Exercice 3 · Bac Mathématiques La Réunion 2023 (jour 2)

EXERCICE 3 (5 points)

On se place dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

On considère le point $A(1; 1; 0)$ et le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$.

On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation: $x + 4y + 2z + 1 = 0$.

1.

On note $(d)$ la droite passant par $A$ et dirigée par le vecteur $\vec{u}$.

Déterminer une représentation paramétrique de $(d)$.

2.

Justifier que la droite $(d)$ et le plan $\mathcal{P}$ sont sécants en un point $B$ dont les coordonnées sont $(1; -1; 1)$.

3.

On considère le point $C(1; -1; -1)$.

a.

Vérifier que les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.

b.

Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.

c.

4.

a.

Justifier que le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.

b.

Soit $H$ le milieu du segment $[BC]$. Calculer la longueur $AH$ puis l'aire du triangle $ABC$.

5.

Soit $D$ le point de coordonnées $(0; -1; 1)$.

a.

Montrer que la droite $(BD)$ est une hauteur de la pyramide $ABCD$.

b.

Déduire des questions précédentes le volume de la pyramide $ABCD$.

On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par: $V = \frac{1}{3} \mathcal{B} \times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondante.