Exercice 2 · Bac Mathématiques Liban 2023 (jour 2)

Exercice 2 (5 points)

Partie A

On considère la fonction $f$ définie par:

$$f(x) = x - \ln(1 + x)$$

1.

Justifier que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]-1; +\infty[$.

2.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]-1; +\infty[$. Déterminer l'expression de sa fonction dérivée $f'$.

3. a.

En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-1; +\infty[$.

3. b.

En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-1; +\infty[$.

4. a.

Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]-1; +\infty[$, on a:

$$f(x) = \ln\left(\frac{\mathrm{e}^x}{1 + x}\right)$$

4. b.

En déduire la limite en $+\infty$ de la fonction $f$.

Partie B

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 10$ et, pour tout entier naturel $n$,

$$u_{n+1} = u_n - \ln(1 + u_n)$$

On admet que la suite $(u_n)$ est bien définie.

1.

Donner la valeur arrondie au millième de $u_1$.

2.

En utilisant la question 3.a. de la partie A, démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n \ge 0$.

3.

Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.

4.

Déduire des questions précédentes que la suite $(u_n)$ converge.

5.

Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.