Exercice 2 · Bac Mathématiques La Réunion 2023 (jour 1)

1. Déterminer la limite de la fonction f en 0 et en +∞.

Réponse : $\lim_{x\to 0} f(x) = 1$ et $\lim_{x\to +\infty} f(x) = -\infty$

2. a. Démontrer que pour tout réel x strictement positif : f'(x) = 1 - 2ln(x).

Réponse : $f'(x) = 1 - 2\ln(x)$

2. b. Étudier le signe de f' et dresser le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; +∞[.

Réponse : $f'(x) > 0$ sur $]0 ; e^{\frac{1}{2}}[$, $f'(e^{\frac{1}{2}}) = 0$, $f'(x) < 0$ sur $]e^{\frac{1}{2}} ; +\infty[$. Maximum en $e^{\frac{1}{2}}$ égal à $2e^{\frac{1}{2}} + 1$.

3. a. Démontrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution sur ]0 ; +∞[. On notera α cette solution.

Réponse : L'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$ sur $]0 ; +\infty[$, située sur $[e^{\frac{1}{2}} ; +\infty[$.

3. b. En déduire le signe de la fonction f sur ]0 ; +∞[.

Réponse : $f(x) > 0$ sur $]0 ; \alpha[$, $f(\alpha) = 0$ et $f(x) < 0$ sur $]\alpha ; +\infty[$.

4. On considère une primitive quelconque de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; +∞[. On la note F. Peut-on affirmer que la fonction F est strictement décroissante sur l'intervalle [e^(1/2) ; +∞[ ? Justifier.

Réponse : Non, on ne peut pas l'affirmer.

5. a. Étudier la convexité de la fonction f sur ]0 ; +∞[. Quelle est la position de la courbe Cf par rapport à ses tangentes ?

Réponse : $f$ est concave sur $]0 ; +\infty[$. Sa courbe $\mathcal{C}_f$ est située en dessous de ses tangentes.

5. b. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse 1.

Réponse : $y = x + 3$

5. c. Déduire des questions 5.a et 5.b que pour tout réel x strictement positif : ln(x) >= 1 - 1/x.

Réponse : Pour tout $x > 0$, $\ln(x) \ge 1 - \frac{1}{x}$.