Cálculos en ingeniería: magnitudes, unidades y errores

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APUNTES FUNDAMENTOS DE INGENIERÍA Grado en Ingeniería Informática Universidad Autónoma de Barcelona AprenAI 2026-2027 Apuntes de Fonaments d'Enginyeria sobre magnitudes del SI, sistema británico, notación científica, cifras significativas, redondeo, exactitud y precisión.

APREN.AI Índice 1 Dimensiones y sistemas de unidades Dimensiones fundamentales y derivadas Sistemas de unidades y prefijos multiplicadores 2 Notación científica, cifras significativas y operaciones Formato exponencial y cifras significativas Operaciones aritméticas con cifras significativas Criterios de redondeo 3 Mediciones, precisión y exactitud Parámetros de los sistemas de medición 4 Formulario Dimensiones y unidades Errores e incertidumbres Parámetros de medición Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones. Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante.

Cálculos en ingeniería: magnitudes, unidades y errores 1 1 Dimensiones y sistemas de unidades AL ACABAR SABRÁS Diferenciar dimensiones fundamentales de dimensiones derivadas mediante sus ecuaciones dimensionales. Identificar las unidades básicas y complementarias del Sistema Internacional. Manejar prefijos multiplicadores de potencias de diez desde exa hasta atto. PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Por qué la aceleración y la energía no pueden ser magnitudes fundamentales? Dimensiones fundamentales y derivadas En ingeniería resulta imprescindible cuantificar las propiedades físicas mediante dimensiones o magnitudes.

Existen magnitudes de base que no dependen de otras, mientras que las secundarias se construyen combinando algebraicamente las primeras. Tipo de dimensión Magnitud física Expresión dimensional Fundamentales Longitud Tiempo Masa Corriente eléctrica Temperatura Cantidad de sustancia Intensidad luminosa Derivadas Área Volumen Velocidad Aceleración Densidad de masa Fuerza y Energía Fuerza: " Energía: L T M I θ N J L2 L3 L/T L/T2 M /L3 M × L/T2 M × L /T 2 2 Cálculos en ingeniería: magnitudes, unidades y errores 2 DEFINICIÓN Una unidad es una cantidad estandarizada de forma precisa que sirve como patrón para referenciar y cuantificar otras medidas del mismo tipo.

Sistemas de unidades y prefijos multiplicadores El estándar de referencia mundial es el Sistema Internacional de Unidades (SI). Cuenta con siete patrones básicos y dos medidas complementarias destinadas a la geometría espacial y angular: Ángulo plano: radián (rad). Ángulo sólido: estereorradián (sr). Magnitud básica (SI) Unidad Símbolo Longitud metro m Tiempo segundo s Masa kilogramo kg Corriente eléctrica ampere A Temperatura kelvin K Cantidad de sustancia mol mol Intensidad luminosa candela cd En Estados Unidos y el entorno anglosajón se conserva el sistema británico de unidades.

Emplea la pulgada y el pie para medir longitud, la libra y la onza para masa, el galón para capacidad volumétrica y el grado Fahrenheit en temperatura. PARA RECORDARLO Las potencias de diez permiten escalar cualquier unidad del SI. Se dividen en múltiplos mayores que la unidad ( deca hasta exa) y submúltiplos fraccionarios ( deci hasta atto).

Potencia positiva Prefijo Potencia negativa Prefijo exa deci peta centi tera mili giga micro mega nano 101 1018 10 1 10 18 1018 10 1 1015 10 2 1012 10 3 109 10 6 106 10 9 Cálculos en ingeniería: magnitudes, unidades y errores 3 Potencia positiva Prefijo Potencia negativa Prefijo kilo pico hecto femto deca atto COMPRUEBA 2 ¿En qué unidades complementarias del SI se miden el ángulo plano y el ángulo sólido? ESQUEMA Clasificación de magnitudes y sistemas IDEAS CLAVE Las dimensiones fundamentales no derivan de otras variables y componen magnitudes complejas como fuerza o aceleración. El Sistema Internacional fija siete unidades básicas obligatorias junto a dos suplementarias para ángulos.

El sistema británico cuantifica dimensiones físicas mediante pulgadas, pies, libras, onzas, galones y grados Fahrenheit. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 3. ¿Cuál es la expresión dimensional de la fuerza según las magnitudes fundamentales? 4. ¿Qué prefijo del SI corresponde al factor multiplicador ? 103 10 12 102 10 15 101 10 18 Fundamentales Longitud, tiempo, masa, corriente, temperatura, sustancia, luz Derivadas Área, volumen, velocidad, fuerza y energía Sistema Internacional Basado en metro, kg, s, A, K, mol y cd Sistema Británico Pulgada, pie, libra, onza, galón y Fahrenheit 10 15 Cálculos en ingeniería: magnitudes, unidades y errores 4 Test Rodea la respuesta correcta.

