Banc d'exercicis tipus test de Sòlid Rígid i Oscil·lacions

Context

Aquest recull d'exercicis aborda els conceptes centrals de la mecànica del sòlid rígid i dels sistemes oscil·latoris: càlcul de moments d'inèrcia (teorema de Steiner), aplicació de les lleis de Newton a la translació i a la rotació, equilibri estàtic, conservació del moment angular i energia mecànica en el moviment de rodament.

1. Test inicial: Qüestions 1-3

a. Si sobre una barra apliquem dues forces de la mateixa magnitud en punts oposats, amb la mateixa direcció però amb sentits contraris, quin moviment s'origina?

Context

Aquest recull d'exercicis aborda els conceptes centrals de la mecànica del sòlid rígid i dels sistemes oscil·latoris: càlcul de moments d'inèrcia (teorema de Steiner), aplicació de les lleis de Newton a la translació i a la rotació, equilibri estàtic, conservació del moment angular i energia mecànica en el moviment de rodament.

1. Test inicial: Qüestions 1-3

b. Un infant i el seu pare juguen en un balancí de ferro de massa $M = 60\text{ kg}$ i longitud $L = 4\text{ m}$. A una distància $d = 1{,}5\text{ m}$ del punt central de gir (O) s'ha lligat una corda fixa que transmet una força cap amunt de $F_2 = 200\text{ N}$. L'infant se situa a un extrem ($F_1 = 15\text{ kg}$) i el pare a l'extrem oposat ($F_3 = 60\text{ kg}$). Sabent que el moment d'inèrcia de la barra és $I_{\text{CM}} = \frac{1}{12}ML^2$ i assumint que les forces actuen sempre verticals, determineu l'acceleració angular $\alpha$ en funció de l'angle $\beta$ d'inclinació respecte a l'horitzontal.

Context

Aquest recull d'exercicis aborda els conceptes centrals de la mecànica del sòlid rígid i dels sistemes oscil·latoris: càlcul de moments d'inèrcia (teorema de Steiner), aplicació de les lleis de Newton a la translació i a la rotació, equilibri estàtic, conservació del moment angular i energia mecànica en el moviment de rodament.

1. Test inicial: Qüestions 1-3

c. En una fira es munta un mecanisme format per una barra penjada pel seu extrem superior (longitud $L$ i massa $M$, amb $I = \frac{1}{3}ML^2$ respecte de l'articulació). Es dispara un projectil puntual de massa $m$ a la part inferior amb velocitat horitzontal $v$, quedant encastat en ella. Quina ha de ser la velocitat mínima $v$ perquè el sistema complet aconsegueixi donar una volta sencera vertical?

)

2. Exercicis Sòlid-Rígid: Exercicis 1-3

a. Es dissenya una grua portuària per carregar contenidors d'$m_1 = 2000\text{ kg}$. La biga horitzontal té una massa de $4000\text{ kg}$, amb el seu centre de masses situat exactament al punt mitjà de la seva longitud total. Les distàncies des de la columna de suport fins als extrems on pengen el contrapès $m_2$ i la càrrega $m_1$ són de $15\text{ m}$ i $60\text{ m}$, respectivament. Calculeu quina ha de ser la massa del contrapès $m_2$ per assegurar que l'estructura es mantingui en equilibri.

2. Exercicis Sòlid-Rígid: Exercicis 1-3

b. Des de dalt d'una rampa es deixen anar des del repòs un dau (que llisca sense fricció), una bala massissa esfèrica i un anell, tots de la mateixa massa i radi (per als objectes circulars). En quin ordre arribaran a la base amb major velocitat lineal?

Dades de moments d'inèrcia: Bala $I = \frac{2}{5}mr^2$; Anell $I = mr^2$.

2. Exercicis Sòlid-Rígid: Exercicis 1-3

c. En provar unes noves hèlices formades per dues pales (longitud total $L$ i massa $M$, amb l'eix de gir central), una de les pales es desprèn en ple vol. Com canvia el moment d'inèrcia respecte a l'eix de rotació entre la configuració intacta (dues pales) i la configuració d'una sola pala?

