Exercice 2 - Sommes de variables aléatoires · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2025 (jour 1)

Thème : Sommes de variables aléatoires, espérance, variance et échantillon · Tiré du sujet Jour 1 (2025)

Énoncé

EXERCICE 2 – 5 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

4. Soit X1X_1 et X2X_2 deux variables aléatoires de même loi donnée par le tableau ci-dessous:

xix_i

−2-2

−1-1

22

55

P(X=xi)P(X = x_i)

0,10,1

0,40,4

0,30,3

0,20,2

On suppose que X1X_1 et X2X_2 sont indépendantes et on considère YY la variable aléatoire somme de ces deux variables aléatoires.

Affirmation 4

P(Y=4)=0,25P(Y = 4) = 0,25.

Énoncé: Exercice 2 - Sommes de variables aléatoires · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2025 (jour 1)

Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

L'affirmation 4 est-elle vraie ou fausse ?

Réponse : Vraie

Justification de l'affirmation 4

Réponse : On pose Y=X1+X2Y = X_1 + X_2. On cherche P(Y=4)P(Y = 4). Les couples de valeurs possibles donnant une somme de 4 sont : (−1;5),(2;2),(5;−1)(-1 ; 5), \quad (2 ; 2), \quad (5 ; -1) Grâce à l'indépendance de X1X_1 et X2X_2 : P(Y=4)=P((X1=−1)∩(X2=5))+P((X1=2)∩(X2=2))+P((X1=5)∩(X2=−1))P(Y = 4) = P((X_1 = -1) \cap (X_2 = 5)) + P((X_1 = 2) \cap (X_2 = 2)) + P((X_1 = 5) \cap (X_2 = -1)) P(Y=4)=0,4×0,2+0,3×0,3+0,2×0,4=0,08+0,09+0,08=0,25P(Y = 4) = 0,4 \times 0,2 + 0,3 \times 0,3 + 0,2 \times 0,4 = 0,08 + 0,09 + 0,08 = 0,25 L'affirmation 4 est donc vraie.

L’explication pas à pas, faite avec l’IA, est réservée aux membres Premium. Premium

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