Exercice 2 - Fonctions exponentielle et logarithme · Bac Mathématiques Asie 2022 (jour 1)

Principaux domaines abordés:

Suites numériques.

Algorithmique et programmation.

Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse.

Partie A: modèle discret de la quantité médicamenteuse

Après une première injection de $1\text{ mg}$ de médicament, le patient est placé sous perfusion. On estime que, toutes les 30 minutes, l'organisme du patient élimine $10\,\%$ de la quantité de médicament présente dans le sang et qu'il reçoit une dose supplémentaire de $0{,}25\text{ mg}$ de la substance médicamenteuse.

On étudie l'évolution de la quantité de médicament dans le sang avec le modèle suivant: pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité, en mg, de médicament dans le sang du patient au bout de $n$ périodes de trente minutes. On a donc $u_0 = 1$.

Partie B: modèle continu de la quantité médicamenteuse

Après une injection initiale de $1\text{ mg}$ de médicament, le patient est placé sous perfusion. Le débit de la substance médicamenteuse administrée au patient est de $0,5\text{ mg}$ par heure. La quantité de médicament dans le sang du patient, en fonction du temps, est modélisée par la fonction $f$, définie sur $[0\,;\,+\infty[$, par $f(t) = 2,5 - 1,5\,\mathrm{e}^{-0,2t}$, où $t$ désigne la durée de la perfusion exprimée en heure.

On rappelle que ce médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang du patient est supérieure ou égale à $1,8\text{ mg}$.

1.

Le médicament est-il réellement efficace au bout de $3\text{ h } 45\text{ min}$ ?

2.

Selon ce modèle, déterminer au bout de combien de temps le médicament devient réellement efficace.

3.

Comparer le résultat obtenu avec celui obtenu à la question 4.(b) du modèle discret de la Partie A.