Problemes de Creació de Valor i Matemàtica Financera

Exemple 1.3 A. Creació de valor: Empresa A

A partir de la informació econòmica següent sobre l'Empresa A:

Finançament dels accionistes: 30.000 u.m.

Cost d'oportunitat del capital: 8% anual

Nombre de treballadors en plantilla: 200

Salari pagat: 50 u.m. per treballador a l'any

Salari mínim acceptable pels treballadors: 40 u.m. per treballador a l'any

Producció anual: 200 unitats a l'any

Preu de venda unitari: 110 u.m.

Disposició a pagar dels clients: 115 u.m. per unitat

Cost de materials comprat: 38 u.m./unitat fabricada

Cost del material per al proveïdor: 35 u.m./unitat fabricada

Determineu el benefici comptable ($R$), el valor total generat ($VT$) i com es distribueix aquest valor entre els diferents grups d'interès (clients, treballadors, proveïdors i accionistes).

3. Distribució del valor generat:

Exemple 1.3 B. Creació de valor: Empresa B

Considereu l'Empresa B, que parteix del mateix escenari que l'Empresa A però incorpora les modificacions següents:

Salari satisfet: 60 u.m./treballador i any

Unitats produïdes: 220 unitats/any

La resta de condicions unitàries i d'oportunitat es mantenen (200 treballadors, preu de venda 110 u.m., valoració clients 115 u.m./unitat, cost unitari del proveïdor 35 u.m., preu de compra dels materials 38 u.m., fons dels accionistes 30.000 u.m. al 8% anual, i salari mínim 40 u.m.).

Calculeu el nou benefici comptable, el valor generat global i el repartiment d'aquest valor entre els diferents agents.

3. Repartiment del valor:

Exercici 1. Capitalització semestral i tipus efectiu

Es disposa d'un capital inicial de $C_0 = 70.000\text{ €}$ invertit durant $n = 2\text{ anys}$ a un tipus d'interès nominal anual del $10\%$ ($i = 0{,}10$) amb liquidació semestral ($k = 2$).

a.

Trobeu el capital acumulat final ($C_n$).

b.

Calculeu la taxa anual equivalent (efectiva anual $i$).

Exercici 2. Tipus trimestral i efectiu anual

Una inversió de $250.000\text{ €}$ produeix uns rendiments de $1.500\text{ €}$ cada trimestre. Determineu el tipus d'interès efectiu trimestral i calculeu el tipus efectiu anual equivalent.

a)

b)

Exercici 3. Equivalència financera de pagaments mensuals

Es tenen previstos els següents cobraments al llarg d'un any, representats en la línia temporal següent amb un tipus d'interès mensual de l'$1\%$ ($i_{12} = 0{,}01$):

Els ingressos previstos són:

$20.000\text{ €}$ al mes 2

$30.000\text{ €}$ al mes 6

$50.000\text{ €}$ al mes 9

Es desitja substituir aquests cobraments per dos pagaments: un de $50.000\text{ €}$ al mes 3 i un segon pagament $X$ situat al mes 12. Trobeu l'import de $X$ utilitzant el mes 12 com a data focal.

Exercici 4. Rendibilitat mitjana de carter d'inversions

Una entitat inverteix un total d'$1.000.000\text{ €}$ diversificat en quatre actius financers diferents durant un horitzó d'un any:

Actiu A: $100.000\text{ €}$ a un tipus semestral del $5\%$ ($i_2 = 0{,}05$).

Actiu B: $200.000\text{ €}$ a un tipus d'interès nominal anual del $10\%$ amb liquidació trimestral ($i_4 = \frac{0{,}10}{4} = 0{,}025$).

Actiu C: $400.000\text{ €}$ a un interès mensual del $0{,}5\%$ ($i_{12} = 0{,}005$).

Actiu D: $300.000\text{ €}$ que generen un rendiment de $50\text{ u.m.}$ per cada $1.000\text{ u.m.}$ cada 2 mesos (bimestral, $i_6 = \frac{50}{1.000} = 0{,}05$).

Calculeu el muntant acumulat al cap d'un any i la rendibilitat anual global ($i$) obtinguda per la cartera.

a)

b)

Exercici 5. Actualització de capitals i TIR equivalent

Es disposa del cronograma financer següent que mostra quatre cobraments futurs fixats en els anys 5, 8, 10 i 15:

Els venciments respecte a l'any 18 són de 3, 8, 10 i 13 anys respectivament.

a)

Si cadascun dels capitals nominals és de 250.000 €, calculeu el seu valor descomptat al 3% anual ($i = 0{,}03$) en cadascun dels períodes (3, 8, 10 i 13 anys).

