Col·lecció de problemes resolts: Cinemàtica, Dinàmica, Treball i Energia

Sigui el vector velocitat d'un mòbil donat per $\mathbf{v} = (2t\,\mathbf{i} + t^2\,\mathbf{j} + \mathbf{k})\text{ m/s}$. Determineu:

a.

b.

c.

Quin significat físic té cadascuna d'aquestes dues quantitats?

Considerant el vector acceleració d'una partícula $\mathbf{a} = ((t + 1)\,\mathbf{i} + t^2\,\mathbf{j} + 2t\,\mathbf{k})\text{ m/s}^2$:

a.

Calculeu la seva integral indefinida respecte del temps:

b.

Avalueu la integral definida entre els instants $t = -1\text{ s}$ i $t = 2\text{ s}$ per a cada component:

Component i:

Component j:

Component k:

c.

Expliqueu el significat físic de cadascun dels resultats obtinguts.

Des de l'interior d'un edifici s'observa passar davant d'una finestra de $2\text{ m}$ d'alçària una pilota en caiguda lliure. La pilota triga $0{,}25\text{ s}$ a recórrer la longitud vertical de la finestra. Si la pilota s'ha deixat anar des del repòs des del terrat de l'edifici, quina distància vertical separa el terrat de la vora superior de la finestra?

Una partícula mòbil es troba inicialment a la posició $10\mathbf{j}$ ($\mathbf{r}_0 = (0, 10, 0)\text{ m}$) i la seva velocitat en qualsevol instant ve donada per $\mathbf{v}(t) = 5\mathbf{i} - 10t\mathbf{j}$. Determineu:

a)

L'equació del vector de posició $\mathbf{r}(t)$.

b)

L'equació cartesiana explícita de la trajectòria $y(x)$.

c)

El vector acceleració de la partícula.

Una pilota llisca per una teulada que forma un angle de $30^\circ$ amb l'horitzontal. En arribar a l'extrem, queda en llibertat amb una velocitat de $10\text{ m/s}$. L'alçada de l'edifici en aquest punt és de $60\text{ m}$ i l'amplada del carreró davant la teulada és de $30\text{ m}$. Prenent l'eix $X$ horitzontal i l'eix $Y$ vertical amb sentit positiu cap avall:

a)

Trobeu l'equació explícita de la trajectòria $y(x)$.

b)

Determineu si la pilota xocarà contra la paret oposada o arribarà directament al terra.

Arribarà directament al terra

Xocarà contra la paret oposada

c)

Quant de temps trigarà a tocar terra i quina serà la seva velocitat (mòdul) en aquest instant?

d)

A quina distància horitzontal $x$ es trobarà quan el vector velocitat formi un angle de $45^\circ$ respecte a l'horitzontal?

Una llanxa que creua un riu ho fa en direcció Est amb una velocitat de $4\text{ m/s}$ respecte de l'aigua. El corrent del riu flueix cap al Nord a una velocitat de $3\text{ m/s}$.

a)

Quina és la velocitat de la llanxa (mòdul) vista per un observador en repòs a terra?

b)

Si l'amplada del riu és de $80\text{ m}$, quant de temps trigarà la llanxa a travessar-lo?

c)

Quina distància s'haurà desplaçat la llanxa en la direcció Sud-Nord en completar la travessia?

Una partícula de massa $10\text{ kg}$ sotmesa a una força d'expressió $\mathbf{F} = (120t + 40)\mathbf{i}\text{ N}$ es mou al llarg d'una trajectòria rectilínia sobre l'eix $X$. En l'instant inicial ($t = 0$), la partícula es troba a $5\text{ m}$ de l'origen de coordenades amb una velocitat de $6\text{ m/s}$. Trobeu l'equació de la posició en funció del temps $x(t)$.

8 Dinàmica. Problema 7

Una bola de $2\text{ kg}$ de massa està lligada a l'extrem d'una corda i gira descrivint una circumferència vertical d'$1\text{ m}$ de radi.

a.

Quina ha de ser la velocitat mínima de la bola en el punt més alt de la trajectòria perquè pugui completar el gir circular sense que la corda perdi tensió?

b.

Si la velocitat al punt més alt és el doble de la velocitat mínima calculada a l'apartat anterior, quina serà la tensió de la corda en aquesta posició?

c.

Quina serà la tensió a la corda quan la partícula passi pel punt més baix de la circumferència amb aquesta mateixa velocitat?

9 Dinàmica. Problema 11

Un cos llisca pendent avall per un pla inclinat que forma un angle de $45^\circ$ amb l'horitzontal. La distància recorreguda al llarg del pla en funció del temps respon a l'equació $s(t) = b t^2$, on $b = 1{,}73\text{ m/s}^2$ és una constant.

Determineu el valor del coeficient de fregament cinètic $\mu_c$ entre el cos i la superfície del pla inclinat.

10 Treball i Energia. Problema 2

A la figura es representa un pèndol simple de longitud $\ell$ el moviment del qual està limitat per la presència d'un clau horitzontal situat a una distància de $\frac{2}{3}\ell$ per sota del punt de suspensió, sobre la mateixa vertical.

Calculeu des de quin angle mínim $\theta$ cal deixar anar el pèndol des del repòs perquè el fil de suspensió s'enrotlli al clau fent una volta circular completa.

11 Treball i Energia. Problema 6

Un bloc de massa $5\text{ kg}$ llisca sobre una superfície horitzontal sense fregament amb una velocitat de $4\text{ m/s}$ i col·lideix frontalment contra una molla de constant elàstica $k = 980\text{ N/m}$. Determineu:

a.

b.

c.

12 Treball i Energia. Problema 10

Una massa $m$ es desplaça al llarg de l'eix $OX$ sota l'acció d'una força conservativa unidimensional donada per l'expressió $F(x) = -kx + \frac{c}{x^3}$, on $k$ i $c$ són constants reals estrictament positives.

a.

Trobeu la funció d'energia potencial $U(x)$ associada a aquesta força (prenent $U_0 = 0$ com a referència).

b.

Calculeu les posicions d'equilibri del sistema i determineu-ne l'estabilitat.

13 Sistemes de partícules. Problema 6

Un nucli de poloni $^{218}\text{Po}$ (massa $218\text{ uma}$), inicialment en repòs, es desintegra emetent una partícula alfa $\alpha$ (massa $4\text{ uma}$) i un nucli de plom $^{214}\text{Pb}$ (massa $214\text{ uma}$). Sabent que l'energia cinètica de la partícula alfa emesa és de $6\text{ MeV}$, determineu:

Dades:

$1\text{ uma} = 1{,}66\cdot 10^{-27}\text{ kg}$; $1\text{ eV} = 1{,}6\cdot 10^{-19}\text{ J}$.

a)

La velocitat de la partícula alfa i la velocitat de retrocés del nucli de plom.

b)

L'energia cinètica de retrocés del nucli de $^{214}\text{Pb}$ expressada en $\text{keV}$.

keV