3. Problema del pla inclinat amb politja: Preguntes 1-3

Un bloc de massa $M_1 = 5\text{ kg}$ recolza sobre un pla inclinat un angle $\beta = 30^\circ$, amb coeficient de fregament cinètic $\mu = 0{,}2$. Està connectat mitjançant una corda inextensible a un segon bloc $M_2 = 0{,}3\text{ kg}$ col·locat sobre una superfície horitzontal sense fricció. La corda passa per una politja de massa $M = 2\text{ kg}$ i radi $R = 0{,}3\text{ m}$ ($I_{\text{CM}} = \frac{1}{2}MR^2$). En alliberar el sistema des del repòs, aquest es mou accelerant en el sentit de baixada de $M_1$.

a)

Trieu el sistema d'equacions de moviment que descriu correctament cadascun dels tres elements del sistema:

b)

Calculeu l'acceleració lineal $a$ dels blocs i les tensions $T_1$ i $T_2$ de la corda a banda i banda de la politja:

c)

Quan els blocs han assolit una velocitat de $v = 0{,}6\text{ m/s}$, determineu el moment angular de la politja respecte al seu centre de masses ($L_{\text{CM}}$), la seva energia cinètica de rotació ($E_{\text{rot}}$) i l'energia cinètica total de tot el sistema ($E_{c,\text{sist}}$):

a. Un sistema està format per un cilindre central i una esfera superior, ambdós de radi $R$ i massa $M$, flanquejats tangencialment per dos cilindres menors idèntics, cadascun de massa $M/2$ i diàmetre $R$ (és a dir, radi $R/2$). Trobeu el moment d'inèrcia de tot el conjunt respecte a l'eix vertical que coincideix amb la línia de simetria i tangent lateral esquerra representada a la figura.

Dades d'inèrcies centrals: Cilindre $I_{\mathrm{CM}} = \frac{1}{2}MR^2$; Esfera $I_{\mathrm{CM}} = \frac{2}{5}MR^2$.

b. Es deixa caure verticalment un io-io des del repòs, el qual podem modelitzar com un disc cilíndric massís d'1 kg que es desenrotlla d'un fil. Si es troba a una alçada inicial d'1,5 m del terra, quina serà la velocitat del seu centre de masses en arribar a terra?

)

c. D'un cilindre massís penja un fil que sosté en el seu extrem una massa de 30 g. En girar el cilindre, la massa puja amb una velocitat constant de $0{,}1\text{ m/s}$ (acceleració lineal zero). Si l'acceleració angular de rotació és $\alpha = 1\text{ rad/s}^2$, determineu el valor de la tensió del fil.

5. Qüestions d'energia i inèrcia: Preguntes 1-3

a. Un disc homogeni de massa $M$ i radi $R$ gira amb velocitat angular $\omega$ al voltant d'un eix perpendicular que passa pel seu centre. Quina és la seva energia cinètica de rotació?

5. Qüestions d'energia i inèrcia: Preguntes 1-3

b. Calculeu i compareu el moment d'inèrcia en els dos sistemes següents:

1) Barra uniforme de massa total $M/2$ i longitud $2L$, amb l'eix de rotació al centre de masses.

2) Disc uniforme de radi $2L$ i massa total $M$, amb l'eix de rotació contingut al seu centre de masses.

5. Qüestions d'energia i inèrcia: Preguntes 1-3

c. Un cilindre massís de massa $m$ i radi $r$ ($I = \frac{1}{2}mr^2$) es deixa anar des del repòs a una alçada $H$ per un pla inclinat. Roda sense lliscar pel pla, continua per un tram pla horitzontal i s'enfila per un revolt circular de radi $R$ fins al punt més alt $B$ descrivint mitja circumferència. Quina velocitat lineal tindrà el cilindre en arribar al punt B?

