Abitur Sachsen Mathematik 2021 · GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR)

[CONTEXTO:context_aufgabe_1_holzkörper][CONTEXTO:context_aufgabe_1_holzkörper] a)

Zeigen Sie, dass das Dreieck $BCE$ rechtwinklig ist, und berechnen Sie den Inhalt der Oberfläche des Holzkörpers.

cm²

c)

Die quadratische Grundfläche des Holzkörpers schließt mit der Seitenfläche, die durch das Dreieck $BCE$ dargestellt wird, einen Winkel ein. Berechnen Sie die Größe dieses Winkels.

°

d)

Der Holzkörper soll mit einer möglichst kurzen Linie versehen werden, die im Modell vom Eckpunkt $A$ über die Kante $\overline{BE}$ zum Punkt $C$ verläuft. Die Länge dieser Linie in Zentimetern kann folgendermaßen ermittelt werden:

$$P(10-10t \mid 10t \mid 6t)$$$$\vec{PC} \circ \vec{PB} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{25}{59}$$$$2 \cdot |\vec{PC}| \approx 15{,}2$$

Erläutern Sie dieses Vorgehen.

f)

Ermitteln Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Körpers $ABCDEF$ größer ist als das Volumen des Körpers $ABCDE$, ohne für diese Volumina konkrete Werte zu berechnen.

%

[CONTEXTO:context_aufgabe_1_holzkörper][CONTEXTO:context_aufgabe_1_holzkörper] b)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene $L$, in der das Dreieck $BCE$ liegt, in Koordinatenform.

e)

Der Schnittpunkt der Ebene $L$ mit der z-Achse wird mit $F$ bezeichnet.

Zeichnen Sie $F$ sowie die Geraden, in denen $L$ die xz- und die yz-Ebene schneidet, in die Abbildung ein.

[CONTEXTO:context_aufgabe_2_rasenfläche]

[CONTEXTO:context_aufgabe_2_rasenfläche]

a)

Zeigen Sie, dass auch $\overline{AE}$ und $\overline{CD}$ parallel sind und dass $\overline{CD}$ und $\overline{DE}$ einen rechten Winkel einschließen. [3 BE]

b)

Ausgehend vom Ansatz $|\vec{AE}|\cdot|\vec{DE}| + \frac{1}{2}\cdot (|\vec{AB}|-|\vec{DE}|)\cdot(|\vec{AE}|-|\vec{CD}|)$ kann eine Größe berechnet werden, die im betrachteten Sachzusammenhang eine Rolle spielt. Nennen Sie diese Größe und erläutern Sie den gegebenen Ansatz. [4 BE]

d)

Weisen Sie nach, dass der Winkel, unter dem sich der Roboter dem Rand der Rasenfläche nähert, etwa $41^\circ$ groß ist. [3 BE]

e)

Der Roboter ändert seine Richtung, sobald der Rand seiner Unterseite den Rand der Rasenfläche erreicht. Der Punkt, der die Position des Mittelpunkts im Moment der Richtungsänderung darstellt, wird mit $S$ bezeichnet. Berechnen Sie mithilfe einer geeigneten Skizze die Koordinaten von $S$. [5 BE]

$S($

$\mid$

$\mid$

$)$

[CONTEXTO:context_aufgabe_2_rasenfläche]

[CONTEXTO:context_aufgabe_2_rasenfläche]

c)

Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts $Q$, in dem $g$ die Strecke $\overline{BC}$ schneidet. [5 BE]

(zur Kontrolle: $Q(15{,}6 \mid 4 \mid 1{,}3)$)

$Q($

$\mid$

$\mid$

$)$