Exercice 1 · Bac Mathématiques Liban 2023 (jour 2)

Exercice 1 (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par:

$$f(x) = \frac{1}{1 + e^{-3x}}$$

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

On nomme $\text{A}$ le point de coordonnées $\left(0; \frac{1}{2}\right)$ et $\text{B}$ le point de coordonnées $\left(1; \frac{5}{4}\right)$.

On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$, et $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0.

Partie A: lectures graphiques

Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique. Aucune justification n'est demandée.

1.

Déterminer l'équation réduite de la tangente $\mathcal{T}$.

2.

Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.

Partie B: étude de la fonction

1.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. Déterminer l'expression de sa fonction dérivée $f'$.

2.

Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

3.

a. Déterminer la limite en $+\infty$ de la fonction $f$.

b. Déterminer la limite en $-\infty$ de la fonction $f$.

4.

Déterminer la valeur exacte de la solution $\alpha$ de l'équation $f(x) = 0{,}99$.

Partie C: Tangente et convexité

1.

Déterminer par le calcul une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 0.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f''$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$.

On admet que $f''$ est définie sur $\mathbb{R}$ par:

$$f''(x) = \frac{9e^{-3x}(e^{-3x} - 1)}{(1 + e^{-3x})^3}$$

2.

Étudier le signe de la fonction $f''$ sur $\mathbb{R}$.

3.

a. Indiquer, en justifiant, sur quel(s) intervalle(s) la fonction $f$ est convexe.

b. Que représente le point $\text{A}$ pour la courbe $\mathcal{C}_f$ ?

4.

En déduire la position relative de la tangente $\mathcal{T}$ et de la courbe $\mathcal{C}_f$. Justifier la réponse.