de la numeració b) Propietat associativa d'ordres c) Principi cardinal absolut d) Segle III a.C. Aparició del sistema primitiu de numerització hindú. Segle VI d.C. 0 Invenció fonamental del símbol del zero a l'Índia. Segle VIII d.C. Inici de l'arribada i introducció del sistema indi-aràbic a Europa. Final S.XVIII Implantació total i definitiva del sistema a tot el continent europeu. Sistemes de numeració: història, bases i sistema decimal 15 Taula de l'evolució gràfica de les xifres a Europa des del segle XII. Durant segles, a Europa hi va haver una forta resistència contra la numeració indo-aràbiga.

Els càlculs comercials i administratius es feien tradicionalment amb les taules de fitxes europees (renaixentistes). En aquestes taules, el valor de les fitxes venia determinat per la casella o línia on se situaven en el taulell, requerint comptadors manuals experts. Il·lustració d'un calculador professional renaixentista utilitzant un taulell d'àbac. Sistemes de numeració: història, bases i sistema decimal 16 Il·lustració de taules de fitxes de càlcul europees del Renaixement. COMPROVA-HO 29 Com es calculava a Europa durant l'Edat Mitjana abans d'adoptar les xifres indo-aràbigues?

El sistema decimal oral i les seves irregularitats El sistema de numeració decimal escrit és completament regular i posicional. En canvi, el sistema decimal oral és un sistema additiu-multiplicatiu de base 10 amb notables irregularitats. És regular en el sentit que defineix paraules-nombre específiques per a la base, les unitats anteriors i determinades potències: Unitats: zero, un, dos, tres, quatre, cinc, sis, set, vuit, nou. Base i potències amb mot propi: deu ( ), cent ( ), mil ( ).

Tot i això, presenta tres irregularitats principals en català: Ordre Forma oral irregular en català Pauta que correspondria a un model regular 11 Onze Deu-un 12 Dotze Deu-dos 13 Tretze Deu-tres 20 Vint Dos-deus 101 102 103 Mots irregulars de l'11 al 19: en lloc de seguir la pauta regular («deu-un», «deu-dos»), disposa de paraules pròpies (onze, dotze, tretze, catorze, quinze, setze, disset, divuit, dinou). 1 Desenes específiques: de vint a noranta (vint, trenta, quaranta, cinquanta...) en comptes de construccions regulars com «dos-deus».

2 Absència de paraules específiques per a potències superiors: potències com (deu mil) i (cent mil) no tenen un nom simple propi, sinó que es formen com a productes compostos. 3 10 = 4 10.000 10 = 5 100.000 Sistemes de numeració: història, bases i sistema decimal 17 Ordre Forma oral irregular en català Pauta que correspondria a un model regular 10.000 ( ) Deu mil (compost) Paraula específica inexistent 100.000 ( ) Cent mil (compost) Paraula específica inexistent COMPROVA-HO 30 Quines potències de 10 no tenen una paraula-nombre específica simple en el sistema decimal oral?

Els nombres ordinals Mentre que els cardinals indiquen quantitat, els nombres ordinals s'utilitzen per designar la posició o l'ordre d'un element. També és habitual recórrer als mateixos numerals cardinals per transmetre aquesta noció d'ordre. Els primers ordinals tenen formes particulars: primer, segon, tercer, quart i cinquè. A partir d'aquest punt, els següents es formen regularment afegint el sufix «è» al numeral cardinal corresponent (com sisè, setè, etc.). Tots els numerals ordinals admeten flexió gramatical: tenen formes per al singular, el plural, el masculí i el femení. ERROR FREQÜENT Confondre la naturalesa del sistema oral amb la de l'escrit.

L'escrit és posicional pur amb només 10 xifres, mentre que l'oral és additiu-multiplicatiu («tres-cents quatre» significa ) i arrossega irregularitats lèxiques. IDEES CLAU El sistema indi-aràbic es va introduir al segle VIII però no es va consolidar plenament a Europa fins a finals del segle XVIII. A l'Europa medieval i moderna es calculava mitjançant taules de fitxes abans de generalitzar l'aritmètica escrita. El sistema decimal oral és additiu-multiplicatiu i conté irregularitats dels nombres 11 al 19 i en les desenes. Els nombres ordinals admeten flexió de gènere i nombre i, després del cinquè, s'obtenen afegint «è» al cardinal. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 31.

