Exercice 3 - Partie I (Questions 4 et 5) · Bac Mathématiques Sujets zéro et spécimens sujet 2024 (sujet 1)

Exercice 3

Dans un examen, une épreuve notée sur dix points est constituée de deux exercices: le premier est noté sur deux points, le deuxième sur huit points.

Partie I

Le premier exercice est constitué de deux questions Q1 et Q2.

Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte un point; une réponse incorrecte, incomplète ou une absence de réponse rapporte zéro point.

On considère que:

Un candidat pris au hasard a une probabilité $0{,}8$ de répondre correctement à la question Q1.

Si le candidat répond correctement à Q1, il a une probabilité $0{,}6$ de répondre correctement à Q2; s'il ne répond pas correctement à Q1, il a une probabilité $0{,}1$ de répondre correctement à Q2.

On prend un candidat au hasard et on note:

$A$ l'événement: « le candidat répond correctement à la question Q1 »;

$B$ l'événement: « le candidat répond correctement à la question Q2 ».

On note $\overline{A}$ et $\overline{B}$ les événements contraires de $A$ et de $B$.

Variables aléatoires

On note:

$X_1$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q1;

$X_2$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q2;

$X$ la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à l'exercice, c'est-à-dire $X = X_1 + X_2$.

4.

Déterminer l'espérance de $X_1$ et de $X_2$. En déduire l'espérance de $X$. Donner une interprétation de l'espérance de $X$ dans le contexte de l'exercice.

5.

On souhaite déterminer la variance de $X$.

a.

Déterminer $P(X = 0)$ et $P(X = 2)$. En déduire $P(X = 1)$.

b.

Montrer que la variance de $X$ vaut 0,57.

c.

A-t-on $V(X) = V(X_1) + V(X_2)$ ? Est-ce surprenant ?