Problemes del Tema 5. Funcions i gràfiques

MATEMÁTICAS EMPRESARIALES

Problemes del Tema 5. Funcions i gràfiques

Col·lecció d'exercicis i problemes sobre operacions algebraiques, interpretació gràfica, funcions elementals, dominis, asímptotes, transformacions i equacions transcendentals.

Problema 5.5. Expressió com a potència única

Efectueu les operacions necessàries per escriure cadascuna de les expressions com una única potència:

a.

$$\sqrt[3]{\frac{2}{\sqrt{3}}}$$

b.

$$\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt{a}$$

c.

$$\frac{3\sqrt{8} \cdot 5\sqrt{3}}{-2\sqrt{4}}$$

MATEMÁTICAS EMPRESARIALES

Problemes del Tema 5. Funcions i gràfiques

Col·lecció d'exercicis i problemes sobre operacions algebraiques, interpretació gràfica, funcions elementals, dominis, asímptotes, transformacions i equacions transcendentals.

Problema 5.18. Model lineal aplicat a la inversió publicitària

Un estudi comercial encarregat per la companyia INSAL conclou que cada euro invertit en publicitat genera un augment de 5 euros en els ingressos diaris. Se sap que, si no es fa cap despesa publicitària, l'empresa obté uns ingressos diaris de 1.230 euros.

a.

Formuleu l'expressió matemàtica dels ingressos diaris en funció de la despesa en publicitat.

b.

Quina és la variable independent i quina la dependent en aquest model?

c.

Quins seran els ingressos diaris si la inversió en publicitat és de 100 €?

d.

Quant hauria d'invertir en publicitat per assolir uns ingressos diaris de 1.480 €?

MATEMÁTICAS EMPRESARIALES

Problemes del Tema 5. Funcions i gràfiques

Col·lecció d'exercicis i problemes sobre operacions algebraiques, interpretació gràfica, funcions elementals, dominis, asímptotes, transformacions i equacions transcendentals.

Problema 5.19. Vèrtex, talls i reflexió de paràboles

Considereu la funció quadràtica $y = x^2 - 5x + 6$.

a.

Trobeu els seus punts d'intersecció amb els eixos de coordenades i les coordenades del vèrtex, i traceu la seva gràfica.

b.

Representeu gràficament la funció $y = -x^2 + 5x - 6$. Quina relació geomètrica manté amb la primera?

Problema 5.20. Paràbola i recta tangent al vèrtex

Escriviu l'equació d'una paràbola que tingui el vèrtex situat al punt $(0, 2)$ i determineu l'equació de la recta tangent a la paràbola en aquest punt. Representeu-les gràficament.

Problema 5.21. Paràbola i recta paral·lela a la tangent

Determineu l'equació d'una paràbola amb vèrtex al punt $(4, 0)$ i dibuixeu-la. A continuació, trobeu l'equació i representeu una recta paral·lela a la tangent a la paràbola pel vèrtex que contingui el punt $(2, 3)$.

Problema 5.22. Intersecció entre recta i paràbola

Trobeu l'equació de la recta que talla els eixos en els punts $(1, 0)$ i $(0, 2)$, indicant el seu pendent i traçant la seva gràfica. Determineu també l'equació d'una paràbola que tingui les branques cap amunt i el seu eix de simetria a la recta $x = 2$. Finalment, calculeu els punts d'intersecció entre la recta i la paràbola trobades.

Problema 5.23. Resolució geomètrica d'inequacions de segon grau

Resoleu les inequacions següents mitjançant l'estudi gràfic de la paràbola associada i escriviu la solució en forma d'interval o reunió d'intervals:

Problema 5.24. Càlcul de dominis de definició

Trobeu el domini de definició de cadascuna de les setze funcions següents i expresseu-lo en forma d'interval o reunió d'intervals:

Funció

Domini

Funció

Domini

$f_1(x) = \frac{x-3}{x+5}$

$f_9(x) = \sqrt{-x^2+4}$

$f_2(x) = \frac{x-3}{x^2+5}$

$f_{10}(x) = \sqrt{x^2-2x-3}$

$f_3(x) = \frac{x+2}{x^2-4}$

$f_{11}(x) = \frac{x+2}{\sqrt{x^2-4}}$

$f_4(x) = \frac{x+2}{9-x^2}$

$f_{12}(x) = \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{-x^2+25}}$

$f_5(x) = \sqrt{x+2}$

$f_{13}(x) = \frac{\sqrt{x^2-2x-3}}{x^2-25}$

$f_6(x) = \sqrt{2x-12}$

$f_{14}(x) = \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x^2-9}}$

$f_7(x) = \sqrt{x^2+2}$

$f_{15}(x) = \frac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{x^2-4}}$

$f_8(x) = \sqrt{x^2-4}$

$f_{16}(x) = \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{-x^2+4}}$

Problema 5.25. Transformacions de la hipèrbola equilàtera

A partir de la corba fonamental $y = \frac{1}{x}$ i fent ús de les propietats de translació i dilatació de gràfiques de funcions, dibuixeu les següents funcions i determineu el seu domini, punts de tall amb els eixos i asímptotes:

a.

$y = \frac{1}{x-2}$

b.

$y = \frac{3}{x} - 2$

Problema 5.26. Estudi complet i transformacions d'una funció racional (I)

Atesa la funció $f(x) = \frac{x-2}{x+1}$:

Problema 5.27. Interpretació asimptòtica i gràfica d'una hipèrbola

A partir de la corba de la funció $y = f(x)$ representada en la següent imatge:

Problema 5.28. Anàlisi de propietats gràfiques i asímptotes

Atesa la gràfica de la funció $y = f(x)$ que es mostra a continuació:

Problema 5.29. Estudi analític i gràfic d'una hipèrbola desplaçada

Sigui la funció $f(x) = \frac{1}{x-1} - 2$, l'esbós de la qual es mostra tot seguit:

Problema 5.30. Estudi complet i transformacions d'una funció racional (II)

Atesa la funció $f(x) = \frac{3x-1}{2x+6}$:

Problema 5.31. Estudi complet d'una funció racional amb denominador de segon grau

Atesa la funció $f(x) = \frac{x+1}{x^2-4}$:

Problema 5.32. Estudi d'una funció racional amb discontinuïtat evitable

Atesa la funció $f(x) = \frac{x^2-3x}{x^2-9}$:

Problemes 5.33, 5.34 i 5.35. Exponencials i logaritmes

Representeu mitjançant transformacions geomètriques les funcions indicades als problemes 5.33 ($y = 2^{x+1}$, $y = 2^x - 1$, $y = -2^x$), 5.34 ($y = (1/2)^{x-2}$, $y = (1/2)^x + 1$) i 5.35 ($y = 1 + \ln x$, $y = \ln(x-1)$, etc.).

Problema 5.36. Resolució d'equacions exponencials i logarítmiques

Resoleu les següents equacions: