Abitur Saarland Mathematik 2022 · LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS)

Der in der Abbildung 1 gezeigte Körper $ABCDEFGH$ stellt einen massiven Betonkörper dar, das Viereck $EFGH$ dessen Deckseite. Alle Außenflächen des Körpers sind eben.

An der durch die Strecke $\overline{\text{EH}}$ dargestellten Oberkante des Betonkörpers ist eine Informationskarte befestigt. Die Karte liegt zunächst auf der Deckseite des Betonkörpers auf, wobei sie mit den Kanten der Deckseite bündig abschließt. Anschließend kann die Karte umgeklappt werden. Die Dicke der Karte soll im Folgenden vernachlässigt werden.

Gegeben sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B(0|20|0)$, $E(0|40|120)$ und $F(0|58|114)$.

Es gilt $\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{FG} = \vec{EH} = \begin{pmatrix} -20 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Im verwendeten Koordinatensystem stellt die $xy$-Ebene den horizontalen Boden dar, auf dem der Betonkörper befestigt ist. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ cm}$ in der Realität.

Auf den Betonkörper treffendes Sonnenlicht kann im Modell durch parallele Geraden beschrieben werden. Der Richtungsvektor dieser Geraden ist $\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$.

Mit Ausnahme der Position, die in der Teilaufgabe d betrachtet wurde, können alle möglichen Positionen der Karte jeweils durch eine der Ebenen $E_a: a \cdot y + z = 40a + 120$ mit $a \in \mathbb{R}$ beschrieben werden.

a

Zeigen Sie, dass das Viereck ABFE ein Trapez ist, und prüfen Sie, ob das Viereck im Punkt E einen rechten Winkel hat. [3 BE]

b

Auf der Seitenfläche, die durch das Viereck ABFE beschrieben wird, verläuft eine horizontale Linie, die die Seitenfläche in zwei Teile gleichen Inhalts teilt. Begründen Sie, dass die Höhe dieser Linie über dem Boden in Zentimetern die Hälfte des Mittelwerts der z-Koordinaten von E und F ist. [4 BE]

g

Liegt die Karte auf der Deckseite des Betonkörpers, wird einer ihrer Eckpunkte durch F dargestellt. Dieser Eckpunkt nimmt während des Umklappens verschiedene Positionen ein. Zwei dieser Positionen werden durch $P(0 \mid y_1 \mid z)$ und $Q(0 \mid y_2 \mid z)$ mit $y_2 < y_1$ beschrieben, wobei $\left|\begin{pmatrix}0\\ y_1 - 58\\ z - 114\end{pmatrix}\right| = y_1 - y_2$ gilt. Begründen Sie, ohne zu rechnen, dass die Strecken $\overline{EF}$ und $\overline{EQ}$ einen doppelt so großen Winkel einschließen wie die Strecken $\overline{EF}$ und $\overline{EP}$, und veranschaulichen Sie Ihre Begründung durch eine geeignet beschriftete Skizze. [5 BE]

Ihre Ausführungen und die Skizze können nun mit dem offiziellen Erwartungshorizont verglichen werden.

Der in der Abbildung 1 gezeigte Körper $ABCDEFGH$ stellt einen massiven Betonkörper dar, das Viereck $EFGH$ dessen Deckseite. Alle Außenflächen des Körpers sind eben.

An der durch die Strecke $\overline{\text{EH}}$ dargestellten Oberkante des Betonkörpers ist eine Informationskarte befestigt. Die Karte liegt zunächst auf der Deckseite des Betonkörpers auf, wobei sie mit den Kanten der Deckseite bündig abschließt. Anschließend kann die Karte umgeklappt werden. Die Dicke der Karte soll im Folgenden vernachlässigt werden.

Gegeben sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B(0|20|0)$, $E(0|40|120)$ und $F(0|58|114)$.

Es gilt $\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{FG} = \vec{EH} = \begin{pmatrix} -20 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Im verwendeten Koordinatensystem stellt die $xy$-Ebene den horizontalen Boden dar, auf dem der Betonkörper befestigt ist. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ cm}$ in der Realität.

Auf den Betonkörper treffendes Sonnenlicht kann im Modell durch parallele Geraden beschrieben werden. Der Richtungsvektor dieser Geraden ist $\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}$.

