Problemas de Introducción a la Integración

Ejercicio 1. Cálculo de integrales indefinidas inmediatas

Calcule las siguientes primitivas inmediatas:

a.

$\int (x^4 + 7x^3 - 5x^2 + 9)\,dx$

b.

$\int \left(12\sqrt{x} - \frac{2}{x^5}\right) dx$

c.

$\int 47\,dx$

d.

$\int 47x\,dx$

e.

$\int \left(\frac{2}{5} - 32x^4\right) dx$

f.

$\int e^x\,dx$

g.

$\int \frac{1}{x+7}\,dx$

h.

$\int \frac{\sin x}{765}\,dx$

i.

$\int \cos x\,dx$

j.

$\int e^{x+65}\,dx$

k.

$\int \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx$

l.

$\int \frac{1}{x}\,dx$

Ejercicio 2. Cálculo de integrales definidas

Determine el valor exacto de las siguientes integrales definidas mediante la regla de Barrow:

a.

$\int_0^3 (x^4 + 7x^3 - 5x^2 + 9)\,dx$

b.

$\int_1^4 \left(12\sqrt{x} - \frac{2}{x^5}\right) dx$

c.

$\int_0^2 47\,dx$

d.

$\int_{-1}^4 47x\,dx$

e.

$\int_0^1 \left(\frac{2}{5} + 32x^4\right) dx$

f.

$\int_{-3}^0 e^x\,dx$

g.

$\int_{-3}^{-1} \frac{1}{x+7}\,dx$

h.

$\int_0^\pi \frac{\sin x}{765}\,dx$

Ejercicio 3. Aplicaciones de las integrales

Resuelva las siguientes cuestiones de cálculo de áreas:

a.

Determine el área de la región encerrada por la recta $y = 1 - x$ y el eje de abscisas $OX$ comprendida entre las rectas verticales $x = 2$ y $x = 6$.

b.

Calcule el área de la superficie delimitada conjuntamente por la recta horizontal $y = 5$ y la parábola $y = 9 - x^2$.

c.

Halle el área del recinto triangular cuyos vértices son los puntos $A(3,0)$, $B(6,3)$ y $C(8,0)$.

d.

Calcule el área del triángulo delimitado por las coordenadas de sus vértices: $A(3,0)$, $B(6,3)$ y $C(8,1)$.

e.

Determine la superficie acotada por las tres funciones: $y_1 = x^2$, $y_2 = \frac{x^2}{2}$ e $y_3 = 2x$.

f.

Calcule el área comprendida entre la curva $y = x^2 - x$, la recta tangente a dicha curva en el punto de abscisa $x = -1$ y el eje horizontal $OX$.

g.

Halle el área encerrada entre la recta $y_1 = 2 + x$ y la parábola $y_2 = x^2$ en el segundo cuadrante del plano cartesiano.

h.

Determine el área de la región comprendida entre las curvas $y_1 = x^2$ e $y_2 = \sqrt{x}$.

Ejercicio 4. Cálculo de integrales (examen)

Halle las siguientes integrales:

a.

$$\int \frac{x^2+1}{x^3+3x+8}\, dx$$

b.

$$\int_1^4 \frac{1}{x^{3/2}}\, dx$$

Ejercicio 5. Función a trozos y área

Sea la función definida a trozos:

$$f(x) = \begin{cases} e^{2x}, & \text{si } x \le 1, \\ \frac{1}{x^2}, & \text{si } x > 1. \end{cases}$$

a.

Represente gráficamente la función $f(x)$.

b.

Calcule el área de la región delimitada por la curva de $f(x)$ y el eje horizontal en el intervalo $x \in [0, 3]$.

Ejercicio 6. Integral por sustitución

Calcule la siguiente integral indefinida detallando el procedimiento seguido:

$$\int x e^{3x^2}\,dx$$

Ejercicio 7. Área delimitada por función cúbica

Determine el área sombreada en la siguiente figura, correspondiente a la región limitada por la curva $f(x) = x^3 + 1$, las rectas verticales $x = -2$ y $x = 2$, y el eje de abscisas: