Abitur Hamburg Physik 2025 · LK · Füllstandsmessung

2 Material

Material 1: Behälter zur kapazitiven Füllstandsmessung

Schematischer Aufbau des Behälters:

Zwei einander gegenüberliegende Seiten des Behälters sind aus Metall und mit den Polen einer Spannungsquelle verbunden (s. Abb. 1). Ein elektrischer Strom zwischen diesen Platten kann deshalb nicht fließen, da die anderen Seiten des Behälters, das Petroleum und die Luft bei den gegebenen Bedingungen jeweils elektrische Nichtleiter sind.

Die beiden leitenden Seiten mit der Füllung dazwischen können modellhaft als Plattenkondensator mit Petroleum bzw. Luft als Dielektrikum betrachtet werden.

Die Dielektrizitätszahl von Petroleum beträgt $\varepsilon_{\text{r,P}} = 2{,}0$, die von Luft $\varepsilon_{\text{r,L}} = 1{,}0$.

Für die Kapazität in Abhängigkeit von der Füllhöhe des Behälters gilt:

$$C_{\text{ges}}(h) = \varepsilon_0 \cdot \frac{b}{d} \cdot (h_{\text{ges}} + (\varepsilon_{\text{r,P}} - 1) \cdot h)$$

Material 2: Parallelschaltung von Kondensatoren

Die Kapazität eines Plattenkondensators, der bis zu einer bestimmten Höhe $h$ mit einem Dielektrikum gefüllt ist, entspricht der Gesamtkapazität $C_{\text{ges}}$ einer Parallelschaltung aus einem gefüllten und einem ungefüllten Plattenkondensator mit entsprechenden Abmessungen.

Für die Gesamtkapazität zweier parallel geschalteter Kondensatoren der Kapazitäten $C_1$ und $C_2$ gilt: $C_{\text{ges}} = C_1 + C_2$.

Material 3: Zeitlicher Verlauf der Entladestromstärke des Kondensators

Zum Zeitpunkt $0\text{ s}$ ist der Kondensator bis zum Erreichen der Spannung $7{,}5\text{ V}$ voll aufgeladen und wird ausschließlich über den Ohm'schen Widerstand $R = 500\text{ k}\Omega$ entladen.

Material 4: Massenbezogene Füllstandsmessung durch Verwendung von Lastsensoren

Das Grundprinzip der massenbezogenen Füllstandsmessung basiert auf der Messung der Gewichtskraft eines Behälters durch Lastsensoren. Dabei werden die Sensoren unter dem Behälter angebracht und messen die von dem Behälter ausgeübte Kraft. Jegliche Änderung der gemessenen Kraft entspricht einer Änderung des Füllstands, solange das Füllmaterial eine einheitliche Dichte hat.

1 Die Abbildung 1 in Material 1 zeigt einen quaderförmigen Behälter zur Lagerung von Petroleum. Der Füllstand des Petroleums wird durch eine kapazitive Messung erfasst.

a

Zunächst wird die Kapazität des leeren Kondensators betrachtet.

Weisen Sie nach, dass die Kapazität des Plattenkondensators ohne eingefülltes Petroleum $C = 7{,}97\text{ pF}$ beträgt.

b

Wenn der Behälter vollständig mit Petroleum gefüllt ist, ist die Kapazität des Kondensators dadurch gestiegen.

Erläutern Sie, dass weitere Ladungen auf die Kondensatorplatten geflossen sind, wenn der Behälter mit Petroleum gefüllt ist und der Kondensator während des Befüllens mit der Spannungsquelle verbunden bleibt.

Veranschaulichen Sie dazu mithilfe einer Skizze die Polarisation im Dielektrikum.

2 Material

Material 1: Behälter zur kapazitiven Füllstandsmessung

Schematischer Aufbau des Behälters:

Zwei einander gegenüberliegende Seiten des Behälters sind aus Metall und mit den Polen einer Spannungsquelle verbunden (s. Abb. 1). Ein elektrischer Strom zwischen diesen Platten kann deshalb nicht fließen, da die anderen Seiten des Behälters, das Petroleum und die Luft bei den gegebenen Bedingungen jeweils elektrische Nichtleiter sind.

Die beiden leitenden Seiten mit der Füllung dazwischen können modellhaft als Plattenkondensator mit Petroleum bzw. Luft als Dielektrikum betrachtet werden.

Die Dielektrizitätszahl von Petroleum beträgt $\varepsilon_{\text{r,P}} = 2{,}0$, die von Luft $\varepsilon_{\text{r,L}} = 1{,}0$.