En quin període històric s'implanta de manera definitiva i generalitzada el sistema indo- aràbic a Europa? 32. Com es construeixen els numerals ordinals després del cinquè en català? 104 105 3 × 100 + 4 Sistemes de numeració: història, bases i sistema decimal 18 Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 33. En quin segle es va iniciar la introducció del sistema indi-aràbic a Europa? 34. En quin període va sorgir l'invent del zero a l'Índia segons el document? 35. Com s'estructura lingüísticament el sistema decimal oral? 36. Quin tret gramatical caracteritza tots els numerals ordinals?

5 Resum per repassar Orígens i suports del recompte Concepte Què és Principi cardinal Identificació de la quantitat d'un conjunt mitjançant un símbol únic, absent en el recompte corporal primitiu que funcionava per patrons seqüencials. Bases anatòmiques Sistemes d'agrupació lligats a la mà: base 10 (deu dits), base 5 (combinació d'ambdues mans), base 12 (dotze falanges de quatre dits) i base 60 (falanges d'una mà combinades amb dits de l'altra). Testimonis sumeris Peces d'argila amb valor fixat per la seva forma geomètrica (de l'1 al 36.000); fer un forat buit multiplicava el valor per 10.

Àbac Instrument de càlcul mecànic amb objectes enfilats en ranures o filferros que materialitza el valor segons la posició. Segle VIII d.C. a) Segle VI d.C. b) Segle XVIII d.C. c) Segle III a.C. d) Segle III a.C. a) Segle XV d.C. b) Segle XII d.C. c) Segle VI d.C.

d) Com un sistema purament figuratiu a) Com un sistema posicional estricte b) Com un sistema additiu-multiplicatiu amb irregularitats c) Com un sistema exclusivament subtractiu d) Tenen singular, plural, masculí i femení a) No admeten forma femenina b) Són invariables en gènere c) Només es poden escriure amb xifres d) Sistemes de numeració: història, bases i sistema decimal 19 Tipologia dels sistemes de numeració Concepte Què és Sistema de numeració Conjunt estructurat de regles i convenis que permet expressar verbalment i gràficament el cardinal d'un conjunt amb símbols limitats. Base Nombre d'unitats d'un ordre necessari per constituir una unitat de l'ordre immediatament superior.

Sistema additiu Sistema on les xifres se sumen directament i mantenen sempre el mateix valor independentment del lloc que ocupen (ex.: egipci). Sistema additiu- multiplicatiu Sistema que combina productes i sumes col·locant símbols de xifres davant o darrere de símbols de potències de la base (ex.: xinès tradicional). Sistema posicional Sistema on el valor relatiu d'una xifra depèn de la seva posició respecte a les potències de la base; requereix la definició del zero. Numeracions posicionals històriques Quatre únics sistemes posicionals independents coneguts: maia, assirio- babilònic, xinès de varetes i hindú.

Formalització i canvis de base Concepte o procediment Què és Teorema fonamental de la numeració Principi que garanteix l'existència i unicitat de la representació polinòmica de qualsevol nombre en una base . Expressió canònica decimal Descomposició polinòmica única d'un nombre natural en combinació de potències de 10. Pas de base a base 10 Desplegament polinòmic del nombre multiplicant cada xifra per la potència de la base corresponent i sumant els resultats. Pas de base 10 a base Divisions successives del valor decimal entre la base fins a quocient menor que ; s'escriu el darrer quocient i els residus en ordre invers.

Sistema decimal oral i ordinals Concepte Què és Sistema decimal oral Sistema additiu-multiplicatiu de base 10 amb irregularitats en els nombres de l'11 al 90 i absència de mot propi per a i . Taules de fitxes Dispositius de càlcul posicional europeus utilitzats fins al segle XVIII abans de la generalització del càlcul escrit indo-aràbic. Numerals ordinals Expressen l'ordre d'un element; els primers cinc són particulars i els següents s'obtenen afegint «è» al cardinal, admetent flexió de gènere i nombre. b > 1 b b b b b 104 105 Sistemes de numeració: història, bases i sistema decimal 20 Cronologia del sistema decimal a Europa Data Fet històric Segle III a.C.

Origen del sistema de numerització hindú. Segle VI d.C. Invenció del zero a l'Índia. Segle VIII d.C. Inici de la introducció del sistema indi-aràbic a Europa. Final del segle XVIII Implantació total i definitiva del sistema indo-aràbic a Europa. Sistemes de numeració: història, bases i sistema decimal 21 Solucions de les preguntes de repàs 1. Utilitzant correspondències un a un mitjançant osques en fusta o os, nusos en cordes o petites pedres d'argila amb formes diferenciades. 2. Perquè no aïlla la quantitat final en un signe numèric autònom, sinó que la descriu com un recorregut successiu d'elements corporals. 3.

