Problemas de estudio y representación de funciones

Ejercicio 1. Continuidad y derivabilidad a trozos con parámetro a

Dada la función definida a trozos:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + a, & \text{si } x \le 0, \\ \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right), & \text{si } 0 < x < 1, \\ \ln x, & \text{si } x \ge 1. \end{cases}$$

a.

Estudia la continuidad de $f$ en el punto $x = 0$ en función de los posibles valores del parámetro real $a$.

$a =$

b.

Determina si la función es continua y derivable en $x = 1$.

Sí

No

Sí

No

Ejercicio 2. Continuidad y derivabilidad con parámetro k

Considera la función definida en el intervalo cerrado $[-2, 2]$:

$$f(x) = \begin{cases} 5x^2 - 10x, & \text{si } -2 \le x < 0, \\ 4e^x + k, & \text{si } 0 \le x \le 2. \end{cases}$$

a.

Halla el valor del parámetro real $k$ para el cual la función $f$ resulta continua en todo su dominio.

$k =$

b.

Con el valor obtenido de $k$, halla la expresión de $f'(x)$ y determina si dicha derivada es continua en todos los puntos de su dominio.

Sí

No

Ejercicio 3. Continuidad y derivabilidad en puntos frontera o singulares

Analiza razonadamente la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones en los puntos indicados:

a.

$f(x) = |\ln x|$, en $x = 1$.

b.

$f(x) = \frac{|x|}{x}$, en $x = 1$.

c.

$$f(x) = \begin{cases} x^2 \sin(1/x), & \text{si } x \neq 0, \\ 0, & \text{si } x = 0, \end{cases} \quad \text{en } x = 0.$$

d.

$$f(x) = \begin{cases} e^x, & \text{si } x \leq 0, \\ 1, & \text{si } x > 0, \end{cases} \quad \text{en } x = 0.$$

e.

$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 + 2x^2 - x - 2}{x^2 - 1}, & \text{si } 0 < x < 1, \\ x^2 - a, & \text{si } x \geq 1, \end{cases} \quad \text{en } x = 1, \text{ en función del parámetro } a.$$

Ejercicio 4. Parámetros para continuidad y derivabilidad en tres trozos

Considera la función con parámetros reales $a, b$ y $c$:

$$f(x) = \begin{cases} e^{x+a}, & \text{si } x \le -1, \\ x(x-1) + b, & \text{si } -1 < x < 1, \\ \frac{c}{x}, & \text{si } x \ge 1. \end{cases}$$

Determina las condiciones que deben cumplir dichos parámetros para que $f$ sea continua y derivable en $x = -1$ y en $x = 1$.

a)

Condición para la continuidad en $x = -1$:

b)

¿Es derivable $f$ en $x = -1$ para algún valor de los parámetros?

Sí

No

c)

Condición para la continuidad en $x = 1$:

d)

Valores de $b$ y $c$ para que $f$ sea derivable en $x = 1$:

Ejercicio 5. Estudio y representación gráfica de cuatro funciones

Lleva a cabo el estudio analítico completo (dominio, cortes con los ejes, simetrías, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos locales, concavidad y puntos de inflexión) y justifica la forma de las gráficas que se adjuntan para cada una de las siguientes funciones:

a)

$f(x) = x^4 - 10x^2 + 9$

b)

$f(x) = \frac{3}{x^3 - 3x}$

c)

$f(x) = (x + 3)e^{-2x}$

d)

$f(x) = \frac{2 + x}{1 - x}$

Ejercicio 6. Estudio y representación gráfica de exponencial cuadrática

Considera la función $f(x) = e^{x - x^2}$.

Determina de manera detallada su dominio, recorrido, intersecciones con los ejes coordenados, simetrías, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, concavidad, puntos de inflexión y asíntotas, y justifica la gráfica correspondiente:

Ejercicio 7. Estudio y representación gráfica detallada de cinco funciones

Proporciona con el máximo detalle analítico el estudio (dominio, extremos, monotonía, curvatura, puntos de inflexión y asíntotas) que permite trazar las siguientes funciones:

a.

$f(x) = xe^x$

b.

$f(x) = \frac{x^2+1}{x^2-1}$

c.

$f(x) = \frac{x^2-1}{x^2+1}$

d.

$f(x) = \frac{\ln x}{x}$

e.

$$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{x-1}, & \text{si } x < 0, \\ \frac{x}{e^x}, & \text{si } x \ge 0. \end{cases}$$

Ejercicio 8. Estudio analítico y trazado de dos funciones

A partir de un estudio completo (dominio, cortes, simetrías, asíntotas, monotonía, extremos y curvatura), razona y traza la gráfica de las siguientes funciones:

a)

$$f(x) = \frac{x+x^2+1}{x^2+1}$$

b)

$$f(x) = \frac{e^x}{x+1}$$