Tema 0. Conceptes matemàtics fonamentals

Exercici 1.2. Equacions lineals i fraccionàries

Trobeu la solució de cadascuna de les següents equacions de primer i segon grau amb coeficients enters i fraccionaris:

a.

$3x - 12 - 9 = 2 - x + 5$

$x =$

b.

$7x + 2(x - 6) = 3(x + 4)$

$x =$

c.

$-4(6 - 2x) - (x - 3) = 5x$

$x =$

d.

$\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = \frac{7x}{12}$

Solució:

e.

$\frac{3+5x}{3} = 2(x + 5)$

$x =$

f.

$\frac{x-1}{4} + \frac{2-3x}{2} = 3 + 2x$

$x =$

g.

$\frac{x-6}{2} - \frac{x-5}{4} = \frac{1+x}{6}$

$x =$

h.

$\frac{x+4}{3} - 5(2x - 4) = \frac{5}{4}$

$x =$

i.

$\frac{(x-3)(x+2)}{-5} + 1 = 0$

$x =$

j.

$\left(\frac{25}{x}\right)^4 = 125x$

$x =$

k.

$x + \frac{3x+1}{3} - \frac{x+3}{5} + 1 - \frac{x-2}{10} = 2x + 6$

$x =$

Exercici 2. Potències i operacions amb radicals

Simplifiqueu i expresseu com una única potència o radical irreductible:

a)

$$\frac{3^5 \cdot 9^4}{27^2}$$

b)

$$\frac{4^3 \cdot 8^{-2}}{16^3}$$

c)

$$\frac{25^{-3} \cdot 5^2}{125^2}$$

d)

$$(24^3)^5,\; (6^6)^4,\; (9^4)^2$$

e)

$$\sqrt{24}$$

f)

$$\sqrt[3]{500}$$

g)

$$\sqrt{24} + \sqrt{128}$$

h)

$$\sqrt{24} \cdot \sqrt{128}$$

Exercici 3.2. Productes notables i operacions polinòmiques

Efectueu les operacions indicades utilitzant la propietat distributiva i les fórmules d'identitats notables:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

Exercici 3.3. Extracció de factor comú

Extraieu el màxim factor comú de les expressions polinòmiques següents:

a.

b.

c.

d.

Exercici 3.4. Factorització i simplificació de fraccions algebraiques

Factoritzeu els numeradors i denominadors i simplifiqueu al màxim les següents fraccions algebraiques:

a.

$$\frac{6x+12}{x+2}$$

b.

$$\frac{x^5-5x^3}{x^4-5x^2}$$

c.

$$\frac{x^2-25}{x^2-5x}$$

d.

$$\frac{6x-3}{2x-1}$$

e.

$$\frac{2xy^2-4y}{xy-2}$$

f.

$$\frac{x^2-4x+4}{x^2-4}$$

Exercici 4.1. Resolució de sistemes lineals $2\times 2$

Resoleu cadascun dels següents sistemes d'equacions lineals aplicant el mètode que s'indica o que resulti més convenient:

Exercici 4.1. Resolució de sistemes lineals 2×2

Resoleu cadascun dels següents sistemes d'equacions lineals aplicant el mètode que s'indica o que resulti més convenient:

a.

Per substitució:

$$\begin{cases} 3x - y = 3 \\ -2x + 3y = -2 \end{cases}$$

b.

Per reducció:

$$\begin{cases} x + 2y = 3 \\ -x + y = 3 \end{cases}$$

c.

Per igualació o substitució:

$$\begin{cases} x + y = 0 \\ 2x + 3y = -1 \end{cases}$$

d.

Per reducció o substitució:

$$\begin{cases} 2x + 3y = -2 \\ 5x - y = 1 \end{cases}$$

e.

Per reducció:

$$\begin{cases} 3x - 2y = 5 \\ -2x - 5y = -7 \end{cases}$$

f.

Per substitució:

$$\begin{cases} x + y = 4 \\ 2x - 3y = 0 \end{cases}$$

Exercici 4.1. Resolució de sistemes lineals $2\times 2$

Resoleu cadascun dels següents sistemes d'equacions lineals aplicant el mètode que s'indica o que resulti més convenient:

Exercici 4.2. Equacions quadràtiques i problema d'àrea

Resoleu les següents equacions de segon grau (incompletes i completes) i el problema geomètric associat:

a.

$x^2 - 3x = 0$

$x_1 =$

, $x_2 =$

b.

$2x^2 - 8x = 0$

$x_1 =$

, $x_2 =$

c.

$2x - 8x^2 = 0$

$x_1 =$

, $x_2 =$

d.

$-2x^2 - 2x + 12 = 0$

$x_1 =$

, $x_2 =$

e.

$-x^2 + 2\sqrt{2}x - 2 = 0$

$x =$

f.

Un jardí de forma rectangular té $600\text{ m}^2$ de superfície i un perímetre de $100\text{ m}$. Calculeu les dimensions dels seus costats.

m i

m

Exercici 5.1. Funcions lineals i afins

Per a cadascuna de les següents funcions lineals, completeu la taula de valors i trobeu els punts de tall amb els eixos:

a.

$y = x + 1$

(

,

)

(

,

)

b.

$y = 2x + 2$

(

,

)

(

,

)

c.

