Abitur Saarland Mathematik 2022 · LK · Teil A · Stochastik

Gegeben sind die im Folgenden beschriebenen Zufallsgrößen $X$ und $Y$:

Ein Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen von 1 bis 6 durchnummeriert sind, wird zweimal geworfen. $X$ gibt die dabei erzielte Augensumme an.

Aus einem Behälter mit 60 schwarzen und 40 weißen Kugeln wird zwölfmal nacheinander jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt. $Y$ gibt die Anzahl der entnommenen schwarzen Kugeln an.

a

Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit $P(X = 4)$ mit der Wahrscheinlichkeit $P(X = 10)$ übereinstimmt.

[2 BE]

b

Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von $X$ und $Y$ werden jeweils durch eines der folgenden Diagramme I, II und III dargestellt. Ordnen Sie $X$ und $Y$ jeweils dem passenden Diagramm zu und begründen Sie Ihre Zuordnung.

[3 BE]

Gegeben sind die im Folgenden beschriebenen Zufallsgrößen $X$ und $Y$:

Ein Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen von 1 bis 6 durchnummeriert sind, wird zweimal geworfen. $X$ gibt die dabei erzielte Augensumme an.

Aus einem Behälter mit 60 schwarzen und 40 weißen Kugeln wird zwölfmal nacheinander jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt. $Y$ gibt die Anzahl der entnommenen schwarzen Kugeln an.

a)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Spielfigur vom Startpunkt ausgehend im Laufe eines Spiels den Punkt $(A|4)$ erreicht.

b)

Begründen Sie, dass sich mit dem Term $3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3}$ die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen lässt, dass die Spielfigur vom Startpunkt ausgehend im Laufe eines Spiels einen bestimmten Punkt erreicht. Geben Sie die Koordinaten dieses Punkts an.

Gegeben sind die im Folgenden beschriebenen Zufallsgrößen $X$ und $Y$:

Ein Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen von 1 bis 6 durchnummeriert sind, wird zweimal geworfen. $X$ gibt die dabei erzielte Augensumme an.

Aus einem Behälter mit 60 schwarzen und 40 weißen Kugeln wird zwölfmal nacheinander jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt. $Y$ gibt die Anzahl der entnommenen schwarzen Kugeln an.

Die Abbildung zeigt den Graphen der Dichtefunktion der normalverteilten Zufallsgröße A.

a)

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass A einen Wert aus dem Intervall $[6; 10]$ annimmt, beträgt etwa $68\,\%$. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass A einen Wert annimmt, der größer als $10$ ist. [2 BE]

%

b)

Die Zufallsgröße B ist ebenfalls normalverteilt; der Erwartungswert von B ist ebenso groß wie der Erwartungswert von A, die Standardabweichung von B ist größer als die Standardabweichung von A. Skizzieren Sie in der Abbildung einen möglichen Graphen der Dichtefunktion von B. [3 BE]

Für ein Spiel wird ein Behälter mit 100 Kugeln gefüllt. Dafür stehen rote und blaue Kugeln zur Verfügung. Vor jedem Spiel legt der Spieler die Anzahl der blauen Kugeln im Behälter fest. Anschließend wird dem Behälter eine Kugel zufällig entnommen. Ist diese Kugel rot, so wird dem Spieler die festgelegte Anzahl blauer Kugeln in Cent ausgezahlt; ist die Kugel blau, so beträgt die Auszahlung 10 Cent.

Aufgabe 1

[5 BE]

Für ein Spiel wird ein Behälter mit 100 Kugeln gefüllt. Dafür stehen rote und blaue Kugeln zur Verfügung. Vor jedem Spiel legt der Spieler die Anzahl der blauen Kugeln im Behälter fest. Anschließend wird dem Behälter eine Kugel zufällig entnommen. Ist diese Kugel rot, so wird dem Spieler die festgelegte Anzahl blauer Kugeln in Cent ausgezahlt; ist die Kugel blau, so beträgt die Auszahlung 10 Cent. Ermitteln Sie, wie der Spieler die Anzahl blauer Kugeln für ein Spiel festlegen muss, damit der Erwartungswert der Auszahlung möglichst groß ist.

Für ein Spiel wird ein Behälter mit 100 Kugeln gefüllt. Dafür stehen rote und blaue Kugeln zur Verfügung. Vor jedem Spiel legt der Spieler die Anzahl der blauen Kugeln im Behälter fest. Anschließend wird dem Behälter eine Kugel zufällig entnommen. Ist diese Kugel rot, so wird dem Spieler die festgelegte Anzahl blauer Kugeln in Cent ausgezahlt; ist die Kugel blau, so beträgt die Auszahlung 10 Cent.

a

Der Würfel wird dreimal geworfen. Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Es wird dreimal die gleiche Zahl erzielt.“ halb so groß ist wie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Es werden drei verschiedene Zahlen erzielt“.

[2 BE]

b

Der Würfel wird sechsmal geworfen. Geben Sie einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden könnte, dass nicht jede Zahl zweimal erzielt wird.

[3 BE]