Aufgabe 4 - Endliche Automaten · Abitur NRW Informatik LK · Haupttermin · Weiterbildungskolleg 2023

Aufgabenstellung:

Beim Snooker, einer Billard-Variante, liegen zu Beginn 15 rote Kugeln auf dem Tisch, Rote ($r$) genannt, und 6 Kugeln anderer Farben, die zusammenfassend als Farbige ($f$) bezeichnet werden. Darüber hinaus liegt noch eine weiße Kugel, genannt die Weiße ($w$), auf dem Tisch (vgl. Abbildung 1).

Ziel eines Spielzugs (auch „Stoß“ genannt) ist es, eine der anderen Kugeln durch Anstoßen der Weißen mit dem Billardstock so anzuspielen, dass diese Kugel nach der Kollision mit der Weißen eingelocht wird, d. h., diese Kugel fällt in eines der Löcher am Tischrand (die sogenannten „Taschen“).

Der Snookerschüler Jonte und sein Trainer Max spielen eine Trainingsform des Spiels, in der jede eingelochte Kugel unmittelbar wieder auf den Tisch gelegt wird.

Wer an der Reihe ist, muss beim ersten Stoß genau eine Rote einlochen. Gelingt dies, bleibt man am Spiel und man muss beim nächsten Stoß versuchen, genau eine Farbige einzulochen. Wenn auch dies gelingt, so darf man nun wie zuvor so lange abwechselnd Rote und Farbige einlochen, bis man einen Fehler macht.

Es gilt als Fehler, wenn die falsche Kugelsorte angespielt und eingelocht wird, wenn die weiße Kugel eingelocht wird oder wenn bei einem Stoß keine Kugel eingelocht wird. Auch fehlerhaft eingelochte Kugeln werden wieder auf die Anfangsposition auf den Tisch gelegt. Nach einem Fehler gibt es einen Spielerwechsel.

Vereinfachend gehen wir davon aus, dass nur folgende Ereignisse im Training eintreten:

Stoß ($s$) – Ein neuer Stoß beginnt durch das Anstoßen der Weißen mit dem Billardstock.

Nach dem Anstoßen der Weißen tritt genau eines der folgenden vier Ereignisse ein:

Eine rote Kugel wird angespielt und eingelocht ($r$).

Eine farbige Kugel wird angespielt und eingelocht ($f$).

Die weiße Kugel wird eingelocht ($w$).

Keine Kugel wird eingelocht ($k$).

Zusätzlich gehen wir davon aus, dass nie mehr als eine Kugel pro Stoß eingelocht wird.

Jonte eröffnet jedes Trainingsspiel. Die beiden spielen, bis sie aufhören möchten, wobei der zuletzt ausgeführte Stoß stets noch zum Spiel zählt.

Jonte und Max halten ihre Spiele in Protokollen fest, damit sie diese später für ihr weiteres Training nutzen können. Die Trainingsspiele werden protokolliert, indem die zu den Ereignissen gehörigen Buchstaben in der Reihenfolge ihres Auftretens notiert werden.

Beispiel für ein sehr kurzes Trainingsspiel: Jonte locht eine Rote und eine Farbige ein, beim dritten Stoß locht er keine Kugel ein. Max locht dann mit seinem ersten Stoß eine Rote ein. Das Protokoll dazu lautet: srsfsksr

Um eine Vielzahl von Protokollen auswerten zu können, wurde ein deterministischer endlicher Automat $A$ dazu entworfen, um Spielprotokolle zu untersuchen. In Abbildung 2 ist sein Zustandsübergangsdiagramm dargestellt.

Teilaufgabe a)

Geben Sie für den Automaten $A$ die Zustandsmenge, die Menge der Endzustände sowie den Startzustand an. [3 Punkte]

Ermitteln Sie ein vom Automaten $A$ akzeptiertes Wort, bei dessen Verarbeitung sämtliche Zustände durchlaufen werden, und erläutern Sie, wie das Trainingsspiel verlief, das durch dieses Wort protokolliert wurde. [4 Punkte]

Erläutern Sie im Sachzusammenhang, was die Zustände $q_0$, $q_2$ und $q_6$ bedeuten und wofür die von ihnen ausgehenden Übergänge stehen. [6 Punkte]

Teilaufgabe c)

Die Spielregeln werden erweitert. Unter bestimmten Voraussetzungen soll es zulässig sein, dass bei einem Stoß mehrere Kugeln in eine Tasche fallen und es auf dem Spielfeld zu weiteren Kugelberührungen kommt:

Der Spieler am Zug muss nach dem ersten Stoß zunächst eine Rote einlochen; anschließend sind, beginnend mit einer Farbigen, wie zuvor abwechselnd Farbige und Rote erlaubt.

Zudem muss mit jedem Stoß wenigstens eine Rote oder Farbige eingelocht werden.

Als Fehler gilt weiterhin, wenn die Weiße eingelocht wird oder die Kugelsorten nicht abwechselnd bzw. in falscher Reihenfolge fallen (z. B. zuerst eine Farbige, obwohl eine Rote an der Reihe wäre).

Entworfen werden soll ein deterministischer endlicher Automat $B$ mit dem Eingabealphabet $\{f, k, r, s, w\}$, der genau dann ein Spielprotokoll akzeptiert, wenn im zugehörigen Trainingsspiel die erweiterten Regeln fehlerfrei eingehalten wurden.

Geben Sie ein möglichst kurzes Wort für ein Spielprotokoll an, in dem Jonte insgesamt 5 Kugeln einlocht und dabei nach den erweiterten Regeln keinen Fehler macht. [2 Punkte]

Geben Sie ein Wort der Länge 7 für ein Spielprotokoll an, in dem nach den erweiterten Regeln fehlerfrei genau zweimal die Weiße gestoßen wurde. [2 Punkte]

Entwerfen Sie für den Automaten $B$ ein Zustandsübergangsdiagramm. [7 Punkte]