Mit Ausnahme der Position, die in der Teilaufgabe d betrachtet wurde, können alle möglichen Positionen der Karte jeweils durch eine der Ebenen $E_a: a \cdot y + z = 40a + 120$ mit $a \in \mathbb{R}$ beschrieben werden.

c)

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene, in der das Rechteck $EFGH$ liegt, in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $y + 3z = 400$)

[3 BE]

d)

Auf den Betonkörper treffendes Sonnenlicht kann im Modell durch parallele Geraden beschrieben werden. Der Richtungsvektor dieser Geraden ist $\begin{pmatrix}-2\\ 1\\ -3\end{pmatrix}$.

Die Karte wird so positioniert, dass sie vertikal steht (vgl. Abbildung 2). Der im Modell mit $K'$ bezeichnete Schatten des durch $K$ dargestellten Eckpunkts liegt auf der Deckseite des Betonkörpers. Berechnen Sie die Koordinaten von $K'$.

[5 BE]

e)

Mit Ausnahme der Position, die in der Teilaufgabe d betrachtet wurde, können alle möglichen Positionen der Karte jeweils durch eine der Ebenen

$$E_a: a\cdot y + z = 40a + 120 \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}$$

beschrieben werden.

Ermitteln Sie denjenigen Wert von $a$, für den die Karte auf der Deckseite des Betonkörpers liegt.

[2 BE]

f)

Klappt man die Karte ausgehend von der Deckseite des Betonkörpers um, so erreicht man währenddessen eine Position, in der zum ersten Mal kein Schatten der Karte auf der Deckseite liegt. Ermitteln Sie den zugehörigen Wert von $a$ und erläutern Sie Ihr Vorgehen.

[3 BE]

Die Abbildung 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{BC}}$ und $\overline{\text{CD}}$ mit $\text{A}(11|11|0)$, $\text{B}(-11|11|28)$, $\text{C}(11|-11|28)$ und $\text{D}(-11|-11|0)$ besteht (vgl. Abbildung 2). A, B, C und D sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Die Ebene $\text{E}$ enthält die Punkte A, B und C, die Ebene $\text{F}$ die Punkte B, C und D.

a)

Begründen Sie, dass die Punkte B und C symmetrisch bezüglich der $x_3$-Achse liegen.

[2 BE]

b)

Berechnen Sie die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit.

[3 BE]

d)

Berechnen Sie die Größe $\varphi$ des Winkels, unter dem $E$ die $x_1x_2$-Ebene schneidet.

Geben Sie einen Term an, mit dem aus $\varphi$ die Größe des Winkels zwischen den Ebenen $E$ und $F$ berechnet werden kann.

[5 BE]

e)

Die Ebene $E$ teilt den Quader in zwei Teilkörper. Bestimmen Sie das Verhältnis der Volumina der beiden Teilkörper, ohne die Volumina zu berechnen.

[4 BE]

f)

Das Saarpolygon wird mit verschiedenen Blickrichtungen betrachtet. Die Abbildungen 3 und 4 stellen das Saarpolygon für zwei Blickrichtungen schematisch dar.

Geben Sie zu jeder der beiden Abbildungen 3 und 4 einen möglichen Vektor an, der die zugehörige Blickrichtung beschreibt. Stellen Sie das Saarpolygon schematisch für eine Betrachtung von oben dar.

[4 BE]

g)

Der Punkt $P(0|0|h)$ liegt innerhalb des Quaders und hat von den drei Strecken $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ und $\overline{CD}$ den gleichen Abstand. Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von $h$:

$$\text{I } \vec{OQ} = \begin{pmatrix} 11 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -22 \\ 0 \\ 28 \end{pmatrix}, \quad t \in [0; 1]$$

$$\text{II } \vec{PQ} \circ \vec{AB} = 0$$

$$\text{III } |\vec{PQ}| = 28 - h$$

Erläutern Sie die Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von $h$ zugrunde liegen.

[4 BE]

Die Abbildung 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{BC}}$ und $\overline{\text{CD}}$ mit $\text{A}(11|11|0)$, $\text{B}(-11|11|28)$, $\text{C}(11|-11|28)$ und $\text{D}(-11|-11|0)$ besteht (vgl. Abbildung 2). A, B, C und D sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Die Ebene $\text{E}$ enthält die Punkte A, B und C, die Ebene $\text{F}$ die Punkte B, C und D.

Die Ebene $E$ enthält die Punkte $A$, $B$ und $C$, die Ebene $F$ die Punkte $B$, $C$ und $D$.

c)

Bestimmen Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

[3 BE]