6 Qüestions d'equilibri i rotació: Preguntes 1-3

a. Indiqueu quina de les següents afirmacions relatives al sòlid rígid és FALSA:

6 Qüestions d'equilibri i rotació: Preguntes 1-3

b. En un llistó subjectat per un pivot central actuen forces verticals: a l'extrem esquerre $F_A$, a una distància $d$ cap avall $F_B$, a distància $d/2$ a la dreta cap amunt $F_C$, i a l'extrem dret cap amunt $F_D$. Si la barra està en equilibri inicial i posteriorment el mòdul de $F_B$ es redueix a un terç del seu valor amb $d = 2{,}75\text{ m}$, determineu la distància d'equilibri inicial i l'acceleració angular en la nova situació:

6 Qüestions d'equilibri i rotació: Preguntes 1-3

c. Una politja en forma de disc homogeni de $10\text{ cm}$ de radi i $5\text{ kg}$ de massa penja del sostre. D'ella pengen dues masses de $m_1 = 10\text{ kg}$ i $m_2 = 15\text{ kg}$ lligades amb una corda que no llisca. Trobeu les tensions dels dos costats, l'acceleració lineal de baixada i l'acceleració angular.

)

7. Exercicis d'atraccions i moments: Exercicis 1-3

a. En una atracció hi ha una plataforma circular en forma de disc homogeni de 10 m de diàmetre. Cada 90° hi ha un seient situat a 3 m del centre. Considerant que quan hi ha usuaris la massa total distribuïda és homogènia i val 230 kg, quin és el moment d'inèrcia associat als seients?

Dada: $I_{\text{disc}} = \frac{1}{2} M R^2$.

7. Exercicis d'atraccions i moments: Exercicis 1-3

b. Un fuster poleix un tauler de fusta de 12 kg i 4 m de longitud, sostingut per un peu situat de forma asimètrica a l'esquerra. Durant la pausa deixa eines a l'extrem esquerre, a 0,8 m de l'eix de suport, confiant que el tauler no tombi cap a la banda més curta. En tornar, comprova que ha bolcat cap a aquest costat. Quin era el pes màxim d'eines que suportava sense bolcar si el centre de masses del tauler és al mig?

)

7. Exercicis d'atraccions i moments: Exercicis 1-3

c.

D'acord amb el mecanisme físic que permet als gats caure drets: el felí comença la caiguda encongint o estirant les potes per variar el seu moment d'inèrcia (situació 1 vs situació 2):

1)

Quina relació hi ha entre els moments d'inèrcia $I_1$ (potes recollides) i $I_2$ (potes estirades)?

2)

Quina relació hi ha entre les seves respectives velocitats angulars $\omega_1$ i $\omega_2$?

8 Exercicis sòlid - líquid: Preguntes 1-4

a. Quatre boles de $10\text{ g}$ cadascuna formen els vèrtexs d'un rectangle de costats $6\cdot 10^{-8}\text{ cm}$ en horitzontal i $3{,}5\cdot 10^{-8}\text{ cm}$ en vertical. Calculeu el seu moment d'inèrcia respecte al centre de masses ($I_{\text{cm}}$ en unitats de $\text{kg}\cdot \text{\AA}^2$):

)

8 Exercicis sòlid - líquid: Preguntes 1-4

b. Es descobreix un nou planeta que orbita al voltant del Sol en el mateix eix orbital que la Terra. Aquest nou planeta posseeix un satèl·lit amb $I_{\text{cm}} = 580000\text{ kg}\cdot\text{km}^2$. Si $M_{\text{Terra}} = 126\cdot 10^5\text{ kg}$, $r_{\text{Terra}} = r_{\text{nou planeta}}$, $v_{\text{Terra}} = 34000\text{ km/h}$ i $v_{\text{nou planeta}} = 15000\text{ km/h}$, determineu el radi estimat:

8 Exercicis sòlid - líquid: Preguntes 1-4

c. Un estudiant s'asseu en un tamboret giratori girant a velocitat $v$. Si estén els braços en creu:

8 Exercicis sòlid - líquid: Preguntes 1-4

d. En quina de les següents situacions el moment de força (torque) és diferent de 0?