Las soluciones están al final. 5. ¿Cuál de estas magnitudes se considera una dimensión derivada? 6. ¿Qué unidad representa la intensidad luminosa en el SI? 7. ¿Qué unidad de volumen pertenece al sistema británico? 8. ¿A qué potencia de diez equivale el prefijo giga? 2 Notación científica, cifras significativas y operaciones AL ACABAR SABRÁS Calcular el error máximo admisible de un número a partir de su dígito menos significativo. Aplicar el criterio correcto de cifras significativas en operaciones de suma, resta y multiplicación. Ejecutar redondeos rigurosos siguiendo las reglas de simetría con terminación en 5.

PIÉNSALO ANTES DE LEER 9 ¿Por qué el resultado de sumar 45,621 y 4,3 no puede expresarse con tres cifras decimales? Formato exponencial y cifras significativas La notación científica representa magnitudes usando potencias de diez con la estructura . En esta formulación, recibe el nombre de mantisa y debe cumplir , mientras que es un número entero. Una cifra significativa es cualquier dígito fiable derivado de mediciones o cálculos.

Toda cifra incierta condiciona el margen de error: al procesar un valor numérico, el error límite admisible viene definido por: Temperatura a) Velocidad b) Tiempo c) Masa d) Kelvin a) Ampere b) Candela c) Mol d) Litro a) Onza b) Metro cúbico c) Galón d) 10 a) 10¹² b) 10¹ c) 10 d) m × 10e m 1 m < 10 e Cálculos en ingeniería: magnitudes, unidades y errores 5 donde representa la potencia de diez vinculada a la posición del dígito menos significativo, situado en el extremo derecho. EJEMPLO El valor 3,572 consta de cuatro cifras significativas. El dígito 2 ocupa la posición de las milésimas ( , con ). Los tres primeros dígitos son seguros, pero el último contiene incertidumbre.

En consecuencia, el error máximo corresponde a (es decir, ). Operaciones aritméticas con cifras significativas Al procesar operaciones, el resultado final no puede aparentar mayor exactitud que los datos originales: Suma y resta: El resultado no debe poseer más decimales que el operando con menor cantidad de cifras a la derecha de la coma. Por ejemplo, en , se reporta finalmente como 43,5. Multiplicación y división: El valor final retiene la cantidad de cifras significativas del factor que posea menos dígitos fiables. Al calcular , dado que 0,00170 posee 3 cifras significativas, la respuesta se trunca a 0,171.

Para la combinación de incertidumbres en sumas y restas, la incertidumbre absoluta acumulada se estima como: ERROR FRECUENTE Contar los ceros a la izquierda de la coma o al inicio de un decimal como cifras significativas es un error recurrente. En 0,00170 solo hay tres cifras significativas: el 1, el 7 y el cero final.

Criterios de redondeo Para redondear hacia el número deseado de cifras se evalúa el dígito inmediatamente posterior al corte: Error m ximo = a ˊ ±5 × 10p 1 p 10 3 p = 3 ±5 × 10 4 ±0,0005 45,621 6,41 + 4,3 = 43,511 0,00170 × 100,40 = 0,17068 Δy = = 0,001 + 0,01 + 0,1 2 2 2 0,100504 Error m ximo = a ˊ ±0,050252 Menor que 5: Se elimina dicho valor y todos los que le siguen sin alterar la cifra retenida (por ejemplo, 43,511 con un decimal queda en 43,5). 1 Mayor que 5: La última cifra conservada aumenta en una unidad y se elimina el resto (por ejemplo, 0,17068 con tres decimales queda en 0,171).

2 Exactamente igual a 5: Si tras el 5 existe algún dígito distinto de cero, se incrementa la cifra en uno. Si no hay dígitos posteriores: Se aumenta en uno si la cifra previa es impar ( ). Se mantiene idéntica si es par ( ). 3 3,6975 3,698 7,2365 7,236 Cálculos en ingeniería: magnitudes, unidades y errores 6 COMPRUEBA 10 ¿Cómo se redondea el número 4,825 a tres cifras significativas aplicando la regla del dígito 5?

PROCESO Procedimiento de redondeo numérico 1 Identificar dígito Observar la cifra a la derecha de la posición requerida 2 Evaluar umbral Comprobar si es menor, mayor o igual a 5 3 Aplicar ajuste Conservar, sumar una unidad o aplicar criterio de paridad si es 5 IDEAS CLAVE En la notación científica, la mantisa debe encontrarse siempre comprendida en el intervalo de 1 a 10 sin alcanzar este último valor. Al sumar o restar manda la cantidad de decimales; al multiplicar o dividir manda el número total de cifras significativas. El redondeo con terminación exacta en 5 favorece los números pares cuando no hay más dígitos a su derecha. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 11.

