Exercice 4 - Partie C · Bac Mathématiques Antilles-Guyane 2026 (jour 2)

Exercice 4 (5 points)

On considère la fonction $f_k$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par:

$$f_k(x) = 1 - x + \frac{k(1 + \ln x)}{x}$$

où $k$ est un réel strictement positif et $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On désigne par $C_k$ la représentation graphique de la fonction $f_k$ dans un repère orthonormé.

On admet que la fonction $f_k$ est deux fois dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$. On note $f_k'$ sa dérivée première et $f_k''$ sa dérivée seconde.

Partie C: $k$ quelconque

On considère la fonction $h$ définie sur $]0; +\infty[$ par $h(x) = \frac{1+\ln x}{x}$ et la fonction $H$ définie sur $]0; +\infty[$ par $H(x) = \frac{1}{2}(1 + \ln x)^2$. On admet que $H$ est dérivable sur $]0; +\infty[$.

1.

Montrer que la fonction $H$ est une primitive de $h$.

On rappelle que $k$ est un réel strictement positif et que $f_k$ est la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par:$$f_k(x) = 1 - x + \frac{k(1 + \ln x)}{x}.$$

2.

Existe-t-il une valeur de $k$ pour laquelle la valeur moyenne de la fonction $f_k$ sur l'intervalle $[1; \mathrm{e}]$ est égale à 0 ? Justifier.