9. Exercicis de cinemàtica i dinàmica: Exercicis 1-3

a. Un tronc (cilindre massís i homogeni, $I = \frac{1}{2}MR^2$) es desprèn rodant sense lliscar per un pla inclinat de $30^\circ$. Considerant l'acció del fregament estàtic que garanteix el rodament perfecte, calculeu l'acceleració lineal del centre de masses del tronc ($g = 9{,}8\text{ m/s}^2$):

Per pujar una nevera de $100\text{ kg}$ s'utilitza un sistema de politges solidàries coaxials de radis $R_1 = 0{,}6\text{ m}$ i $R_2 = 0{,}2\text{ m}$ amb moment d'inèrcia conjunt $I = 12\text{ kg}\cdot\text{m}^2$. De la politja gran penja la nevera per l'esquerra, i de la politja petita penja un contrapès de $200\text{ kg}$ per la dreta. Aconseguirà pujar la nevera? Quina és l'acceleració angular $\alpha$ de les politges?

)

Un cotxe circula en línia recta a velocitat constant de $110\text{ km/h}$. Al cap de $4\text{ km}$ redueix la velocitat a la meitat i entra en una corba. Quin tipus de moviment experimenta la roda en cadascun d'aquests dos trams?

)

10. Problemes de biomecànica i politges: Qüestions 1-3

Una persona asseguda manté la cama estirada horitzontalment amb una caixa de massa $m$ sobre els peus. Des de l'eix de rotació (genoll) fins a la punta del peu hi ha $0{,}5\text{ m}$, i fins al centre de masses de la caixa hi ha $0{,}4\text{ m}$. La massa de la cama és de $7\text{ kg}$ (amb el seu centre de gravetat a la meitat, $0{,}25\text{ m}$) i el quàdriceps fa una força màxima de $400\text{ N}$ amb un braç de palanca eficaç. A partir de quina massa màxima $m$ de la caixa el quàdriceps ja no podrà aguantar-la i la cama començarà a baixar per rotació? ($g = 9{,}8\text{ m/s}^2$)

)

10. Problemes de biomecànica i politges: Qüestions 1-3

b. Una barra homogènia de longitud $L = 1{,}5\text{ m}$ i massa $m$ està articulada en un extrem a una paret vertical amb un angle de $60^\circ$ respecte d'aquesta. L'altre extrem està lligat per una corda inextensible horitzontal. Calculeu l'acceleració angular instantània que adquireix la barra en el moment exacte en què es talla la corda:

10. Problemes de biomecànica i politges: Qüestions 1-3

c. En una màquina d'Atwood, una politja de massa $M = 10\text{ kg}$ ($I = \frac{1}{2} M R^2$) sosté dues masses $m_1 = 5\text{ kg}$ i $m_2 = 2,5\text{ kg}$. Calculeu l'acceleració lineal del conjunt sabent que $a = \alpha r$ i $g = 9,8\text{ m/s}^2$:

Activitats de sòlid rígid: Activitats 1-3

a. Dues plaques rectangulars planes de la mateixa àrea i gruix uniforme tenen formes diferents: $M_1$ és més compacta (més propera a l'eix) i $M_2$ és més allargada en la direcció perpendicular a l'eix de gir que passa pel seu extrem lateral. Compareu els seus moments d'inèrcia $I_1$ i $I_2$:

Activitats de sòlid rígid: Activitats 1-3

b. Es comparen dos cossos amb la mateixa massa ($M_1 = M_2$): un cilindre buit de radi $R_1$ que gira sobre el seu eix longitudinal, i un anell prim de radi $R_2$ que gira al voltant d'un diàmetre coplanar. Se sap que $R_1 = 2R_2$. Quina relació han de complir les seves velocitats angulars $\omega_1$ i $\omega_2$ perquè ambdós tinguin exactament la mateixa energia cinètica?

Activitats de sòlid rígid: Activitats 1-3

c. Per a una esfera o disc de radi $R = 5\text{ m}$ i massa $m = 1\text{ kg}$, el seu moment d'inèrcia respecte d'un eix paral·lel que passa pel punt A és $I_A = 21\text{ kg}\cdot\text{m}^2$. Calculeu la distància $d$ entre el centre de masses (CM) i l'eix A mitjançant el teorema dels eixos paral·lels:

)

12. Qüestions d'astrofísica i rotació: Preguntes 1-3

a.