€

€

€

€

b)

Determineu la suma dels valors actuals obtinguts per als quatre títols (A, B, C i D).

€

c)

Si cadascun dels títols de 250.000 € assoleix un valor final de 325.000 € en el seu respectiu termini, trobeu la taxa interna de rendibilitat (TIR) anual de cadascuna de les operacions A, B, C i D.

%

%

%

%

Exercici 6. Inversió inicial i valor futur combinat

Es planteja una estratègia d'inversió financera:

a)

Es necessiten 150.000 € d'aquí a 5 anys. Si el tipus d'interès és del 6% anual, quant cal invertir avui ($C_0$)?

€

b)

Si es disposa d'un capital total d'1.000.000 €, es destina una part a cobrir el compromís anterior i a més s'inverteixen 600.000 € en un altre fons, quina quantitat restant queda per invertir? Si aquest romanent es col·loca al tipus semestral $i_2 = 0{,}04$, quins interessos generarà el primer semestre?

€

€

c)

Calculeu el valor acumulat al cap de 5 anys dels 600.000 € (al 6% anual) i dels diners romanents (col·locats al tipus semestral del 4% durant 10 semestres). Quin és el total obtingut?

€

€

€

Exercici 7. Planificació financera d'una despesa futura

Una família vol preveure el cost de la matrícula universitària d'un fill d'aquí a 8 anys.

a)

Es disposa d'un dipòsit inicial de 10.000 € col·locat a un tipus d'interès del 8% anual durant 8 anys. Per altra banda, la matrícula costa actualment 15.000 € i s'estima que el seu import creixerà a una taxa del 5% anual. Es podrà pagar la matrícula amb els diners estalviats?

€

€

Sí

No

b)

Si es volgués cobrir exactament l'import final de la matrícula mitjançant 8 imposicions anuals constants ($q$) al final de cada any al 8% d'interès anual, quina quantitat anual caldria ingressar?

€/any

Exercici 8. Valor actual d'una renda temporal constant

Determineu el valor actual ($V_0$ o $VA$) d'una renda temporal anual de 20 termes de 24.000 € cadascun ($q = 24.000\text{ €}$), valorada a un tipus d'interès del 7% anual ($i = 0{,}07$).

€

Exercici 9. Descompte compost de capitals futurs

Es disposa d'un capital de $45.626\text{ €}$ exigible al final del tercer any ($C_3 = 45.626\text{ €}$) amb un cost de capital del $15\%$ anual ($i = 0,15$).

a.

Calculeu el valor actual en el moment inicial ($C_0$).

b.

Calculeu el seu valor al cap d'un any ($C_1$).

c.

Comproveu el valor que té en el mateix venciment dels 3 anys.

Exercici 10. Selecció de projectes mitjançant VAN i TIR

Tres socis disposen d'un capital de $15.000\text{ €}$ i avaluen tres propostes d'inversió alternatives a un horitzó de 3 anys. El tipus de mercat lliure de risc que ofereix el banc és del $4\%$ anual ($k = 0,04$), la qual cosa constitueix el rendiment mínim exigit.

Les tres alternatives són:

Soci 1: Dipòsit bancari que abona interessos anuals de $15.000 \times 0,04 = 600\text{ €}$ i retorna els $15.000\text{ €}$ al final de l'any 3 (fluxos: $+600$, $+600$, $+15.600\text{ €}$).

Soci 2: Inversió que genera $4.000\text{ €}$ el primer any, $5.000\text{ €}$ el segon any i $7.000\text{ €}$ ($6.000 + 1.000$) el tercer any.

Soci 3: Projecte que genera $1.000\text{ €}$ el primer any, $1.000\text{ €}$ el segon any i $16.000\text{ €}$ ($1.000 + 15.000$) el tercer any.

Determineu el VAN i la TIR de cada proposta i indiqueu quina és la més convenient.

Soci 1

Soci 2

Soci 3

Conclusió

Quina és la proposta més convenient?

Exercici 11. Rendibilitat d'un projecte i cost de finançament

Una empresa vol emprendre una inversió que requereix un desemborsament de $10.000\text{ €}$ i produeix els següents fluxos de caixa nets:

Fluxos: $3.700\text{ €}$ el primer any, $3.800\text{ €}$ el segon any i $4.000\text{ €}$ el tercer any.

