Abitur Hamburg Mathematik 2019 · GK · Teil A · Analytische Geometrie

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0|2|2)$, $B(4|-1|z_B)$ und $C(-3|y_C|6)$ gegeben.

a)

$B$ liegt auf der Gerade mit der Gleichung $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0{,}75 \\ -2 \end{pmatrix}$. Bestimmen Sie den Wert von $z_B$.

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0|2|2)$, $B(4|-1|z_B)$ und $C(-3|y_C|6)$ gegeben.

b)

Zeigen Sie, dass der Abstand von $A$ und $C$ mindestens $5$ beträgt.

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0|2|2)$, $B(4|-1|z_B)$ und $C(-3|y_C|6)$ gegeben.

In einem kartesischen Koordinatensystem wird das gerade Prisma $ABCDEF$ betrachtet. $A(0|-4|0)$, $B(\sqrt{20}|0|0)$ und $C(0|4|0)$ sind die Eckpunkte der Grundfläche.

a)

Zeigen Sie, dass das Dreieck $ABC$ im Punkt $B$ nicht rechtwinklig ist. [2 BE]

b)

Der Inhalt der Mantelfläche des Prismas ist $60$. Bestimmen Sie die Höhe des Prismas. [3 BE]

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0|4|2)$, $B(0|0|0)$ und $C(0|4|0)$ gegeben (vgl. Abbildung). Eine Gerade $g$ verläuft durch $A$ und hat den Richtungsvektor $\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}$.

a)

Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punkts, der auf $g$ liegt und von $A$ den Abstand 6 hat.

b)

Ermitteln Sie die Koordinaten zweier Punkte, die von $A$, $B$ und $C$ den gleichen Abstand haben.