La Lluna rota sobre el seu eix amb un període de 27,32 dies. Suposem que rep l'impacte d'un meteorit de gran massa de manera que el cos resultant duplica la massa original de la Lluna i incrementa el seu volum passant a tenir un radi $3/4$ parts més gran ($R_f = 1{,}75 R_0$). Calculeu el nou període de rotació suposant conservació del moment angular:

12 Qüestions d'astrofísica i rotació: Preguntes 1-3

b.

Es disposa d'un disc de massa 5 kg i radi 0,25 m que gira sobre un eix vertical fix a $\omega_1 = 5\pi\text{ rad/s}$. S'acobla pel mateix eix un segon disc de massa 3 kg i radi 0,15 m que girava inicialment en sentit contrari a $\omega_2 = 3\pi\text{ rad/s}$. Un cop acoblats per fricció giren junts a velocitat constant. Quina és la velocitat angular final del conjunt?

)

c. En una barra de longitud $L$ fixem una massa addicional $m$. Deixem caure la barra des d'un angle $\alpha$ respecte a l'horitzontal. Què li passa a la velocitat de caiguda si la massa $m$ es desplaça cap a una posició més propera a l'eix ($x < L/2$)?

Qüestions de biomecànica i rotació: Preguntes 1-4

a. Un rellotge té tres agulles articulades al centre: l'agulla petita (massa $100\text{ g}$), la mitjana (massa $32\text{ g}$) i la gran (massa $8\text{ g}$). L'agulla més llarga (la gran) té una longitud doble que la mitjana ($L_{\text{gran}} = 2L_{\text{mitj}}$), i la petita fa una quarta part de la gran ($L_{\text{petita}} = L_{\text{gran}}/4$). Quina de les tres agulles presenta un major moment d'inèrcia?

Qüestions de biomecànica i rotació: Preguntes 1-4

b. Una barra de 50 cm de longitud es col·loca verticalment sobre el terra i se li dóna un lleuger impuls perquè comenci a caure per rotació sobre el seu extrem de contacte. Calculeu quina velocitat angular té quan l'angle format amb la vertical arriba a 30°:

Qüestions de biomecànica i rotació: Preguntes 1-4

c. En una piscina hi ha un flotador rígid hexagonal de costat 0,5 m. A cadascun dels seus 6 vèrtexs hi ha allotjada una llauna de massa $m = 0,25\text{ kg}$. El conjunt gira al voltant d'un eix perpendicular central a una velocitat angular de 7 rps. Calculeu l'energia cinètica de rotació d'aquestes masses:

Qüestions de biomecànica i rotació: Preguntes 1-4

d. Un pacient lesionat intenta elevar l'avantbraç (1,5 kg de massa i 50 cm de longitud, amb centre de masses al mig) cap a una posició horitzontal. El múscul bíceps s'insereix a un terç de la longitud de l'avantbraç respecte al colze i desenvolupa una força de 19,1 N. Trobeu l'angle límit que podrà mantenir en equilibri:

Exercicis de moviment harmònic i inèrcia: Preguntes 1-3

a. Deduïu l'expressió matemàtica que relaciona directament la velocitat $v$ i l'elongació $x$ en una partícula sotmesa a un moviment harmònic simple (MHS).

Exercicis de moviment harmònic i inèrcia: Preguntes 1-3

b. Una partícula descriu un MHS amb una freqüència de $10\text{ Hz}$ i una amplitud de $5\text{ cm}$. Determineu la velocitat de la partícula quan es troba a la posició $x = 2,5\text{ cm}$ en absència de fricció.

Exercicis de moviment harmònic i inèrcia: Preguntes 1-3

c. La molècula d'òxid nítric $^{14}\text{N}^{16}\text{O}$ presenta una distància d'enllaç de $d = 147\text{ pm}$. Calculeu el seu moment d'inèrcia respecte a l'eix que passa pel centre de masses i és perpendicular a l'enllaç.

(Dades de masses atòmiques: $m_N = 14\text{ u}$, $m_O = 16\text{ u}$; $1\text{ u} = 1,66\cdot 10^{-27}\text{ kg}$).

Seminari sòlid rígid: Problemes 1-3

a.