Per finançar el projecte, s'avaluen les opcions següents:

a.

Calculeu la taxa interna de rendibilitat (TIR) de la inversió:

%

b.

Calculeu el cost efectiu d'un préstec bancari de $10.000\text{ €}$ amb comissió d'obertura del $2\%$ (ingrés net de $9.800\text{ €}$) que es retorna en 3 quotes anuals de $3.500\text{ €}$:

%

c.

Calculeu el cost d'un préstec personal que consisteix a rebre $10.000\text{ €}$ i tornar $11.000\text{ €}$ al cap de 3 anys:

%

d.

Si els diners procedeixen d'un compte corrent que remunera al $3,30\%$ anual (cost d'oportunitat), avalueu la viabilitat de la inversió i compareu el cost dels tres orígens de fons amb la TIR del projecte.

€

Exercici 12. Conversió de tipus d'interès subperiòdics

A partir de les relacions d'equivalència financera entre tipus efectius anuals ($i_1$ o $i$) i subperiòdics, aïlleu i calculeu els tipus d'interès corresponents per als casos següents:

a)

Si $(1 + i_1) = (1 + i_2)^2$ amb un tipus efectiu anual del 6% ($i_1 = 0{,}06$), trobeu el tipus semestral $i_2$.

b)

Si $(1 + i_1) = (1 + i_4)^4$ amb un tipus efectiu anual del 5,5% ($i_1 = 0{,}055$), trobeu el tipus trimestral $i_4$.

c)

Si $(1 + i_1) = (1 + i_{12})^{12}$ amb un tipus efectiu anual del 5% ($i_1 = 0{,}05$), trobeu el tipus mensual $i_{12}$.

d)

Si $(1 + i_2) = (1 + i_4)^2$ a partir d'un tipus semestral del 4,5% ($i_2 = 0{,}045$), trobeu el tipus trimestral $i_4$.

e)

Si $(1 + i_1) = (1 + i_2)^2$ amb un tipus semestral del 2% ($i_2 = 0{,}02$), trobeu el tipus efectiu anual $i_1$.

Exercici 13. Tipus efectiu a partir d'interès mensual

Un préstec o inversió de 100.000 € genera uns interessos de 1.300 € al mes. Calculeu:

a.

b.

Exercici 14. Comparativa de modalitats de pagament

Es presenten tres opcions de pagament d'una compravenda valorades a un tipus d'interès del 8% anual:

a. Opció b: Renda de 10 pagaments anuals constants de 850 € cadascun, començant a l'any 1.

b. Opció c: Un pagament immediat de 1.000 € seguit de 5 quotes anuals de 1.300 € cadascuna a partir de l'any 2 fins a l'any 6.

c. Opció d: Renda de 12 pagaments anuals constants de 800 € cadascun, començant a l'any 1.

Calculeu el valor actual de cada alternativa i determineu quina opció resulta més avantatjosa per al comprador i quina per al venedor.

a)

b)

c)

d)

Exercici 15. Valor actual i futur de fluxos irregulars

Un projecte produeix els següents fluxos anuals de tresoreria al llarg del temps, valorats a un tipus d'interès anual del 10% ($i = 0{,}10$):

Any 1: +10.000 €

Any 2: +7.500 €

Any 3: -6.000 €

Any 5: +3.000 €

Any 7: +1.000 €

a.

Calculeu el valor actual global ($VA$) d'aquesta sèrie de fluxos.

b.

Calculeu el valor futur equivalent ($VF$) a l'any 7.

Exercici 16. Valoració d'inversió i preu màxim a pagar

Es valora una inversió amb un cost d'adquisició inicial de $A = 250.000$ €, una vida útil de 3 anys, uns fluxos de caixa nets anuals de $100.000$ € per als anys 1, 2 i 3 ($Q_1 = Q_2 = Q_3 = 100.000$ €) i un valor residual estimat de $50.000$ € a l'any 3 ($VR_3 = 50.000$ €).

Es disposa de tres alternatives per determinar el cost d'oportunitat del capital ($k$):

$k_a = (1,01)^4 - 1 = 4,06\%$

$k_b = (1 + 0,04/2)^2 - 1 = 4,04\%$

$k_c = (1 + 0,0035)^{12} - 1 = 4,28\%$

a)

Trieu el cost de finançament més exigent:

b)