Abitur Hamburg Mathematik 2019 · GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS)

Ein Logistikunternehmen testet auf einer Strecke zwischen Festland und einer Insel die Paketzustellung mithilfe eines Flugkörpers, einer sogenannten Drohne. In einem kartesischen Koordinatensystem wird das horizontale Gelände, über dem sich die Drohne bewegt, modellhaft durch die $x_1x_2$-Ebene dargestellt, die Lage des Startplatzes durch den Punkt $S(7320 \mid -1750 \mid 0)$ und die Lage des regulären Landeplatzes durch den Punkt $L(-990 \mid 6990 \mid 0)$. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Die Drohne soll über dem Startplatz zunächst vertikal aufsteigen, bis sie eine Höhe von $50\text{ m}$ erreicht hat, und anschließend geradlinig in konstanter Höhe und mit konstanter Geschwindigkeit in die Richtung des Landeplatzes fliegen.

Die Drohne soll ihren Weg zum Landeplatz selbstständig zurücklegen können. Während der Testphase wird ihr Flug jedoch von einer Bodenstation aus überwacht und die Flugbahn bei Bedarf korrigiert. Die Position der Bodenstation wird durch den Punkt $B(0 \mid 0 \mid 0)$ dargestellt, ihre Reichweite beträgt $6000\text{ m}$.

Einer Korrektur der Bodenstation folgend weicht die Drohne im Modell im Punkt $Q(3996 \mid 1746 \mid 50)$ von der vorgesehenen Flugbahn ab und bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von $5\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}}$ geradlinig auf einen Ausweichlandeplatz zu, der durch den Punkt $A(4050 \mid 1810 \mid 0)$ dargestellt wird.

a

Begründen Sie, dass die vorgesehene horizontale Flugbahn der Drohne im Modell entlang der Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 7320 \\ -1750 \\ 50 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -8310 \\ 8740 \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $r \in \mathbb{R}$ verläuft.

100 Sekunden nachdem die Drohne die Höhe von $50\text{ m}$ erreicht hat, wird ihre Position durch den Punkt $P(6489 \mid -876 \mid 50)$ dargestellt.

b

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts, der die Position der Drohne nach weiteren 200 Sekunden Flugzeit auf der vorgesehenen Flugbahn darstellt.

$($ $\mid$ $\mid$ $)$

Ein Logistikunternehmen testet auf einer Strecke zwischen Festland und einer Insel die Paketzustellung mithilfe eines Flugkörpers, einer sogenannten Drohne. In einem kartesischen Koordinatensystem wird das horizontale Gelände, über dem sich die Drohne bewegt, modellhaft durch die $x_1x_2$-Ebene dargestellt, die Lage des Startplatzes durch den Punkt $S(7320 \mid -1750 \mid 0)$ und die Lage des regulären Landeplatzes durch den Punkt $L(-990 \mid 6990 \mid 0)$. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Die Drohne soll über dem Startplatz zunächst vertikal aufsteigen, bis sie eine Höhe von $50\text{ m}$ erreicht hat, und anschließend geradlinig in konstanter Höhe und mit konstanter Geschwindigkeit in die Richtung des Landeplatzes fliegen.

Die Drohne soll ihren Weg zum Landeplatz selbstständig zurücklegen können. Während der Testphase wird ihr Flug jedoch von einer Bodenstation aus überwacht und die Flugbahn bei Bedarf korrigiert. Die Position der Bodenstation wird durch den Punkt $B(0 \mid 0 \mid 0)$ dargestellt, ihre Reichweite beträgt $6000\text{ m}$.

Einer Korrektur der Bodenstation folgend weicht die Drohne im Modell im Punkt $Q(3996 \mid 1746 \mid 50)$ von der vorgesehenen Flugbahn ab und bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von $5\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}}$ geradlinig auf einen Ausweichlandeplatz zu, der durch den Punkt $A(4050 \mid 1810 \mid 0)$ dargestellt wird.

c

Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Drohne während des horizontalen Flugs.

d

Untersuchen Sie, ob sich die Drohne in der durch den Punkt $P$ dargestellten Position innerhalb oder außerhalb der Reichweite der Bodenstation befindet.

e

Bewegt sich die Drohne auf der vorgesehenen Flugbahn, so befindet sie sich von einem bestimmten Zeitpunkt an innerhalb der Reichweite der Bodenstation. Ermitteln Sie die Position, in der sich die Drohne zu diesem Zeitpunkt befindet.

f

In einer Position auf der vorgesehenen Flugbahn hat die Drohne die geringste Entfernung zur Bodenstation; diese Position wird durch den Punkt $R$ beschrieben. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem unter Verwendung der Abbildung die Koordinaten von $R$ ermittelt werden könnten.

g

Bestimmen Sie die Größe des Neigungswinkels der Flugbahn gegenüber dem Gelände beim Anflug auf den Ausweichlandeplatz.

h

Berechnen Sie, um wie viele Meter sich die Flughöhe pro Sekunde verringert.

