Abitur Brandenburg Mathematik 2017 · LK · Teil B · Stochastik (CAS)

Die Tabelle zeigt die prozentualen Anteile von Haushalten unterschiedlicher Größe an der Gesamtzahl der Haushalte im Jahr 2013 in Deutschland.

1-Personen-Haushalte · 40,5 %

2-Personen-Haushalte · 34,5 %

3-Personen-Haushalte · 12,5 %

4-Personen-Haushalte · 9,2 %

Haushalte mit mindestens 5 Personen · 3,3 %

1.

Für eine Umfrage im Jahr 2013 sollten 100 Haushalte zufällig ausgewählt werden.

a)

Berechnen Sie für folgende Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:

$A$: „Es wurden genau vierzig 1-Personen-Haushalte ausgewählt.“

$B$: „Mindestens die Hälfte der ausgewählten Haushalte waren Mehrpersonenhaushalte.“

b)

Beschreiben Sie die Bedeutung des folgenden Terms im Sachzusammenhang:

$$1 - \left(0{,}967^{100} + 100 \cdot 0{,}033 \cdot 0{,}967^{99}\right)$$

4.

Ermitteln Sie, wie viele Haushalte man im Jahr 2013 mindestens hätte zufällig auswählen müssen, damit darunter mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mehr als zwanzig 2-Personen-Haushalte sind.

5.

Im Jahr 2013 lebten in Deutschland insgesamt etwa 80 Millionen Menschen. Bestimmen Sie für das Jahr 2013 einen Näherungswert für die Gesamtzahl der Haushalte in Deutschland und erläutern Sie Ihr Vorgehen.

Die Tabelle zeigt die prozentualen Anteile von Haushalten unterschiedlicher Größe an der Gesamtzahl der Haushalte im Jahr 2013 in Deutschland.

1-Personen-Haushalte · 40,5 %

2-Personen-Haushalte · 34,5 %

3-Personen-Haushalte · 12,5 %

4-Personen-Haushalte · 9,2 %

Haushalte mit mindestens 5 Personen · 3,3 %

2

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei einem im Jahr 2013 zufällig ausgewählten Mehrpersonenhaushalt um einen 3-Personen-Haushalt handelte.

3

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in drei im Jahr 2013 zufällig ausgewählten Haushalten insgesamt genau fünf Personen lebten.

Die Tabelle zeigt die prozentualen Anteile von Haushalten unterschiedlicher Größe an der Gesamtzahl der Haushalte im Jahr 2013 in Deutschland.

1-Personen-Haushalte · 40,5 %

2-Personen-Haushalte · 34,5 %

3-Personen-Haushalte · 12,5 %

4-Personen-Haushalte · 9,2 %

Haushalte mit mindestens 5 Personen · 3,3 %

Im Jahr 2014 wurde vermutet, dass der tatsächliche Anteil der 1-Personen-Haushalte größer als im Jahr 2013 ist. Um einen Anhaltspunkt dafür zu gewinnen, ob diese Vermutung zutrifft, sollte auf der Grundlage einer Stichprobe von 500 Haushalten und einem Signifikanzniveau von 5 % ein Test durchgeführt werden. Dabei sollte möglichst vermieden werden, irrtümlich davon auszugehen, dass die Vermutung zutrifft.

Geben Sie die passende Nullhypothese an und bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.

In Deutschland liegt bei 1 % der Bevölkerung eine Glutenunverträglichkeit vor. Die betroffenen Personen reagieren auf den Verzehr von bestimmten Getreidesorten mit körperlichen Beschwerden. Ob eine Glutenunverträglichkeit vorliegt oder nicht, kann mithilfe eines Schnelltests diagnostiziert werden. Zeigt das Ergebnis dieses Tests die Glutenunverträglichkeit an, so bezeichnet man es als positiv.

1 Liegt bei einer Person eine Glutenunverträglichkeit vor, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % positiv. Liegt bei einer Person keine Glutenunverträglichkeit vor, so beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Testergebnis dennoch positiv ist, 4 %.

Bei einer Person, die aus der Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählt wurde, wird der Test durchgeführt.

a

Erstellen Sie zu dem beschriebenen Sachzusammenhang ein beschriftetes Baumdiagramm.