¿Cuál es la regla para multiplicar dos números con diferente cantidad de cifras significativas? 12. ¿Por qué el número 7,2365 pasa a 7,236 al redondear al milésimo más próximo? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 13. ¿Qué condición formal debe cumplir la mantisa m en el formato exponencial? 14. ¿Cuántas cifras significativas contiene el valor 0,00170? 15. ¿Cómo queda redondeado 3,6975 a tres decimales? 1 < m 10 a) 0 < m < 1 b) 1 m < 10 c) 0 m < 10 d) 2 cifras a) 6 cifras b) 5 cifras c) 3 cifras d) 3,698 a) 3,700 b) 3,697 c) 3,695 d) Cálculos en ingeniería: magnitudes, unidades y errores 7 16. ¿Qué criterio rige el número de dígitos al sumar 45,621 y 4,3?

3 Mediciones, precisión y exactitud AL ACABAR SABRÁS Diferenciar de forma rigurosa los conceptos de resolución, error, exactitud y precisión. Calcular la lectura final de un equipo a partir de su resolución nominal. Reconocer la independencia conceptual existente entre exactitud y repetibilidad instrumental. PIÉNSALO ANTES DE LEER 17 ¿Puede un instrumento dar resultados extraordinariamente precisos y, al mismo tiempo, estar completamente equivocado? Parámetros de los sistemas de medición Los ingenieros obtienen datos mediante instrumentos que presentan características metrológicas concretas.

Todo dispositivo técnico queda caracterizado por los siguientes parámetros: Resolución: Constituye la menor variación cuantificable que el instrumento es capaz de registrar en su lectura. Si una báscula tiene una resolución de 100 g, el peso de una persona de se registrará como . Error: Es la desviación numérica entre la medida proporcionada por el dispositivo y la magnitud real subyacente. Exactitud: Mide la concordancia con la realidad. Guarda una relación inversa con el error: a menor error, mayor exactitud. Precisión: Refleja la máxima dispersión o diferencia esperada entre lecturas sucesivas de un mismo valor real, tomadas bajo idénticas condiciones.

En un termómetro con precisión de , la discrepancia entre lecturas sucesivas será siempre menor o igual a dicho margen. DEFINICIÓN La precisión y la exactitud son parámetros totalmente independientes: un equipo puede arrojar lecturas extraordinariamente próximas entre sí (alta precisión) pero sistemáticamente alejadas del valor real (baja exactitud). Parámetro Aspecto que evalúa Comportamiento experimental Resolución Sensibilidad mínima Límite del último decimal visualizado en la escala.

Menor cantidad de decimales a) Menor número de enteros b) Mayor número de cifras c) Cantidad de potencias de diez d) 75,37 kg 75,4 kg 0,1 C Cálculos en ingeniería: magnitudes, unidades y errores 8 Parámetro Aspecto que evalúa Comportamiento experimental Error Desviación absoluta Diferencia directa frente a la referencia verdadera. Exactitud Fidelidad de la medida Aumenta conforme el error disminuye. Precisión Repetibilidad Lecturas repetidas muy cercanas entre sí. COMPRUEBA 18 ¿Pueden dos instrumentos poseer la misma exactitud pero diferente precisión? Justifica la respuesta.

CAUSAS Y CONSECUENCIAS Resolución finita Incapacidad del sensor para detectar variaciones más pequeñas Dispersión experimental Fluctuaciones entre medidas repetidas bajo condiciones idénticas Evaluación del error instrumental Disminución de exactitud Aparición de desviaciones frente al valor físico real Límite de precisión Rango máximo de divergencia esperado en la lectura técnica IDEAS CLAVE La resolución es el escalón numérico más pequeño que un sensor o instrumento puede discriminar. La exactitud indica cercanía al valor verdadero, mientras que la precisión mide la dispersión entre lecturas repetidas.

Precisión y exactitud operan de manera independiente dentro de cualquier análisis experimental. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 19. ¿Qué marca una báscula con resolución de 100 g al pesar un cuerpo de 75,37 kg? 20. ¿Cómo se define la precisión en un instrumento de medida? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 21. ¿Qué representa la resolución de un equipo de medida? La diferencia con el valor real a) El mínimo incremento medible b) La dispersión entre medidas c) La ausencia total de error d) Cálculos en ingeniería: magnitudes, unidades y errores 9 22. ¿Cómo se vincula el error instrumental con la exactitud? 23.

¿Qué cualidad describe obtener lecturas idénticas en tomas repetidas bajo las mismas condiciones? 24. ¿Qué relación guardan la precisión y la exactitud? 4 Formulario Dimensiones y unidades Magnitud / Dimensión Expresión dimensional / Unidad Cuándo se usa Fuerza Cálculo dinámico a partir de masa, longitud y tiempo. Energía Definición dimensional del trabajo o energía. Densidad de masa Relación de masa por unidad de volumen. Ángulos suplementarios SI Radián (rad) y estereorradián (sr) Medida de ángulo plano y ángulo sólido en el SI.

