Exercice 2 · Bac Physique-Chimie Métropole Secours 2025 (sujet 2)

Exercice 2 - Jeu de billes et gravité

[5 points]

Certains jeux de construction, comme les circuits à billes, exploitent la gravité pour faire chuter des billes métalliques. Ces circuits contiennent des tours de hauteurs différentes et des rails droits ou courbes pour guider le chemin de la bille.

Le but de cet exercice est d'étudier le mouvement de la bille lorsqu'elle roule le long d'un rail et de vérifier s'il est possible de déduire une estimation de l'intensité de la pesanteur au travers de ce jeu.

Le mouvement de la bille est étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen. À la date $t = 0$, la bille est lâchée sans vitesse initiale du point A situé en haut d'une tour de hauteur $H$. Elle roule ensuite sans glisser jusqu'au point B, en ligne droite le long d'un rail de longueur $L$.

Données

Masse de la bille:

$m = 8{,}51$ g

Volume de la bille:

$V = 1{,}07\ \mathrm{cm^3}$

Masse volumique de différents métaux:

Intensité de la pesanteur de référence:

$g_{ref} = 9{,}81\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$

La hauteur de la tour est notée $H$ et la longueur du rail AB est notée $L$; la référence d'énergie potentielle est choisie lorsque la bille est en contact avec le rail au point B; pour discuter de l'accord du résultat d'une mesure avec une valeur de référence, on peut utiliser le quotient $\frac{|x-x_{ref}|}{u(x)}$ avec $x$ la valeur issue de la mesure, $x_{ref}$ la valeur de référence et $u(x)$ l'incertitude-type associée à la valeur mesurée $x$.

Q1.

Déterminer la masse volumique $\rho$ de la bille. En déduire la nature probable du matériau qui la constitue.

On relève la position de la bille par chronophotographie. On détermine alors, par un traitement numérique, la valeur de la vitesse $v$ de la bille à chaque instant, puis on représente graphiquement sur la figure 2 les évolutions au cours du temps de son énergie cinétique $E_c$, de son énergie potentielle $E_p$ et de son énergie mécanique $E_m$.

Q2.

Identifier, parmi les courbes 1, 2 et 3, en justifiant, la courbe représentant l'évolution de l'énergie cinétique ainsi que celle représentant l'évolution de l'énergie potentielle de pesanteur sur la figure 2.

Q3.

Décrire l'évolution temporelle de l'énergie mécanique de la bille à partir des données expérimentales. Commenter.

Les données précédentes ont été obtenues en étudiant le mouvement de la bille dans le repère d'espace (Ox; Oz) muni des vecteurs unitaires $\vec{\imath}$ et $\vec{k}$ (voir figure 3). Les coordonnées du centre de masse sont notées $x(t)$ et $z(t)$. L'origine de l'énergie potentielle de pesanteur de la bille est prise lorsque son centre de masse est à la position $z = 0$.

Q4.

Expliquer pourquoi le programme présenté en figure 4 ne permet pas de calculer l'énergie cinétique aux points A et B.

Q5.

Recopier et compléter les lignes 81 et 84 du programme écrit en langage Python présenté en figure 4 afin qu'il calcule les énergies potentielle $E_p$ et mécanique $E_m$.

Lors du mouvement étudié sur cette portion du circuit, la bille roule sans glisser. Son énergie cinétique, qui tient compte de la rotation de la bille sur elle-même, est exprimée par la relation suivante: $$E_c = \frac{7}{10}m\cdot v^2$$

Q6.

En appliquant la conservation de l'énergie mécanique entre l'instant initial $t = 0$ et l'instant $t$, montrer que l'expression de la vitesse de la bille à l'instant $t$ s'écrit: $$v(t) = \sqrt{\frac{10}{7}\cdot g\cdot h(t)}$$ avec $h(t)$ la hauteur de chute.

L'évolution observée du carré de la vitesse en fonction de la hauteur de chute $h(t)$ est représentée sur la figure 5. Les points expérimentaux sont modélisés par une droite d'équation: $$v^2(t) = k\cdot h(t)$$

Q7.

Justifier que l'équation de la modélisation de la figure 5 est cohérente avec l'expression donnée en Q6.

Q8.

Déterminer la relation entre l'intensité de la pesanteur $g$ et la constante $k$. Calculer la valeur de l'intensité de la pesanteur $g$ dans cette expérience, sachant que l'analyse des résultats reportés sur la figure 5 donne la valeur $k = 14{,}53\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$.

On reproduit sept fois la chute de la bille et on rassemble les valeurs de l'intensité de la pesanteur déterminées pour chacune des expériences dans le tableau suivant:

Un traitement statistique des données du tableau précédent permet d'obtenir que l'incertitude-type sur la mesure de l'intensité moyenne de la pesanteur est $u(g_{moy}) = 0{,}11\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$.

Q9.

Discuter de l'accord du résultat de la mesure de l'intensité moyenne de la pesanteur issu des huit expériences avec sa valeur de référence. Conclure sur l'utilisation de cette méthode pour mesurer la valeur de l'intensité de la pesanteur avec ce jeu.