Die Abbildung zeigt ein Gebäude des Flughafens von Palma de Mallorca. Im eingezeichneten kartesischen Koordinatensystem kann die 140 Meter lange Dachkonstruktion modellhaft durch einen halben Zylinder und drei Prismen zusammengesetzt werden; die dreieckigen Grundflächen dieser Prismen sind kongruent.

Der Boden des Gebäudes sowie die Startbahnen des Flughafens liegen im Modell in der $xy$-Ebene. Die Seitenkanten der Prismen verlaufen parallel zur $y$-Achse. Die Punkte $A(7|0|4)$, $B(0|0|4)$ und $C(3{,}5|0|7{,}5)$ sind Eckpunkte eines der Prismen. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

a)

Weisen Sie nach, dass das Dreieck $ABC$ gleichschenklig und im Punkt $C$ rechtwinklig ist.

b)

Bestimmen Sie das Volumen der gesamten Dachkonstruktion.

d)

Der Abbildung liegt ein Foto zugrunde. Die Position der Kamera, mit der dieses Foto aufgenommen wurde, wird durch den Punkt $K(30 \mid 20 \mid 1{,}5)$ dargestellt. Die weiße Dachfläche, die mit dem Schriftzug „Aeropuerto de Palma de Mallorca“ versehen ist, liegt im Modell in der Ebene $E$ (mit der Koordinatengleichung $E: x + z = 11$).

Eine Sichtlinie verläuft von der Kamera geradlinig zum Mittelpunkt der weißen Dachfläche. Berechnen Sie die Größe des Winkels, den diese Sichtlinie mit der Dachfläche einschließt.

Die Abbildung zeigt ein Gebäude des Flughafens von Palma de Mallorca. Im eingezeichneten kartesischen Koordinatensystem kann die 140 Meter lange Dachkonstruktion modellhaft durch einen halben Zylinder und drei Prismen zusammengesetzt werden; die dreieckigen Grundflächen dieser Prismen sind kongruent.

Der Boden des Gebäudes sowie die Startbahnen des Flughafens liegen im Modell in der $xy$-Ebene. Die Seitenkanten der Prismen verlaufen parallel zur $y$-Achse. Die Punkte $A(7|0|4)$, $B(0|0|4)$ und $C(3{,}5|0|7{,}5)$ sind Eckpunkte eines der Prismen. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Der Abbildung liegt ein Foto zugrunde. Die Position der Kamera, mit der dieses Foto aufgenommen wurde, wird durch den Punkt $K(30 \mid 20 \mid 1{,}5)$ dargestellt. Die weiße Dachfläche, die mit dem Schriftzug „Aeropuerto de Palma de Mallorca“ versehen ist, liegt im Modell in der Ebene $E$.

c)

Ermitteln Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform. (zur Kontrolle: $E: x + z = 11$)

Hinter dem Gebäude startet ein Flugzeug. Ab einer bestimmten Höhe über der Startbahn ist die Flugzeugspitze von der Position der Kamera aus oberhalb des Gebäudes sichtbar. Im Folgenden soll diese Höhe ermittelt werden.

e)

Begründen Sie anhand einer geeignet beschrifteten Skizze, dass diejenigen Punkte der Dachkonstruktion, die am höchsten über dem Boden des Gebäudes liegen, für die Ermittlung der gesuchten Höhe keine Rolle spielen.

f)

Von der Position der Kamera aus wird die Flugzeugspitze unmittelbar oberhalb derjenigen Punkte der Dachkonstruktion sichtbar, die im Modell näherungsweise auf der Gerade mit der Gleichung

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 1{,}1 \\ 0 \\ 10{,}9 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

liegen. Die Spitze des startenden Flugzeugs bewegt sich im Modell entlang der Gerade mit der Gleichung

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} -60 \\ -990 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1000 \\ 0 \\ 350 \end{pmatrix}.$$

Ermitteln Sie die gesuchte Höhe.