Errores e incertidumbres Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa : potencia de diez del dígito menos significativo Determinar el error máximo admisible de una lectura con cifras significativas. : incertidumbre absoluta; : incertidumbre de cada término Propagación de incertidumbres en sumas y restas. Suma y resta con cifras Número de decimales del resultado truncar al operando con menor cantidad de decimales Alineación de precisión en sumas y restas.

Son conceptos idénticos a) Son independientes b) A menor error, mayor exactitud c) A mayor error, mayor exactitud d) Incertidumbre a) Resolución b) Precisión c) Exactitud d) Son inversamente proporcionales a) La precisión condiciona la exactitud b) Son parámetros independientes c) Son magnitudes proporcionales d) M L/T2 M L /T 2 2 M /L3 Error m x.

= a ˊ ±5 × 10p 1 p n Δy = (Δx ) i 2 Δy Δx i Cálculos en ingeniería: magnitudes, unidades y errores 10 Fórmula o procedimiento Qué significa cada símbolo Cuándo se usa Multiplicación y división con cifras Número total de cifras significativas conservar tantas cifras como el factor con menos dígitos fiables Ajuste de precisión en productos y cocientes. Redondeo con terminación exacta en 5 Observar dígito previo si es impar se incrementa en 1 si es par se mantiene igual Redondeo cuando tras el 5 no hay más dígitos.

Parámetros de medición Concepto Definición operativa Comportamiento experimental Resolución Mínimo incremento perceptible en la escala del instrumento Determina el escalón de redondeo de la lectura. Error Diferencia entre el valor medido y el valor real de la magnitud A menor error, mayor exactitud. Precisión Diferencia máxima esperable entre medidas repetidas bajo idénticas condiciones Independiente de la exactitud. Cálculos en ingeniería: magnitudes, unidades y errores 11 Soluciones de las preguntas de repaso 1. Porque ambas dependen necesariamente de magnitudes previas más simples: la longitud, el tiempo y la masa combinadas matemáticamente. 2.

El ángulo plano se expresa en radianes y el ángulo sólido en estereorradianes. 3. La fuerza se expresa dimensionalmente como . 4. El factor corresponde al prefijo femto. 5. b) Velocidad. La velocidad resulta de combinar longitud y tiempo, por lo que es una magnitud derivada. 6. c) Candela. La candela (cd) es la unidad básica del SI para medir intensidad luminosa. 7. d) Galón. El galón es la unidad tradicional anglosajona para medir capacidad y volumen. 8. d) 10 . El prefijo giga representa el factor multiplicador 10 . 9. Porque el número 4,3 solo aporta certeza hasta las décimas; añadir más decimales simularía una precisión inexistente en los datos de origen. 10.

Al terminar exactamente en 5 sin dígitos posteriores y ser la cifra previa un número par (2), se mantiene intacto: 4,82. 11. El resultado final conserva la misma cantidad de cifras significativas que el término que posea menos dígitos significativos. 12. Porque el 5 final no tiene dígitos posteriores y la cifra anterior es un número par (6). 13. c) 1 m < 10. La mantisa debe ser obligatoriamente igual o superior a 1 y estrictamente menor que 10. 14. d) 3 cifras. Los ceros iniciales no cuentan; los dígitos significativos son el 1, el 7 y el último cero. 15. a) 3,698. Al terminar en 5 y ser impar el dígito anterior (7), este se incrementa en una unidad a 8. 16. a) Menor cantidad de decimales.

La suma se rige por el término que presente la menor cantidad de decimales tras la coma. 17. Sí, porque la precisión mide que los resultados se repitan muy cerca unos de otros, mientras que la exactitud mide que coincidan con la realidad objetiva. 18. Sí, porque son magnitudes independientes: uno puede presentar una baja dispersión interna y el otro una dispersión mayor, coincidiendo ambos en el promedio respecto al valor verdadero. 19. Mostrará una lectura redondeada a su resolución de 75,4 kg. 20. Como la máxima discrepancia que puede esperarse entre lecturas tomadas a un mismo valor en idénticas circunstancias. 21. b) El mínimo incremento medible.

La resolución define la variación de menor magnitud que el instrumento puede detectar. 22. c) A menor error, mayor exactitud. La exactitud crece a medida que se reduce la discrepancia o error frente al valor real. 23. c) Precisión. La precisión evalúa la concordancia y repetibilidad entre diferentes tomas del mismo fenómeno. 24. c) Son parámetros independientes. La exactitud y la precisión actúan como variables independientes en cualquier instrumento metrológico. M × L/T2 10 15 Cálculos en ingeniería: magnitudes, unidades y errores 12