$y = 2x - 2$

(

,

)

(

,

)

d.

$y = 2x - 4$

(

,

)

(

,

)

e.

$y = -x + 1$

(

,

)

(

,

)

f.

$y = -2x + 2$

(

,

)

(

,

)

g.

$y = -2x - 2$

(

,

)

(

,

)

h.

$y = -2x - 4$

(

,

)

(

,

)

Exercici 5.2. Anàlisi i gràfica de paràboles

Determineu el vèrtex, l'eix de simetria i els punts de tall amb els eixos per a les següents funcions quadràtiques:

a)

$y = x^2 - 4x$

(,)

b)

$y = x^2 + 4x + 3$

(,)

c)

$y = -x^2 + 4x - 5$

(,)

d)

$y = x^2 - 4$

(,)

Exercici 5.3. Intersecció de rectes i paràboles

Calculeu els punts d'intersecció entre:

a.

La recta $y = -x + 5$ i la paràbola $y = x^2 - 6x + 5$.

i

b.

La recta $y = \frac{8}{3}x - 11$ i la paràbola $y = x^2 - 6x + 5$.

i

Exercici 5.4. Determinació de la recta per dos punts

Escriviu l'equació de la recta que passa pels punts $P_1(0, 2)$ i $P_2(3, 0)$. Determineu el seu pendent i l'ordenada a l'origen.

Exercici 5.5. Estudi i gràfica de paràboles

Donada la funció polinòmica de segon grau $y = x^2 - 5x + 6$:

a.

Trobeu els seus punts de tall amb els eixos i les coordenades del vèrtex.

$x_1 =$

$x_2 =$

$y =$

$x_v =$

$y_v =$

b.

Determineu la funció reflectida respecte a l'eix d'abscisses, $y = -x^2 + 5x - 6$, i compareu els seus elements geomètrics (talls amb els eixos, posició i tipus de vèrtex).

Exercici 5.6. Paràbola i tangent en el vèrtex

Trobeu la família de paràboles que tenen el vèrtex al punt $(0, 2)$ i determineu l'equació de la recta tangent en aquest vèrtex.

a)

b)

Exercici 5.7. Paràbola amb vèrtex a l'eix d'abscisses

Escriviu l'equació d'una paràbola amb vèrtex al punt $(4, 0)$ que sigui tangent a l'eix d'abscisses. Determineu a més la recta paral·lela a la tangent en el vèrtex que passa pel punt $(2, 3)$.

a)

b)

Exercici 5.8. Reconstrucció de funció quadràtica

D'una funció quadràtica es coneixen els punts de tall amb l'eix d'abscisses, que són $x = -1$ i $x = 2$, i el punt de tall amb l'eix d'ordenades, $(0, -4)$. Trobeu l'expressió algebraica del polinomi de segon grau associat.

Exercici 5.10. Recta secant als eixos i eix de simetria

Responeu a les qüestions següents:

a.

Trobeu l'equació de la recta que talla els eixos als punts $(1, 0)$ i $(0, 2)$, i indiqueu quin és el seu pendent.

b.

Escriviu l'equació general d'una paràbola amb les branques cap amunt que tingui com a eix de simetria la recta $x = 2$.

Exercici 6.1. Inequacions lineals i racionals simples

Resoleu les inequacions següents i expresseu el conjunt de solucions en forma d'interval:

a.

$2(x - 5) \le 3x - 5$

b.

$3x + 7 \ge 5 - 2x$

c.

$-3(2x + 4) > 7(5 - x)$

d.

$\frac{6}{x} \ge -2$ (per a valors negatius / anàlisi de signe)

e.

$\frac{x - 3}{2} + \frac{2 - x}{3} \le 1$

f.

$\frac{x - 1}{4} + \frac{2 - 3x}{2} \le 3 + 2x$

Exercici 6.2. Inequacions de segon grau mitjançant gràfica

A partir de la representació de la paràbola i l'estudi del signe, determineu la solució de cadascuna de les següents inequacions:

a.

Per a $x^2 - 25$, determineu els intervals on $x^2 - 25 \le 0$, $x^2 - 25 \ge 0$ i $x^2 - 25 < 0$.

b.

Per a $-x^2 + 3x$, resoleu $-x^2 + 3x \le 0$ i $-x^2 + 3x > 0$.

c.

Per a $x^2 - 5x + 6$, resoleu $x^2 - 5x + 6 \le 0$ i $x^2 - 5x + 6 > 0$.

d.

Per a $-2x^2 - 2x + 12$, resoleu $-2x^2 - 2x + 12 \ge 0$ i $-2x^2 - 2x + 12 \le 0$.

Exercici 6.3. Resolució algebraica d'inequacions quadràtiques

Trobeu algebraicament el conjunt solució de cadascuna de les següents inequacions (escriviu la resposta en forma d'interval, per exemple (-1, 1) o (-inf, 0] U [3, +inf)):

a)

$x^2 < 1$

b)

$x^2 - 1 < 0$

c)

$2x^2 - 8x + 6 > 0$

d)

$x^2 - x - 2 < 0$

e)

$-x^2 + 3x \ge 0$

f)

$x^2 - 3x \ge 0$

g)

$x^2 - x - 2 \ge 0$