Realitzaven una perforació o forat buit en la peça original (com passar de 60 a 600 o de 3.600 a 36.000). 4. Es comptaven les 12 falanges d'una mà amb el polze, i cadascun dels 5 dits de l'altra mà representava un cicle complet de 12 unitats ( ). 5. Les marques en ossos o pedres, els fils amb nusos i les peces o boles enfilades en cordes. 6. b) 600. El con gran valia 60, i la perforació multiplicava aquest valor per deu, donant 600. 7. c) 12 unitats. Quatre dits amb tres falanges cadascun sumen exactament 12 unitats. 8. a) Seqüències corporals sense valor cardinal. Assenyalaven parts del cos en ordre fix sense aplicar el principi cardinal a un únic signe. 9.

a) Impressió de testimonis en argila. Els comptables van començar imprimint la forma dels objectes de càlcul sobre tauletes d'argila tova. 10. Fent que el valor de cada xifra canviï segons la posició que ocupa en el conjunt del nombre. 11. Estableix el límit a partir del qual les unitats s'agrupen per donar lloc a una nova unitat d'ordre superior. 12. El sistema maia, l'assirio-babilònic, el xinès de varetes i el sistema hindú. 13. Perquè quan en un ordre determinat no hi ha unitats, cal un signe que ocupi aquest buit per evitar que les xifres dels altres ordres es desplacin i canviïn de valor. 14.

L'additiu-multiplicatiu evita la repetició contínua de signes col·locant un signe numèric que multiplica la potència de la base. 15. c) Additiu-multiplicatiu. La numeració xinesa tradicional utilitza parelles de símbols per multiplicar xifres per potències de la base. 16. d) Egípcia. El sistema egipci era additiu pur, no posicional. 17. a) El nombre d'unitats d'un ordre. La base determina quantes unitats simples o d'un ordre fan falta per formar una unitat de l'ordre immediat superior. 18. b) El sistema romà. El sistema romà combina la base decimal (X, C, M) amb xifres auxiliars de valor 5 (V, L, D). 19.

Perquè quan s'arriba a 4 unitats, aquestes s'agrupen automàticament per formar una unitat d'ordre superior, de manera que només s'utilitzen xifres del 0 al 3. 20. Requereix exactament b símbols, que van des del 0 fins al valor b-1. 21. L'últim quocient obtingut en les divisions successives, que necessàriament és inferior a la base. 22. S'expressa com , ja que . 23. Quan s'arriba a un quocient que és estrictament menor que la base del sistema al qual es converteix. 24. a) Quatre: 0, 1, 2, 3. Un sistema de base b comença pel 0 i arriba fins a b-1; per a base 4 són 0, 1, 2 i 3.

12 × 5 = 60 1001 (2 1 2 + 3 0 2 + 2 0 2 + 1 1 2 = 0 8 + 1 = 9 Sistemes de numeració: història, bases i sistema decimal 22 25. d) 9. Correspon a 1·2³ + 0·2² + 0·2¹ + 1·2 = 8 + 1 = 9. 26. c) 2. La xifra de menor ordre és el primer residu obtingut: 167 : 3 dóna quocient 55 i residu 2. 27. b) Teorema fonamental de la numeració. És el teorema fonamental de la numeració, que garanteix existència i unicitat. 28. Perquè el nostre sistema decimal oral no és purament regular i conserva paraules-nombre hereditàries específiques entre l'11 i el 19. 29. S'utilitzaven taules de fitxes de càlcul mecànic, on la posició de les fitxes en caselles determinava el seu valor. 30.

Les potències 10 (10.000, deu mil) i 10 (100.000, cent mil), que s'expressen de forma composta. 31. A finals del segle XVIII, després de segles de convivència i resistència amb les taules de fitxes tradicionals. 32. S'obtenen afegint el sufix «è» directament a l'arrel del numeral cardinal. 33. a) Segle VIII d.C.. La introducció a Europa es va iniciar cap al segle VIII d.C. 34. d) Segle VI d.C.. La invenció del zero se situa documentalment cap al segle VI d.C. 35. c) Com un sistema additiu-multiplicatiu amb irregularitats. L'expressió oral combina la multiplicació i la suma («dos-cents deu» = 2·100 + 10) amb termes irregulars. 36. a) Tenen singular, plural, masculí i femení.

Tots els ordinals presenten flexió de gènere (masculí/femení) i de nombre (singular/plural). Sistemes de numeració: història, bases i sistema decimal 23