Abitur Sachsen Mathematik 2021 · LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR)

Gegeben sind die Punkte $A(5|-5|12)$, $B(5|5|12)$ und $C(-5|5|12)$.

Im Folgenden wird die abgebildete Doppelpyramide betrachtet. Die beiden Teilpyramiden $ABCDS$ und $ABCDT$ sind gleich hoch. Der Punkt $T$ liegt im Koordinatenursprung, der Punkt $S$ ebenfalls auf der $z$-Achse.

Die Seitenfläche $BCT$ liegt in einer Ebene $E$.

$E$ gehört zur Schar der Ebenen $E_k: ky - 5z = 5k - 60$ mit $k \in \mathbb{R}$.

a

Zeigen Sie, dass das Dreieck $ABC$ gleichschenklig ist.

b

Begründen Sie, dass $A$, $B$ und $C$ Eckpunkte eines Quadrats sein können, und geben Sie die Koordinaten des vierten Eckpunkts $D$ dieses Quadrats an.

d

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Seitenfläche $BCT$ mit der Fläche $ABCD$ einschließt.

°

h

Die Doppelpyramide wird so um die $x$-Achse gedreht, dass die bisher mit $BCT$ bezeichnete Seitenfläche in der $xy$-Ebene liegt und der bisher mit $S$ bezeichnete Punkt eine positive $y$-Koordinate hat. Bestimmen Sie diese $y$-Koordinate und veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch eine Skizze.

Gegeben sind die Punkte $A(5|-5|12)$, $B(5|5|12)$ und $C(-5|5|12)$.

Im Folgenden wird die abgebildete Doppelpyramide betrachtet. Die beiden Teilpyramiden $ABCDS$ und $ABCDT$ sind gleich hoch. Der Punkt $T$ liegt im Koordinatenursprung, der Punkt $S$ ebenfalls auf der $z$-Achse.

Die Seitenfläche $BCT$ liegt in einer Ebene $E$.

$E$ gehört zur Schar der Ebenen $E_k: ky - 5z = 5k - 60$ mit $k \in \mathbb{R}$.

c

Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $12y - 5z = 0$)

e

Alle Ebenen der Schar $E_k: ky - 5z = 5k - 60$ mit $k \in \mathbb{R}$ schneiden sich in einer Gerade. Weisen Sie nach, dass die Kante $\overline{BC}$ auf dieser Gerade liegt.

f

Ermitteln Sie diejenigen Werte von $k$, für die $E_k$ mit der Seitenfläche $ADS$ mindestens einen Punkt gemeinsam hat.

g

Die Seitenfläche $ADT$ liegt in der Ebene $F$. Geben Sie einen Normalenvektor von $F$ an und begründen Sie Ihre Angabe, ohne die Koordinaten von $A$ und $D$ zu verwenden. Bestimmen Sie denjenigen Wert von $k$, für den $E_k$ senkrecht zu $F$ steht.