Exercice 4 - Calcul intégral · Bac Mathématiques Antilles-Guyane 2026 (jour 1)

Thème : Calcul intégral · Tiré du sujet Jour 1 (2026)

Énoncé

Partie B: étude de fonction

On admet que la fonction représentée graphiquement dans la partie A est définie sur l'intervalle ]12 ; +∞[\left]\frac{1}{2}\,;\,+\infty\right[ par:

f(x)=xln⁡(2x−1)f(x) = x \ln(2x - 1)

où ln⁡\ln désigne la fonction logarithme népérien.

On rappelle que:

la fonction ff est deux fois dérivable sur l'intervalle ]12 ; +∞[\left]\frac{1}{2}\,;\,+\infty\right[, que f′f' désigne sa fonction dérivée et f′′f'' sa fonction dérivée seconde;

C\mathcal{C} désigne la courbe représentative de la fonction ff sur l'intervalle ]12 ; +∞[\left]\frac{1}{2}\,;\,+\infty\right[.

4.

a.

Montrer que la fonction ff est positive sur l'intervalle [1;2][1; 2].

b.

On admet que pour tout xx appartenant à l'intervalle ]12;+∞[\left]\frac{1}{2}; +\infty\right[, on a:

x22x−1=12x+14+18×22x−1\frac{x^2}{2x - 1} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \times \frac{2}{2x - 1}

Montrer que:

∫12x22x−1 dx=1+18ln⁡(3).\int_1^2 \frac{x^2}{2x - 1}\,dx = 1 + \frac{1}{8}\ln(3).

c.

On note A\mathcal{A} l'aire du domaine délimité par la courbe C\mathcal{C}, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1x = 1 et x=2x = 2.

En vous aidant d'une intégration par parties, déterminer la valeur exacte de l'aire A\mathcal{A} en unité d'aire.

A=\mathcal{A} =

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Corrigé

Corrigé proposé par AprenAI (non officiel)

a. Montrer que la fonction f est positive sur l'intervalle [1 ; 2].

Réponse : Pour tout x∈[1;2]x \in [1 ; 2], on a x≥1>0x \ge 1 > 0 et 2x−1≥2(1)−1=12x - 1 \ge 2(1) - 1 = 1. Comme la fonction logarithme népérien est positive sur [1;+∞[[1 ; +\infty[, on a ln⁡(2x−1)≥0\ln(2x - 1) \ge 0. Par produit de deux termes positifs, f(x)=xln⁡(2x−1)≥0f(x) = x\ln(2x - 1) \ge 0.

b. Montrer que l'intégrale de x^2/(2x - 1) entre 1 et 2 vaut 1 + 1/8 ln(3).

Réponse : Une primitive sur ]12;+∞[]\frac{1}{2} ; +\infty[ de la fonction x↦12x+14+18×22x−1x \mapsto \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \times \frac{2}{2x - 1} est donnée par : F(x)=14x2+14x+18ln⁡(2x−1)F(x) = \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{4}x + \frac{1}{8}\ln(2x - 1) On calcule ensuite : F(2)=14(4)+14(2)+18ln⁡(3)=1+12+18ln⁡(3)=32+18ln⁡(3)F(2) = \frac{1}{4}(4) + \frac{1}{4}(2) + \frac{1}{8}\ln(3) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{8}\ln(3) = \frac{3}{2} + \frac{1}{8}\ln(3) F(1)=14(1)+14(1)+18ln⁡(1)=12F(1) = \frac{1}{4}(1) + \frac{1}{4}(1) + \frac{1}{8}\ln(1) = \frac{1}{2} Par conséquent : ∫12x22x−1 dx=F(2)−F(1)=32+18ln⁡(3)−12=1+18ln⁡(3)\int_1^2 \frac{x^2}{2x - 1}\,dx = F(2) - F(1) = \frac{3}{2} + \frac{1}{8}\ln(3) - \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{8}\ln(3)

Les réponses des 2 questions restantes et l’explication pas à pas sont réservées aux membres Premium. Premium

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