Für die Kapazität in Abhängigkeit von der Füllhöhe des Behälters gilt:

$$C_{\text{ges}}(h) = \varepsilon_0 \cdot \frac{b}{d} \cdot (h_{\text{ges}} + (\varepsilon_{\text{r,P}} - 1) \cdot h)$$

Material 2: Parallelschaltung von Kondensatoren

Die Kapazität eines Plattenkondensators, der bis zu einer bestimmten Höhe $h$ mit einem Dielektrikum gefüllt ist, entspricht der Gesamtkapazität $C_{\text{ges}}$ einer Parallelschaltung aus einem gefüllten und einem ungefüllten Plattenkondensator mit entsprechenden Abmessungen.

Für die Gesamtkapazität zweier parallel geschalteter Kondensatoren der Kapazitäten $C_1$ und $C_2$ gilt: $C_{\text{ges}} = C_1 + C_2$.

Material 3: Zeitlicher Verlauf der Entladestromstärke des Kondensators

Zum Zeitpunkt $0\text{ s}$ ist der Kondensator bis zum Erreichen der Spannung $7{,}5\text{ V}$ voll aufgeladen und wird ausschließlich über den Ohm'schen Widerstand $R = 500\text{ k}\Omega$ entladen.

Material 4: Massenbezogene Füllstandsmessung durch Verwendung von Lastsensoren

Das Grundprinzip der massenbezogenen Füllstandsmessung basiert auf der Messung der Gewichtskraft eines Behälters durch Lastsensoren. Dabei werden die Sensoren unter dem Behälter angebracht und messen die von dem Behälter ausgeübte Kraft. Jegliche Änderung der gemessenen Kraft entspricht einer Änderung des Füllstands, solange das Füllmaterial eine einheitliche Dichte hat.

2 Für einen teilweise befüllten Behälter kann die Kapazität des betrachteten Kondensators in Abhängigkeit von der Füllhöhe des Petroleums durch die Gleichung in Material 1 beschrieben werden.

a

Leiten Sie den in der Gleichung (M 1) dargestellten Zusammenhang zwischen der Gesamtkapazität $C_{\text{ges}}$ und der Füllhöhe $h$ des Petroleums im Behälter unter Verwendung von Material 2 her.

b

Berechnen Sie die Füllhöhe des Petroleums im Behälter, für die sich eine Gesamtkapazität von $10{,}75\text{ pF}$ ergibt.

2 Material

Material 1: Behälter zur kapazitiven Füllstandsmessung

Schematischer Aufbau des Behälters:

Zwei einander gegenüberliegende Seiten des Behälters sind aus Metall und mit den Polen einer Spannungsquelle verbunden (s. Abb. 1). Ein elektrischer Strom zwischen diesen Platten kann deshalb nicht fließen, da die anderen Seiten des Behälters, das Petroleum und die Luft bei den gegebenen Bedingungen jeweils elektrische Nichtleiter sind.

Die beiden leitenden Seiten mit der Füllung dazwischen können modellhaft als Plattenkondensator mit Petroleum bzw. Luft als Dielektrikum betrachtet werden.

Die Dielektrizitätszahl von Petroleum beträgt $\varepsilon_{\text{r,P}} = 2{,}0$, die von Luft $\varepsilon_{\text{r,L}} = 1{,}0$.

Für die Kapazität in Abhängigkeit von der Füllhöhe des Behälters gilt:

$$C_{\text{ges}}(h) = \varepsilon_0 \cdot \frac{b}{d} \cdot (h_{\text{ges}} + (\varepsilon_{\text{r,P}} - 1) \cdot h)$$

Material 2: Parallelschaltung von Kondensatoren

Die Kapazität eines Plattenkondensators, der bis zu einer bestimmten Höhe $h$ mit einem Dielektrikum gefüllt ist, entspricht der Gesamtkapazität $C_{\text{ges}}$ einer Parallelschaltung aus einem gefüllten und einem ungefüllten Plattenkondensator mit entsprechenden Abmessungen.

Für die Gesamtkapazität zweier parallel geschalteter Kondensatoren der Kapazitäten $C_1$ und $C_2$ gilt: $C_{\text{ges}} = C_1 + C_2$.

Material 3: Zeitlicher Verlauf der Entladestromstärke des Kondensators

Zum Zeitpunkt $0\text{ s}$ ist der Kondensator bis zum Erreichen der Spannung $7{,}5\text{ V}$ voll aufgeladen und wird ausschließlich über den Ohm'schen Widerstand $R = 500\text{ k}\Omega$ entladen.

Material 4: Massenbezogene Füllstandsmessung durch Verwendung von Lastsensoren

Das Grundprinzip der massenbezogenen Füllstandsmessung basiert auf der Messung der Gewichtskraft eines Behälters durch Lastsensoren. Dabei werden die Sensoren unter dem Behälter angebracht und messen die von dem Behälter ausgeübte Kraft. Jegliche Änderung der gemessenen Kraft entspricht einer Änderung des Füllstands, solange das Füllmaterial eine einheitliche Dichte hat.