[3 BE]

b

Ermitteln Sie für folgende Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:

[3 BE]

$A$: „Bei der Person liegt eine Glutenunverträglichkeit vor und das Testergebnis ist positiv.“

$B$: „Das Testergebnis ist negativ.“

c

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Glutenunverträglichkeit vorliegt, wenn das Testergebnis positiv ist.

[3 BE]

In Deutschland liegt bei 1 % der Bevölkerung eine Glutenunverträglichkeit vor. Die betroffenen Personen reagieren auf den Verzehr von bestimmten Getreidesorten mit körperlichen Beschwerden. Ob eine Glutenunverträglichkeit vorliegt oder nicht, kann mithilfe eines Schnelltests diagnostiziert werden. Zeigt das Ergebnis dieses Tests die Glutenunverträglichkeit an, so bezeichnet man es als positiv.

Aufgabe 2 (CAS 2) - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen

2

Im Rahmen einer Studie werden aus der Bevölkerung Deutschlands $20000$ Personen zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der ausgewählten Personen an, bei denen eine Glutenunverträglichkeit vorliegt. Berechnen Sie in einem geeigneten Modell die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der ausgewählten Personen, bei denen eine Glutenunverträglichkeit vorliegt, um mehr als $10\,\%$ vom Erwartungswert von $X$ abweicht.

3 c

Der Test wird mithilfe eines Teststreifens durchgeführt, auf dem ein Indikator aufgebracht ist. Ist die Indikatormenge auf einem Teststreifen kleiner als $15\,\mathrm{mg}$, so ist dieser unbrauchbar.

Die Indikatormenge auf den Teststreifen ist normalverteilt. Vor einer Verbesserung des Herstellungsverfahrens hatte der Erwartungswert $20\,\mathrm{mg}$ und die Standardabweichung $4{,}0\,\mathrm{mg}$ betragen.

Durch die Verbesserung konnte die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Teststreifen aufgrund der Indikatormenge unbrauchbar ist, halbiert werden. Der Erwartungswert für die Indikatormenge blieb dabei unverändert. Bestimmen Sie die geänderte Standardabweichung.

In Deutschland liegt bei 1 % der Bevölkerung eine Glutenunverträglichkeit vor. Die betroffenen Personen reagieren auf den Verzehr von bestimmten Getreidesorten mit körperlichen Beschwerden. Ob eine Glutenunverträglichkeit vorliegt oder nicht, kann mithilfe eines Schnelltests diagnostiziert werden. Zeigt das Ergebnis dieses Tests die Glutenunverträglichkeit an, so bezeichnet man es als positiv.

Aufgabe 2 (CAS 2) - Beurteilende Statistik

Der Test wird mithilfe eines Teststreifens durchgeführt, auf dem ein Indikator aufgebracht ist. Ist die Indikatormenge auf einem Teststreifen kleiner als $15\,\mathrm{mg}$, so ist dieser unbrauchbar. Der Hersteller der Teststreifen verfolgt das Ziel, dass höchstens $10\,\%$ der hergestellten Teststreifen unbrauchbar sind, und führt deshalb regelmäßig eine Qualitätskontrolle durch. Dazu wird der laufenden Produktion eine Stichprobe von $100$ Teststreifen entnommen. Nur wenn sich darunter mindestens $16$ unbrauchbare Teststreifen befinden, entscheidet man sich dafür, das Herstellungsverfahren zu verbessern.

a

Beschreiben Sie, welche Fehlentscheidungen bei dieser Qualitätskontrolle auftreten können.

b

Der Hersteller entschließt sich, die Kontrolle künftig mit einer größeren Stichprobe von $200$ Teststreifen durchzuführen. Die Wahrscheinlichkeit für eine unnötige Verbesserung des Herstellungsverfahrens soll sich durch diese Änderung jedoch nicht erhöhen. Ermitteln Sie, wie groß die Anzahl unbrauchbarer Teststreifen, ab der man sich dafür entscheidet, das Herstellungsverfahren zu verbessern, nun mindestens sein muss.