Exercice 1 · Bac Mathématiques Liban 2023 (jour 1)

Thème : Compléments sur la dérivation : composée, dérivée seconde et convexité · Tiré du sujet Jour 1 (2023)

Énoncé

Exercice 1 (5 points)

Partie A

On considère la fonction gg définie sur l'intervalle ]0;+∞[]0; +\infty[ par:g(x)=ln⁡(x2)+x−2g(x) = \ln(x^2) + x - 2

1.

Déterminer les limites de la fonction gg aux bornes de son ensemble de définition.

2.

On admet que la fonction gg est dérivable sur l'intervalle ]0;+∞[]0; +\infty[. Étudier les variations de la fonction gg sur l'intervalle ]0;+∞[]0; +\infty[.

3. a.

Démontrer qu'il existe un unique réel strictement positif α\alpha tel que g(α)=0g(\alpha) = 0.

3. b.

Déterminer un encadrement de α\alpha d'amplitude 10−210^{-2}.

4.

En déduire le tableau de signe de la fonction gg sur l'intervalle ]0;+∞[]0; +\infty[.

xx · 00 · · α\alpha · · +∞+\infty

Signe de g(x)g(x) · ||

Partie B

On considère la fonction ff définie sur l'intervalle ]0;+∞[]0; +\infty[ par:f(x)=x−2xln⁡(x)f(x) = \frac{x-2}{x}\ln(x)On note Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. a.

Déterminer la limite de la fonction ff en 00.

1. b.

Interpréter graphiquement le résultat.

2.

Déterminer la limite de la fonction ff en +∞+\infty.

3.

On admet que la fonction ff est dérivable sur l'intervalle ]0;+∞[]0; +\infty[. Montrer que pour tout réel xx strictement positif, on a f′(x)=g(x)x2f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}.

4.

En déduire les variations de la fonction ff sur l'intervalle ]0;+∞[]0; +\infty[.

Partie C

Étudier la position relative de la courbe Cf\mathcal{C}_f et de la courbe représentative de la fonction ln⁡\ln sur l'intervalle ]0;+∞[]0; +\infty[.

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. Déterminer les limites de la fonction g aux bornes de son ensemble de définition (en 0)

Réponse : −∞-\infty

1. Déterminer les limites de la fonction g aux bornes de son ensemble de définition (en +∞)

Réponse : +∞+\infty

2. Étudier les variations de la fonction g sur l'intervalle ]0; +∞[

Réponse : strictement croissante sur ]0;+∞[]0; +\infty[

3. a. Démontrer qu'il existe un unique réel strictement positif α tel que g(α) = 0

Réponse : Sur ]0;+∞[]0; +\infty[, gg est continue et strictement croissante. lim⁡x→0g(x)=−∞\lim_{x\to 0} g(x) = -\infty et lim⁡x→+∞g(x)=+∞\lim_{x\to +\infty} g(x) = +\infty. Comme 0∈]−∞;+∞[0 \in ]-\infty; +\infty[, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g(x)=0g(x) = 0 admet une unique solution α\alpha sur ]0;+∞[]0; +\infty[.

3. b. Déterminer un encadrement de α d'amplitude 10⁻²

Réponse : 1,37<α<1,381{,}37 < \alpha < 1{,}38

4. Tableau de signe de g(x) sur ]0; α[

Réponse : −-

4. Valeur de g(α)

Réponse : 00

4. Tableau de signe de g(x) sur ]α; +∞[

Réponse : ++

Partie B - 1. a. Déterminer la limite de la fonction f en 0

Réponse : +∞+\infty

Partie B - 1. b. Interpréter graphiquement le résultat

Réponse : x=0x = 0

Partie B - 2. Déterminer la limite de la fonction f en +∞

Réponse : +∞+\infty

Partie B - 3. Montrer que pour tout réel x strictement positif, on a f'(x) = g(x)/x²

Réponse : f′(x)=g(x)x2f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}

Partie B - 4. En déduire les variations de la fonction f sur l'intervalle ]0; +∞[

Réponse : ff est strictement décroissante sur ]0;α]]0; \alpha] et strictement croissante sur [α;+∞[[\alpha; +\infty[

Partie C - Étudier la position relative de la courbe C_f et de la courbe représentative de ln

Réponse : Cf\mathcal{C}_f est au-dessus de la courbe de ln⁡\ln sur ]0;1[]0; 1[, au-dessous sur ]1;+∞[]1; +\infty[, et les deux courbes se coupent au point d'abscisse x=1x = 1.

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