Exercice 4 · Bac Mathématiques La Réunion 2023 (jour 1)

Thème : Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans, produit scalaire et repérage · Tiré du sujet Jour 1 (2023)

Énoncé

EXERCICE 4 (5 points)

On considère le cube ABCDEFGHABCDEFGH ci-dessous tel que AB=1AB = 1.

On note MM le centre de la face BCGFBCGF et NN le centre de la face EFGHEFGH.

On se place dans le repère orthonormé (D;DH⃗,DC⃗,DA⃗)(D; \vec{DH}, \vec{DC}, \vec{DA}).

1.

Donner sans justifier les coordonnées des points FF et CC.

2.

Calculer les coordonnées des points MM et NN.

3. a.

Démontrer que le vecteur AG⃗\vec{AG} est normal au plan (HFC)(HFC).

3. b.

En déduire une équation cartésienne du plan (HFC)(HFC).

4.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AG)(AG).

5.

Démontrer que le point RR de coordonnées (23;23;13)(\frac{2}{3}; \frac{2}{3}; \frac{1}{3}) est le projeté orthogonal du point GG sur le plan (HFC)(HFC).

6.

On admet qu'une représentation paramétrique de la droite (FG)(FG) est:{x=1y=1z=t(t∈R).\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \\ z = t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}).Démontrer qu'il existe un unique point KK sur la droite (FG)(FG) tel que le triangle KMNKMN soit rectangle en KK.

7.

Quelle fraction du volume du cube ABCDEFGHABCDEFGH le volume du tétraèdre FNKMFNKM représente-t-il ?

Énoncé: Exercice 4 · Bac Mathématiques La Réunion 2023 (jour 1)

Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. Donner sans justifier les coordonnées du point F.

Réponse : (1;1;1)(1 ; 1 ; 1)

1. Donner sans justifier les coordonnées du point C.

Réponse : (0;1;0)(0 ; 1 ; 0)

2. Calculer les coordonnées du point M.

Réponse : (0,5;1;0,5)(0{,}5 ; 1 ; 0{,}5)

2. Calculer les coordonnées du point N.

Réponse : (1;0,5;0,5)(1 ; 0{,}5 ; 0{,}5)

3. a. Démontrer que le vecteur AG est normal au plan (HFC).

Réponse : AG⃗⋅HF⃗=0\vec{AG} \cdot \vec{HF} = 0 et AG⃗⋅HC⃗=0\vec{AG} \cdot \vec{HC} = 0

3. b. En déduire une équation cartésienne du plan (HFC).

Réponse : x+y−z−1=0x + y - z - 1 = 0

4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AG).

Réponse : {x=ty=t(t∈R)z=1−t\begin{cases} x = t \\ y = t \quad (t \in \mathbb{R}) \\ z = 1 - t \end{cases}

5. Démontrer que le point R de coordonnées (2/3 ; 2/3 ; 1/3) est le projeté orthogonal du point G sur le plan (HFC).

Réponse : R∈(HFC)R \in (HFC) et R∈(AG)R \in (AG)

6. Démontrer qu'il existe un unique point K sur la droite (FG) tel que le triangle KMN soit rectangle en K.

Réponse : KM⃗⋅KN⃗=0  ⟺  t=0,5\vec{KM} \cdot \vec{KN} = 0 \iff t = 0{,}5, d'où l'unique point K(1;1;0,5)K(1 ; 1 ; 0{,}5).

6. Coordonnées du point K

Réponse : (1;1;0,5)(1 ; 1 ; 0{,}5)

7. Quelle fraction du volume du cube ABCDEFGH le volume du tétraèdre FNKM représente-t-il ?

Réponse : 148\frac{1}{48}

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