Abitur Hamburg Mathematik 2017 · LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR)

Wölfe leben im Rudelverband. Ein Rudel besteht aus einem Elternpaar, das das Rudel führt, und dessen Nachkommen.

Betrachtet wird die Entwicklung einer Population der weiblichen Tiere eines Wolfsbestands in einem großen, abgeschlossenen Gebiet. Im ersten Lebensjahr werden die Tiere als Welpen und im zweiten als Jungtiere bezeichnet. Ab dem dritten Lebensjahr sind die Tiere geschlechtsreif und werden Rudelführerinnen. Jede Rudelführerin bringt pro Jahr durchschnittlich drei weibliche Welpen zur Welt.

In einem Modell werden Zusammensetzungen der Population der weiblichen Wölfe durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} W \\ J \\ R \end{pmatrix}$ dargestellt, wobei $W$ die Anzahl der Welpen, $J$ die Anzahl der Jungtiere und $R$ die Anzahl der Rudelführerinnen bezeichnet. Zu Beginn der Beobachtung wird die Zusammensetzung der Population durch den Vektor $\vec{v}_0$ dargestellt.

Die Entwicklung der Population von einem Jahr $n$ zum nächsten lässt sich zunächst durch die Matrix $L = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ x & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}7 & 0{,}8 \end{pmatrix}$ und die Gleichung $\vec{v}_{n+1} = L \cdot \vec{v}_n$ beschreiben.

a)

Stellen Sie die Entwicklung der Population in einem Übergangsdiagramm dar. [3 BE]

b)

Beschreiben Sie die Bedeutung von $x$ im Sachzusammenhang. [1 BE]

c)

$72\,\%$ der Tiere sterben innerhalb der ersten zwei Lebensjahre. Ermitteln Sie den Wert von $x$. [2 BE]

d)

Zu Beobachtungsbeginn gehören zur Population $39$ Rudelführerinnen, ein Jahr später sind es bereits $55$. Bestimmen Sie die Anzahl der Jungtiere zu Beobachtungsbeginn. [2 BE]

Zwei Jahre nach Beobachtungsbeginn ändern sich die Umweltbedingungen und damit die Entwicklung der Population. Die Entwicklung kann nun im Zwei-Jahres-Rhythmus, d. h. von einem Jahr zum übernächsten, durch die Matrix $M = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3{,}75 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0{,}24 & 0{,}45 & 0{,}56 \end{pmatrix}$ und die Gleichung $\vec{v}_{n+2} = M \cdot \vec{v}_n$ beschrieben werden. Sechs Jahre nach Beobachtungsbeginn wird die Zusammensetzung der Population durch den Vektor $\vec{v}_6 = \begin{pmatrix} 600 \\ 173 \\ 165 \end{pmatrix}$ dargestellt, d. h. die Population besteht aus $938$ Tieren.

e)

Bestimmen Sie die Anzahl der Welpen, Jungtiere und Rudelführerinnen acht Jahre nach Beobachtungsbeginn. [2 BE]

f)

Die Vektoren $\vec{v}_{10} \approx \begin{pmatrix} 2168 \\ 629 \\ 598 \end{pmatrix}$ und $\vec{v}_{12} \approx \begin{pmatrix} 4126 \\ 1195 \\ 1138 \end{pmatrix}$ stellen die Zusammensetzungen der Population zehn bzw. zwölf Jahre nach Beobachtungsbeginn dar. Aus diesen Vektoren soll ein Faktor ermittelt werden, mit dem die Anzahl der Welpen, Jungtiere und Rudelführerinnen von einem Jahr zum nächsten zunimmt. Zeigen Sie rechnerisch, dass dieser Faktor für jede der drei Altersgruppen etwa $1{,}38$ beträgt. [2 BE]

g)

Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung $938 \cdot 1{,}38^{t-6} = 45000$ mit $t \in [6; +\infty[$. Interpretieren Sie unter Verwendung der Lösung dieser Gleichung die Zahl $45000$ im Sachzusammenhang. [3 BE]

h)

Beurteilen Sie das verwendete Modell hinsichtlich seiner Eignung zur langfristigen Beschreibung der Entwicklung der Population. [2 BE]

Betrachtet werden $3\times 3$-Matrizen $N$ sowie Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}$ mit $\vec{u} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, für die $N \cdot \vec{u} = \vec{u}$ gilt.

a)

Die Matrix $N^{-1}$ ist die inverse Matrix zu einer der Matrizen $N$. Prüfen Sie für jede der beiden folgenden Gleichungen, ob es einen Wert von $a \in \mathbb{R}$ gibt, für den die Gleichung erfüllt ist:

Wert von $a$:

Wert von $a$:

b)

Zeigen Sie für $N = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0{,}25 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$, dass $u_2 = u_3$ gilt.