Abitur Mecklenburg-Vorpommern Mathematik 2023 · GK · Teil B · Stochastik (CAS)

Ein Großhändler bietet Rohkaffee in Säcken zu jeweils 60 kg an. 96 % aller Säcke entsprechen den Qualitätsanforderungen.

Ein Kunde möchte die Qualität des Kaffees prüfen, bevor er mit dem Großhändler einen Vertrag abschließt. In einem ersten Schritt sollen 50 zufällig ausgewählte Säcke daraufhin untersucht werden, ob sie den Qualitätsanforderungen entsprechen. Wenn dies bei höchstens zwei Säcken nicht der Fall ist, dann wird der Vertrag abgeschlossen. Wenn genau drei Säcke nicht den Qualitätsanforderungen entsprechen, dann sollen in einem zweiten Schritt 25 zufällig ausgewählte Säcke daraufhin untersucht werden, ob sie den Qualitätsanforderungen entsprechen. Wenn von diesen 25 Säcken höchstens ein Sack nicht den Qualitätsanforderungen entspricht, dann wird der Vertrag abgeschlossen. Andernfalls kommt der Vertrag nicht zustande.

1 Ein Hersteller von Röstkaffee präsentiert auf einer Messe Kaffee in fünf unterschiedlichen Röstgraden.

a)

Der Hersteller bietet jedem Messebesucher an, Kaffee mit drei verschiedenen Röstgraden zu probieren und die Reihenfolge dafür festzulegen. Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten, die jeder Besucher dabei hat.

[2 BE]

b)

Für die Messe wurden 200 Probepackungen vorbereitet; 10 dieser Probepackungen wurde jeweils ein Gutschein beigelegt. An 180 Besucher wird jeweils eine zufällig ausgewählte Probepackung verschenkt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den verschenkten Packungen alle Packungen mit einem Gutschein befinden.

[3 BE]

Ein Großhändler bietet Rohkaffee in Säcken zu jeweils 60 kg an. 96 % aller Säcke entsprechen den Qualitätsanforderungen.

Ein Kunde möchte die Qualität des Kaffees prüfen, bevor er mit dem Großhändler einen Vertrag abschließt. In einem ersten Schritt sollen 50 zufällig ausgewählte Säcke daraufhin untersucht werden, ob sie den Qualitätsanforderungen entsprechen. Wenn dies bei höchstens zwei Säcken nicht der Fall ist, dann wird der Vertrag abgeschlossen. Wenn genau drei Säcke nicht den Qualitätsanforderungen entsprechen, dann sollen in einem zweiten Schritt 25 zufällig ausgewählte Säcke daraufhin untersucht werden, ob sie den Qualitätsanforderungen entsprechen. Wenn von diesen 25 Säcken höchstens ein Sack nicht den Qualitätsanforderungen entspricht, dann wird der Vertrag abgeschlossen. Andernfalls kommt der Vertrag nicht zustande.

a)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Vertrag abgeschlossen wird.

%

b)

Beurteilen Sie, ohne zu rechnen, ob es für den Großhändler von Vorteil sein könnte, wenn im möglichen zweiten Schritt – bei sonst gleichen Bedingungen – nur 15 Säcke untersucht würden.

Ein Großhändler bietet Rohkaffee in Säcken zu jeweils 60 kg an. 96 % aller Säcke entsprechen den Qualitätsanforderungen.

Ein Kunde möchte die Qualität des Kaffees prüfen, bevor er mit dem Großhändler einen Vertrag abschließt. In einem ersten Schritt sollen 50 zufällig ausgewählte Säcke daraufhin untersucht werden, ob sie den Qualitätsanforderungen entsprechen. Wenn dies bei höchstens zwei Säcken nicht der Fall ist, dann wird der Vertrag abgeschlossen. Wenn genau drei Säcke nicht den Qualitätsanforderungen entsprechen, dann sollen in einem zweiten Schritt 25 zufällig ausgewählte Säcke daraufhin untersucht werden, ob sie den Qualitätsanforderungen entsprechen. Wenn von diesen 25 Säcken höchstens ein Sack nicht den Qualitätsanforderungen entspricht, dann wird der Vertrag abgeschlossen. Andernfalls kommt der Vertrag nicht zustande.

Jeder Sack, der den Qualitätsanforderungen nicht entspricht, weist mindestens einen der beiden folgenden Mängel auf:

$M_1$: „Der Kaffee weist zu viele Verunreinigungen auf.“

$M_2$: „Der Sack enthält weniger als 60 kg Kaffee.“

Die beiden Mängel treten unabhängig voneinander auf. Ein Sack wird zufällig ausgewählt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Sack den Mangel $M_1$ aufweist, beträgt 1 %.

c)

Beschreiben Sie das Ereignis $M_1 \cap \overline{M_2}$ im Sachzusammenhang.

d)

Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der ausgewählte Sack weniger als 60 kg Kaffee enthält, wobei der Kaffee nicht zu viele Verunreinigungen aufweist, 3 % beträgt.

e)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der ausgewählte Sack weniger als 60 kg Kaffee enthält.

Die Abbildung 1 zeigt das Netz eines Würfels.

Der Würfel wird 30-mal geworfen. Die Zufallsgröße $X$ gibt an, wie oft die Zahl „4“ erzielt wird.

a)

Begründen Sie, dass $X$ binomialverteilt mit dem Parameter $p = \frac{1}{3}$ ist.

[2 BE]

b)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl „4“ häufiger erzielt wird als die Zahl „2“.

[2 BE]

c)

Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term

$$\binom{29}{8} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^8 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{21} \cdot \frac{1}{3}$$

berechnet werden kann.

[2 BE]

d)

Bestimmen Sie den Erwartungswert für die Summe der erzielten Zahlen.

[3 BE]

Die Abbildung 1 zeigt das Netz eines Würfels.

Der Würfel wird 30-mal geworfen. Die Zufallsgröße $X$ gibt an, wie oft die Zahl „4“ erzielt wird.

Zwei Personen werfen den Würfel abwechselnd so lange, bis eine Person mit einem Wurf eine andere Zahl erzielt als die andere Person beim unmittelbar vorhergehenden Wurf. Die Person, die dabei die größere Zahl erzielt, gewinnt das Spiel.

e

Begründen Sie, dass mit dem Term $1 - \left(\frac{1}{3}\right)^3 - \left(\frac{2}{3}\right)^3$ die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden kann, dass das Spiel spätestens mit dem dritten Wurf entschieden wird. [2 BE]

f

Eine der beiden Personen beginnt das Spiel. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person verliert und der Würfel höchstens viermal geworfen wird. [3 BE]

Die Abbildung 1 zeigt das Netz eines Würfels.

Der Würfel wird 30-mal geworfen. Die Zufallsgröße $X$ gibt an, wie oft die Zahl „4“ erzielt wird.

2 Die Abbildung 2 zeigt das Netz eines weiteren Würfels.

Der Würfel wird 7500-mal geworfen. Bei den ersten 1500 Würfen wird 735-mal die Zahl „1“ und 285-mal die Zahl „6“ erzielt.

a)

Bestimmen Sie für die ersten 1500 Würfe die relative Häufigkeit der Zahl „3“.

b)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei höchstens 17 % der 7500 Würfe die Zahl „6“ erzielt wird.