Abitur Sachsen Mathematik 2022 · GK · Teil A · Lineare Algebra

Die drei Stromanbieter A, B und C konkurrieren in derselben Stadt um Kunden. Die Kunden können ihre Verträge zum Ende jedes Quartals kündigen. Das abgebildete Diagramm beschreibt die Wechsel der Kunden zwischen den drei Stromanbietern von einem Quartal zum nächsten. Diese Wechsel können mithilfe einer Matrix $M$ durch die Gleichung $\vec{v}_{n+1} = M \cdot \vec{v}_n$ beschrieben werden, wobei die Einträge des Vektors $\vec{v}_n = \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \\ c_n \end{pmatrix}$ die Anzahlen der Kunden des Anbieters A, B bzw. C im $n$-ten Quartal sind.

a)

Eine der beiden Darstellungen I und II stimmt für passende Werte von $x$ und $y$ mit der Matrix $M$ überein. Geben Sie diese Darstellung sowie die Werte von $x$ und $y$ an.

Darstellung I:

$$\begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}1 & 0{,}2 \\ 0{,}4 & 0{,}6 & x \\ 0{,}2 & y & 0{,}3 \end{pmatrix}$$

Darstellung II:

$$\begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}4 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}6 & x \\ 0{,}2 & y & 0{,}3 \end{pmatrix}$$

b)

Berechnen Sie den Eintrag der ersten Zeile und ersten Spalte der Matrix $M^2$. Beschreiben Sie die Bedeutung der dritten Zeile der Matrix $M^2$ im Sachzusammenhang.

1 Aufgabe

Eine Matrix $A$ heißt selbstinvers, wenn die inverse Matrix $A^{-1}$ mit $A$ übereinstimmt.

Betrachtet wird die Matrix $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$ mit $a, b, c \in \mathbb{R}$. Zeigen Sie, dass $b \cdot c \le 1$ gilt, wenn $M$ selbstinvers ist. Bestimmen Sie für $a = 5$ einen Wert von $b$ und einen Wert von $c$ so, dass $M$ selbstinvers ist.

a)

b)

$b =$

$c =$