Exercice 2 · Bac Mathématiques Sujets zéro et spécimens sujet 2024 (sujet 1)

Exercice 2

L'exercice est constitué de deux parties indépendantes.

Partie I

Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on désigne par $f_n$ la fonction définie sur $[0; 1]$ par:

$$f_n(x) = x^n \mathrm{e}^x$$

On note $C_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$ du plan.

On désigne par $(I_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 par:

$$I_n = \int_0^1 x^n \mathrm{e}^x \mathrm{d}x$$

1. a.

On désigne par $F_1$ la fonction définie sur $[0; 1]$ par: $F_1(x) = (x - 1)\mathrm{e}^x$.

Vérifier que $F_1$ est une primitive de la fonction $f_1$.

1. b.

2.

À l'aide d'une intégration par parties, établir la relation pour tout $n$ supérieur ou égal à 1:

$$I_{n+1} = \mathrm{e} - (n + 1)I_n$$

3.

4.

On considère la fonction mystere écrite dans le langage Python:

from math import e # la constante d'Euler e

def mystere(n):

a = 1

L = [a]

for i in range(1, n):

a = e - (i+1)*a

L.append(a)

return L

À l'aide des questions précédentes, expliquer ce que renvoie l'appel mystere(5).

Partie II

1. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les courbes $C_1, C_2, C_3, C_{10}, C_{20}$ et $C_{30}$.

a.

Donner une interprétation graphique de $I_n$.

b.

Quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite $(I_n)$ ?

2.

Montrer que pour tout $n$ supérieur ou égal à 1:

$$0 \le I_n \le \mathrm{e} \int_0^1 x^n \mathrm{d}x$$

3.