3 Für die kapazitive Messung der Füllhöhe im Behälter wird das Entladeverhalten des Kondensators untersucht. Bei unbekannter Füllhöhe des Petroleums, wird der stets mit der gleichen Spannung aufgeladene Kondensator über einen stets gleichen Ohm'schen Widerstand entladen. Material 3 zeigt den durch Messung bestimmten zeitlichen Verlauf der Stromstärke während des Entladevorgangs.

a)

Ermitteln Sie unter Verwendung von Material 3 die Kapazität des betrachteten Kondensators. [5 BE]

b)

Stellen Sie in Material 3 qualitativ den zeitlichen Verlauf der Entladestromstärke dar, der sich für eine geringere Füllhöhe des Behälters ergibt. [2 BE]

Erklären Sie den Unterschied der beiden Verläufe. [3 BE]

c)

Aus den Messwerten des Entladeverhaltens (M 3) wurde als Kapazität des Kondensators $C = 11{,}83\text{ pF}$ ermittelt. Zum Zeitpunkt $t = 0\text{ s}$ beträgt die Stromstärke $15{,}0\text{ µA}$; für $t > 0\text{ s}$ kann die Stromstärke auf $\pm 0{,}1\text{ µA}$ genau bestimmt werden.

Beurteilen Sie unter quantitativer Berücksichtigung dieser Messunsicherheit, ob gefolgert werden kann, dass der Behälter aus Material 1 weniger als zur Hälfte mit Petroleum befüllt ist. [5 BE]

2 Material

Material 1: Behälter zur kapazitiven Füllstandsmessung

Schematischer Aufbau des Behälters:

Zwei einander gegenüberliegende Seiten des Behälters sind aus Metall und mit den Polen einer Spannungsquelle verbunden (s. Abb. 1). Ein elektrischer Strom zwischen diesen Platten kann deshalb nicht fließen, da die anderen Seiten des Behälters, das Petroleum und die Luft bei den gegebenen Bedingungen jeweils elektrische Nichtleiter sind.

Die beiden leitenden Seiten mit der Füllung dazwischen können modellhaft als Plattenkondensator mit Petroleum bzw. Luft als Dielektrikum betrachtet werden.

Die Dielektrizitätszahl von Petroleum beträgt $\varepsilon_{\text{r,P}} = 2{,}0$, die von Luft $\varepsilon_{\text{r,L}} = 1{,}0$.

Für die Kapazität in Abhängigkeit von der Füllhöhe des Behälters gilt:

$$C_{\text{ges}}(h) = \varepsilon_0 \cdot \frac{b}{d} \cdot (h_{\text{ges}} + (\varepsilon_{\text{r,P}} - 1) \cdot h)$$

Material 2: Parallelschaltung von Kondensatoren

Die Kapazität eines Plattenkondensators, der bis zu einer bestimmten Höhe $h$ mit einem Dielektrikum gefüllt ist, entspricht der Gesamtkapazität $C_{\text{ges}}$ einer Parallelschaltung aus einem gefüllten und einem ungefüllten Plattenkondensator mit entsprechenden Abmessungen.

Für die Gesamtkapazität zweier parallel geschalteter Kondensatoren der Kapazitäten $C_1$ und $C_2$ gilt: $C_{\text{ges}} = C_1 + C_2$.

Material 3: Zeitlicher Verlauf der Entladestromstärke des Kondensators

Zum Zeitpunkt $0\text{ s}$ ist der Kondensator bis zum Erreichen der Spannung $7{,}5\text{ V}$ voll aufgeladen und wird ausschließlich über den Ohm'schen Widerstand $R = 500\text{ k}\Omega$ entladen.

Material 4: Massenbezogene Füllstandsmessung durch Verwendung von Lastsensoren

Das Grundprinzip der massenbezogenen Füllstandsmessung basiert auf der Messung der Gewichtskraft eines Behälters durch Lastsensoren. Dabei werden die Sensoren unter dem Behälter angebracht und messen die von dem Behälter ausgeübte Kraft. Jegliche Änderung der gemessenen Kraft entspricht einer Änderung des Füllstands, solange das Füllmaterial eine einheitliche Dichte hat.

4 In einem Betrieb werden unterschiedliche Flüssigkeiten und Feststoffe gelagert. Der Füllstand wird bei einigen dieser Materialien bereits mithilfe eines funktionierenden kapazitiven Messverfahrens (vgl. M 1) erfasst. Es soll nun geprüft werden, ob der Füllstand auch für andere Materialien kapazitiv bestimmt werden kann. Die Alternative dazu ist ein massenbezogenes Messverfahren, dessen Installation und Unterhalt aber mit vergleichsweise hohen Kosten verbunden ist (M 4).

Geben Sie anhand der Materialien 1 und 4 eine begründete Empfehlung, unter welchen Voraussetzungen das massenbezogene Verfahren eingesetzt werden sollte.