Quin d'aquests dos cossos tindrà un moment d'inèrcia més gran respecte al seu eix central: un anell prim cilíndric considerat en dues dimensions (2D) o un cilindre buit de paret prima allargat en tres dimensions (3D), sabent que ambdós tenen el mateix radi $R$ i la mateixa massa total $M$?

Seminari sòlid rígid: Problemes 1-3

b.

Tenim una cinta de regalèssia enrotllada que volem desenrotllar estirant amb una força tangent constant de $70\text{ N}$. Si la bobina té un radi de $50\text{ cm}$ i l'acceleració angular que adquireix en girar és de $\alpha = 125\text{ s}^{-2}$, calculeu la massa de la regalèssia (suposant model de cilindre massís, $I = \frac{1}{2}mR^2$):

Seminari sòlid rígid: Problemes 1-3

c. En un pal rígid de gelat mantingut en posició vertical, què succeeix si aconseguim fer baixar la posició del seu centre de masses mantenint-lo sempre per sobre de l'eix de rotació/suport inferior?

Seminari sòlid rígid II: Problemes 1-3

a. Una esfera massissa de massa $1{,}2\text{ kg}$ i radi $15\text{ cm}$ gira inicialment a una velocitat angular de $20\text{ rad/s}$. En entrar en contacte amb el terra, aquest exerceix una força de fricció constant de $0{,}8\text{ N}$. Sabent que el moment d'inèrcia és $I = \frac{2}{5}MR^2$, quant de temps trigarà a aturar-se la seva rotació?

Seminari sòlid rígid II: Problemes 1-3

b. La Lluna s'allunya paulatinament de la Terra a causa del fet que la fricció de les marees oceàniques alenteix la rotació terrestre. Com afecta aquesta frenada de la velocitat angular de la Terra a la distància Terra-Lluna, d'acord amb el principi de conservació del moment angular de tot el sistema aïllat?

a

El moment angular total es conserva; si el de la Terra es redueix, el de la Lluna ha d'augmentar, provocant un augment del radi orbital $r(\text{Lluna})$.

b

Segons la definició, la distància orbital i la velocitat angular són inversament proporcionals; en perdre velocitat la Terra, la separació creix.

c

Les dues respostes són correctes.

d

Cap resposta és correcta.

Seminari sòlid rígid II: Problemes 1-3

c. Els esquiadors de competició descriuen revolts molt tancats a gran velocitat ajupint-se de manera pronunciada. Com s'explica físicament l'estabilitat obtinguda en baixar la seva posició corporal?

17. Qüestions d'aplicacions pràctiques i esports: Preguntes 1-3

a. El cantant Michael Jackson realitzava en les seves coreografies una famosa inclinació de $45^\circ$ cap endavant mantenint el cos completament rígid. Suposant una persona de massa $65\text{ kg}$ i alçada $1{,}75\text{ m}$ (amb el seu centre de masses situat a la meitat de l'alçada, $0{,}875\text{ m}$), calculeu el mòdul de la força que haurien de suportar els turmells si no hi hagués cap mecanisme d'ancoratge per sostenir aquesta posició estàtica ($g = 9{,}8\text{ m/s}^2$):

17. Qüestions d'aplicacions pràctiques i esports: Preguntes 1-3

b. Un monoplaça de Fórmula 1 accelera a la recta final d'un circuit fins a una velocitat de $315\text{ km/h}$. Considerant cada pneumàtic com un cilindre buit de massa $1{,}5\text{ kg}$ i radi $360\text{ mm}$, calculeu l'energia cinètica (de rotació i translació o rotació exclusiva segons l'enunciat) associada a cada pneumàtic en aquest instant:

17. Qüestions d'aplicacions pràctiques i esports: Preguntes 1-3

c. En un forn de rostir pollastres, un primer pollastre gira al voltant de l'eix amb un període $T_0$. Posteriorment s'afegeix un segon pollastre de la mateixa massa $m$ però de volum més compacte, amb un radi equivalent a la meitat que el primer ($r_2 = r_1/2$). Suposant que es modelitzen com a esferes massisses ($I = \frac{2}{5}mr^2$) concèntriques a l'eix i que es conserva el moment angular total, calculeu el període final $T_f$ en funció de l'inicial $T_0$: