Exercice 2 · Bac Mathématiques Antilles-Guyane 2026 (jour 2)

Dans une salle d'escalade, un nouveau module en forme de tétraèdre, destiné à être posé au sol, est en cours de fabrication. Ce module servira à créer des plans inclinés.

On munit l'espace d'un repère orthonormé $(A; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. L'unité est le mètre.

On considère les trois points suivants: $B\left(\frac{9}{2}; 0; 0\right)$, $C\left(\frac{9}{4}; 3; 0\right)$ et $D\left(\frac{3}{2}; 1; 3\right)$.

On modélise le module par le tétraèdre $ABCD$.

On souhaite analyser ce module pour des raisons de construction et de sécurité.

Partie A

1. On représente ci-contre le triangle $ABC$ et sa hauteur issue de $C$.

a.

Montrer que le triangle $ABC$ est isocèle en $C$.

b.

Montrer que l'aire du triangle $ABC$ est égale à $6{,}75\text{ m}^2$.

2.

a.

Vérifier qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est: $z = 0$.

b.

Montrer que le point $H\left(\frac{3}{2}; 1; 0\right)$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.

3.

On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par $V = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à la base $\mathcal{B}$.

En déduire le volume du module.

Partie B

1. On considère le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$.

a.

Montrer que le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(BCD)$.

b.

En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(BCD)$ est: $4x + 3y + 3z - 18 = 0$.

c.

Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ orthogonale au plan $(BCD)$ et passant par $D$.

2.

On admet que la droite $\Delta$ et le plan $(ABC)$ sont sécants et on désigne par $L$ leur point d'intersection.

Montrer que $L$ a pour coordonnées $\left(-\frac{5}{2}; -2; 0\right)$.

3.

Le module est considéré adapté aux débutants si l'angle $\widehat{LDH}$ est strictement inférieur à $60^\circ$.

Montrer que ce module est adapté aux débutants.