Abitur Mecklenburg-Vorpommern Mathematik 2023 · LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR)

Auf einem ebenen, horizontalen Gelände steht ein $15\text{ m}$ hoher Mast, an dem drei rechteckige Werbeflächen befestigt sind. In der Abbildung 1 ist eine der Werbeflächen grau dargestellt. Der Mast ist zylinderförmig und hat einen Durchmesser von $80\text{ cm}$; er verläuft ebenso wie die seitlichen Kanten der Werbeflächen vertikal.

In einem Koordinatensystem wird das Gelände durch die $x_1x_2$-Ebene beschrieben; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit. Der Mittelpunkt der Grundfläche des Masts wird durch den Koordinatenursprung dargestellt. Die Punkte $A(5|-2|11)$, $E(-2|5|15)$ und $F(-2|-2|15)$ stellen Eckpunkte der Werbeflächen dar.

Auf dem Gelände befindet sich ein Sportplatz. Von dort aus blickt ein Kind zur grau dargestellten Werbefläche. Die Sicht des Kindes wird durch eine Mauer eingeschränkt. Die obere Kante der Mauer wird im Modell durch die Strecke zwischen den Punkten $P(20|-5|3)$ und $Q(20|25|3)$ dargestellt. Der Punkt, von dem der Blick des Kindes ausgeht, wird durch $K(24|15|1)$ beschrieben. Das Kind kann denjenigen Teil der Werbefläche, der durch das Dreieck $GBH$ mit $G(4|-1|11)$ dargestellt wird, nicht sehen (siehe Abbildung 2).

Auf dem Sportplatz wird ein Fußball geschossen. Die Flugbahn des Balls wird im Modell durch Punkte der Form $(32 - 8t \mid 5 \mid -5t^2 + 6{,}5t + 0{,}3)$ mit $t \in \mathbb{R}^+$ beschrieben. Dabei ist $t$ die seit dem Schuss vergangene Zeit in Sekunden.

a)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt der grau dargestellten Werbefläche. Prüfen Sie, ob die beiden anderen Werbeflächen einen rechten Winkel einschließen.

Ja

Nein

c)

Begründen Sie, dass der Abstand der grau dargestellten Werbefläche zum Mast mit dem Abstand des Mittelpunkts der oberen Kante dieser Werbefläche zum Mast übereinstimmt.

d)

Eine Sichtlinie verläuft im Modell von $K$ zu $G$. Berechnen Sie die Größe des Winkels dieser Sichtlinie gegenüber der Horizontalen.

Auf einem ebenen, horizontalen Gelände steht ein $15\text{ m}$ hoher Mast, an dem drei rechteckige Werbeflächen befestigt sind. In der Abbildung 1 ist eine der Werbeflächen grau dargestellt. Der Mast ist zylinderförmig und hat einen Durchmesser von $80\text{ cm}$; er verläuft ebenso wie die seitlichen Kanten der Werbeflächen vertikal.

In einem Koordinatensystem wird das Gelände durch die $x_1x_2$-Ebene beschrieben; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit. Der Mittelpunkt der Grundfläche des Masts wird durch den Koordinatenursprung dargestellt. Die Punkte $A(5|-2|11)$, $E(-2|5|15)$ und $F(-2|-2|15)$ stellen Eckpunkte der Werbeflächen dar.

Auf dem Gelände befindet sich ein Sportplatz. Von dort aus blickt ein Kind zur grau dargestellten Werbefläche. Die Sicht des Kindes wird durch eine Mauer eingeschränkt. Die obere Kante der Mauer wird im Modell durch die Strecke zwischen den Punkten $P(20|-5|3)$ und $Q(20|25|3)$ dargestellt. Der Punkt, von dem der Blick des Kindes ausgeht, wird durch $K(24|15|1)$ beschrieben. Das Kind kann denjenigen Teil der Werbefläche, der durch das Dreieck $GBH$ mit $G(4|-1|11)$ dargestellt wird, nicht sehen (siehe Abbildung 2).

Auf dem Sportplatz wird ein Fußball geschossen. Die Flugbahn des Balls wird im Modell durch Punkte der Form $(32 - 8t \mid 5 \mid -5t^2 + 6{,}5t + 0{,}3)$ mit $t \in \mathbb{R}^+$ beschrieben. Dabei ist $t$ die seit dem Schuss vergangene Zeit in Sekunden.

b

Die grau dargestellte Werbefläche liegt im Modell in einer Ebene, deren Gleichung in der Form $a \cdot x_1 + a \cdot x_2 = b$ dargestellt werden kann. Ermitteln Sie passende Werte von $a$ und $b$.

$a =$ $b =$

e

Beschreiben Sie, wie man die Koordinaten von $H$ rechnerisch bestimmen könnte.

f

Der Ball bewegt sich im Modell in der Ebene $L$. Beschreiben Sie die besondere Lage von $L$ im Koordinatensystem und geben Sie eine Gleichung dieser Ebene an.

g

Untersuchen Sie, ob der Ball die Mauer trifft, bevor er den Boden berührt.

Die Abbildung zeigt den Körper $ABCDEF$ mit $A(6|3|0)$, $B(0|6|0)$, $C(3|0|0)$, $D(6|3|6)$, $E(0|6|6)$ und $F(3|0|12)$.

a

Die Punkte $D$, $E$ und $F$ liegen in der Ebene $L$. Ermitteln Sie eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $2x_1 + 4x_2 + 3x_3 - 42 = 0$)

e

Die Ebene $N_k$ enthält die $x_3$-Achse und den Punkt $P_k(1-k \mid k \mid 0)$ mit $k \in ]0; 1[$. Welche Kanten des Körpers von $N_k$ geschnitten werden, ist abhängig von $k$. Durchläuft $k$ alle Werte zwischen $0$ und $1$, so gibt es Bereiche $]a; b[$, für die $N_k$ für alle Werte von $k \in ]a; b[$ jeweils die gleichen Kanten des Körpers schneidet. Bestimmen Sie den größten dieser Bereiche und geben Sie die zugehörigen Kanten an.

Die Abbildung zeigt den Körper $ABCDEF$ mit $A(6|3|0)$, $B(0|6|0)$, $C(3|0|0)$, $D(6|3|6)$, $E(0|6|6)$ und $F(3|0|12)$.

b)

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den $L$ mit der $x_1x_2$-Ebene einschließt. [3 BE]

c)

Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ kann mit dem Term $6\cdot 6 - \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3 - 2\cdot \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6$ berechnet werden. Veranschaulichen Sie diese Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung. [3 BE]

d)

Berechnen Sie das Volumen des Körpers $ABCDEF$. [3 BE]

f)

Auf der Kante $\overline{AD}$ liegt der Punkt $Q$, auf der Kante $\overline{BE}$ der Punkt $R(0|6|2)$. Das Dreieck $FQR$ hat in $Q$ einen rechten Winkel. Bestimmen Sie die $x_3$-Koordinate von $Q$. [5 BE]

g)

Der Körper wird so um die Gerade $AB$ gedreht, dass der mit $D$ bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der $x_1x_2$-Ebene liegt und dabei eine positive $x_2$-Koordinate hat. Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit der beschriebenen Drehung:

$$\begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \left[ \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right] = 0 \iff \lambda = 0{,}8,\ \text{d. h.}\ S(4{,}8|3{,}6|0)$$

$$\vec{OT} = \vec{OS} + |\vec{CS}| \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung und geben Sie die Bedeutung von $S$ an. [3 BE]