Exercice 1 · Bac Épreuve anticipée de mathématiques (spécialité) Sujets zéro et spécimens sujet 2026 (sujet 1)

Exercice 1

On considère la figure suivante, représentée dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j})$.

On dispose des données suivantes:

Le quadrilatère $OABC$ est un carré de côté 4;

On a $A(4; 0)$, $B(4; 4)$, $C(0; 4)$, $I(4; 3)$;

Le point $H$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(OI)$;

On note $\mathcal{E}$ le cercle de centre $D(2; 2)$ et de rayon 0,5.

Aide au calcul

$0{,}5^2 = 0{,}25$   $1{,}5^2 = 2{,}25$   $2{,}5^2 = 6{,}25$   $5 \times 2{,}4 = 12$

1.a.

Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{OI}$ et $\vec{OC}$.

(

;

)

(

;

)

1.b.

En déduire le produit scalaire $\vec{OI} \cdot \vec{OC}$.

2.a.

Exprimer le produit scalaire $\vec{OI} \cdot \vec{OC}$ en fonction des longueurs $OH$ et $OI$.

2.b.

Calculer la longueur $OI$.

2.c.

En déduire que $OH = 2,4$.

$= 2,4$

3.a.

Déterminer une équation cartésienne de la droite $(CH)$.

3.b.

Justifier qu'une équation du cercle $\mathcal{E}$ est: $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7,75 = 0$.

3.c.

Le point $M(1,5; 2)$ appartient-il à l'intersection du cercle $\mathcal{E}$ et de la droite $(CH)$ ? Justifier.