Abitur Rheinland-Pfalz Mathematik 2025 · GK · Teil B · Lineare Algebra (WTR)

In einem Nationalpark wird die Entwicklung einer Population weiblicher Säugetiere derselben Art untersucht. Im ersten Lebensjahr werden die Tiere als Babys bezeichnet und sind nicht geschlechtsreif. Anschließend werden sie ein Jahr lang als Jungtiere, danach als erwachsene Tiere bezeichnet. Die Zusammensetzung dieser Population wird durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} b \\ j \\ e \end{pmatrix}$ dargestellt. Dabei ist $b$ die Anzahl der Babys, $j$ die Anzahl der Jungtiere und $e$ die Anzahl der erwachsenen Tiere.

Zu Beginn der Beobachtung wird die Zusammensetzung der Population durch den Vektor $\vec{v}_0$ dargestellt. Die Entwicklung der Population von einem Jahr $n$ zum nächsten Jahr kann modellhaft durch die Gleichung $\vec{v}_{n+1} = M \cdot \vec{v}_n$ mit$$M = \begin{pmatrix} 0 & 0{,}1 & 1{,}5 \\ 0{,}4 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}9 & 0{,}7 \end{pmatrix}$$beschrieben werden.

a)

Beschreiben Sie die Bedeutung des Eintrags $0{,}9$ in der Matrix $M$ im Sachkontext. [1 BE]

b)

Beurteilen Sie folgende Aussage: [3 BE]

Wenn es im Jahr $n$ in der Population dreimal so viele erwachsene Tiere wie Jungtiere gibt, dann gibt es zum nächsten Jahr in der Population genauso viele erwachsene Tiere wie im Jahr $n$.

c)

Tatsächlich wird beobachtet, dass sich die Zusammensetzung der Population im Laufe der Zeit nicht ändert. Dabei ist bekannt, dass die Population 500 Babys und 600 erwachsene Tiere hat.

Dies steht jedoch nicht mit dem durch die Matrix $M$ gegebenem Modell im Einklang, da bei diesem von einer zu hohen Fortpflanzungsrate der erwachsenen Tiere ausgegangen wird. In einem neuen Modell soll dieser Tatsache Rechnung getragen werden, indem genau ein Eintrag in $M$ geändert wird.

Bestimmen Sie den Wert des neuen Eintrags. [4 BE]

Betrachtet wird das Viereck $ABCD$ mit den Eckpunkten $A(-1|7|m)$, $B(2|7|m)$, $C(2|2|1)$ und $D(-1|2|1)$ mit einer natürlichen Zahl $m$.

a)

Zeigen Sie, dass $ABCD$ ein Rechteck ist und eine Seite von $ABCD$ die Länge $\sqrt{25+(1-m)^2}$ hat.

b)

Zudem besitzt $ABCD$ die folgenden Eigenschaften:

Eine Seite hat die Länge 3.

Der Flächeninhalt beträgt 39.

Bestimmen Sie $m$.